Transcript 命題論理

人工知能 論理と推論（１）
知識を組み合わせて知識を生み出す
命題論理
(Propositional Logic)
人工知能と論理
命題論理の構文
命題論理の意味
節形式
なぜ人工知能で論理を学ぶのか
なぜ 人工知能 で 論理 (LOGIC)を学ぶのか．
言
語 としての論理 ⇒ 構文，意味
アルゴリズム としての論理 ⇒ 推論
知識ベース
知識
TELL, ASK
知識
知識
知識表現言語 (=LOGIC)
推論
アルゴリズム
(= LOGIC)
いろいろな論理と推論がある
完全な知識に基づく数学的な推論
命題論理：命題（文）を１つの記号で表現
述語論理：オブジェクトとその関係を記号で表現
不確実な知識に基づく推論
ファジィ推論：あいまいで主観的な知識を扱う
確率推論：観測事実から命題が真である確率を計算
知識が欠けているときの推論
帰納推論：多数の観測事実から一般法則を導く
仮説推論：観測事実を説明できる仮説や信念を導く
就職試験に見る命題論理（１）
次の①～③はいずれも事実であるとする．
①お風呂が好きな人は，きれい好きである．
②歯みがきが好きな人は，お風呂が好きである．
③お酒が好きな人は，タバコが好きであり，しかも歯みがきが好
きである．
このとき，次のア～オの中で確実にいえることをすべて選べ．
ア．歯みがきが好きな人は，タバコが好きである．
イ．お酒が好きな人は，歯みがきが好きである．
ウ．タバコが好きな人は，きれい好きである．
エ．タバコが好きでない人は，お風呂が好きでない．
オ．きれい好きでない人は，お酒が好きでない．
就職試験に見る命題論理（２）論理式
知識を記号を使った論理式で簡潔に表現する
①お風呂→きれい
②歯みがき→お風呂
③お酒→タバコ∧歯みがき
ア．歯みがき→タバコ
イ．お酒→歯みがき
ウ．タバコ→きれい
エ．タバコ→お風呂
オ．きれい→お酒
就職試験に見る命題論理（３）推論規則
P→Q
対偶
Q→P
P→Q
Q→R
三段論法
P→R
P→Q∧R
P→Q
P→R
P→Q
P
モーダスポネンス
Q
就職試験に見る命題論理（４）推論
お風呂
歯みがき
お酒
きれい
タバコ
ア．歯みがき→タバコ
イ．お酒→歯みがき
ウ．タバコ→きれい
エ．タバコ→お風呂
オ．きれい→お酒
命題論理の構文（１）構文要素
構文要素を一定の規則で並べると論理式となる．
命題論理の構文要素
論理定数： true と false
命題記号： それ以上分解できない命題（原始命題）
を表す記号．p, q, r など．
論理記号： 命題を結合して複合した命題を作る記号．


AND
かつ
連言
OR
または
選言


NOT
でない
否定
IMPLY
ならば
含意

EQUIV
等しい
同値
命題論理の構文（２）論理式
論理式： 原始命題を論理記号でつないだ文．
論理式
論理定数 は論理式である．
true false
命題記号 は論理式である．
P
( P )
P
が論理式ならば，
は論理式である．
P
が論理式ならば，以下の４つも論理式である．
(P  Q) (P  Q) (P  Q ) (P  Q )
例
p  (  ( q  (  r ))) は論理式である．
p  (  q (  r ))
は論理式でない．
命題論理の構文（３）論理式（続き）
リテラル
命題記号 はリテラルである．
 命題記号
はリテラルである．
p
p
正リテラル
負リテラル
カッコの省略ルール
論理記号の優先順位
∧と∨の結合則の利用
    
(( p  q )  r )  p  q  r
例 ((  p )  ((  ( q  r ))  s )) のカッコを省略すると
 p  (q  r )  s
命題論理の意味（１）：解釈の概念
解釈： 論理式を真偽に対応付ける写像
論理式
（構文領域）
true
false
p
q
p
pq
真偽値
（意味領域）
解釈
T (真 )
F (偽 )
命題変数 p,q,.. の解釈だけは
自由に決められる．.
命題論理の意味（２）：論理式の解釈
命題変数
p,q,.. の解釈を決めると，他の論理式の解釈は：
true の値はT（真）， false の値はF（偽）
(  P ) の値は P の値の逆．
(P  Q) (P  Q) (P  Q) (P  Q )
の値は，以下の真理値表に基づいて決める．
P
Q
P∧Q
P∨Q
P→Q
P Q
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
F
F
F
F
F
T
T
命題論理の意味（３）：論理式の解釈
例
p  T, q  F, r  T
p T, q T, r  F
のとき
のとき
( p  q)  r
( p  q)  r
 (T  F )  T
 (T  T )  F
 F T
T  F
T
 F
命題論理の意味（４）：恒真
恒真 どんな解釈をしても真
p  p
例
( p  q )  ( p  q )
p q
p→q
￢p ￢p∨q (p→q) (￢p∨q)
T T
T
F
T
T
T F
F
F
F
T
F T
T
T
T
T
F F
T
T
T
T
命題論理の意味（５）：充足不能と充足可能
充足不能 どんな解釈をしても偽
例
p  p
充足可能 ある解釈のもとで真
例
pq
充足不能
充足可能
p  p
pq
恒真
p  p
命題論理の意味（６）：論理的帰結
論理的帰結
P1 , P2 ,
, Pn
のすべてが真となるどんな解釈によっても
Q
が真のとき，
Q は P1 , P2 ,
, Pn の論理的帰結
であるといい，つぎのように書く．
P1 , P2 ,
例
P  Q, Q  R
, Pn
Q
P R
節形式（１）：節形式への変換
節： リテラルの選言．
p  q  r
節形式： 節の連言．
( p  q)  ( p  q)  r
どんな論理式も以下の変換ルール（左辺を右辺に書換え）で
等価な節形式に変換できる．
節形式への変換
1
P  Q

( P  Q )  (Q  P )
2
PQ

P  Q
3
P

P
4
5
( P  Q )
( P  Q )
6
(P  Q)  R


( P )  ( Q )
( P )  ( Q )

ド・モルガンの法則
( P  R )  (Q  R )
分配則
節形式（２） ：節形式への変換
例
p   (q  r )

p   ( q  r )

 p   ( q  r )

 p  (  q   r )

 p  (q   r )

( p  q )  ( p   r )
節形式
したがって，つぎの２つの節が得られる．
節集合
 pq
 pr
節形式（３） ：節形式と if-then ルール
節 は if-then ルールに対応する．
負リテラル ＝ 条件 の AND
 pq

p q
 p q r

pq r
( if p th en q )
( if p & q then r )
節形式（4） ：節形式と if-then ルール（特殊ケース）
正リテラル ＝ 結論 の OR
 p q r  s

pq rs
pq

tru e  p  q
 pq

p  q  false

true  false
空節
矛盾