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述語論理と∀（全称）∃（存在）
３回の講義の概観：
１
命題論理
（真理値）
命題論理
（公理と推論規則）
３
２
述語論理
（モデルと解釈）
意味論 semantics
述語論理
（公理と推論規則）
syntax 構文論
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述語論理は命題論理よりも複雑
例題： 次の文は真か偽か？
「すべての自然数 x に対して x ＜ y を満たすよう
な自然数 y が存在する」
（小野先生の例題）
1. 解釈（その一）
すべての x に対して「 x ＜ y を満たすような y
が存在する」 ：∀x ∃y （x ＜ y）
2. 解釈（その二）
「すべての x に対して x ＜ y を満たす」ような y
が存在する ：∃y ∀x （x ＜ y）
曖昧
2
復習
述語と対象変数
• 命題とは真理値（真偽）が確定している文のこと
真偽のいずれかの値 { t, f } をとる：命題変数
• 対象変数を含む文の真理値は確定しない
例： ｘ ≦ 200
y は素数である
このような文を扱うために 命題関数 P を考える
P : D  T, ここに T = { t, f }
例： 対象領域 D として自然数の集合を考える
P : D×D  T, 2変数（引数）の述語
• 対象変数 individual variable, object variable
• 命題関数 propositional function
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述語 predicate
• 述語: 命題関数の具体的な表現 例: Le, Prime
Le (x, 200) : （x ≦ 200 ）, ２変数（引数） 述語記号
Prime (y) ： 「 y は素数である」
• 対象領域 D の要素を対象 object, individual という
対象領域 D の上を動く変数を対象変数、D の定数を
対象定数 object (individual) constant という
• 全称記号∀, と存在記号∃
∀x P(x): すべての x∈D に対して P(x) が真になる
∃y Q(y): ある y ∈D が存在して Q(y) が真になる
↑
正確な記法を次に述べる。∀と∃が多重になるときに注意
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述語論理の項
term
• 今までに登場したもの： 対象変数、対象定数
• さらに必要なもの： 対象領域の上の関数記号
関数記号の例： 自然数の上の ＋, ×
項 term の定義：
1. 個々の対象定数、対象変数は項である
2. f が n 変数（引数）の関数記号で, t1, t2, …, tn が
項であるならば f (t1, t2,…, tn) は項である
項の例： 200, x, y, (3＋x), 6×(x＋y).
＋(3,x), ×(6, ＋(x, y)) とも書く
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論理式 formula, wff
述語記号： 述語を表す記号
1. P が n 変数（引数）の述語記号で t1, t2, …, tn が
項ならば 、P(t1, t2, …, tn) は論理式である
2. A, B が論理式ならば、 A∧B, A∨B, A⇒B, ￢Aは、い
復習：⇔は省略してよい
ずれも論理式である
3. A が論理式で x が対象変数ならば 、
(∀x A), (∃x A) は論理式である
注：「1」の形の論理式を原子(atomic)論理式 という
例： ∀x（∀y（∃q（∃r（x=q×y+r））））, = は述語記号
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∀, ∃ quantifier
限定記号, 量化記号, 限量子
「すべての x に対して R（x, y） を満たす y が存在
する」 という文は曖昧である
前出
1. ∀x ∃y （x ＜ y）
すべての自然数 x に対して，x よりも大きな
自然数 y （例えば x＋1 ）が存在する （真）
2. ∃y ∀x （x ＜ y）
ある自然数 y が存在して，y は如何なる
（すべての）自然数 x よりも大きい （偽）
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自由変数と束縛変数
free and bound variables
• ∀x ∃y （x ＜ y） の変数 x, y は、変数と呼ばれてい
るが、代入の対象にならない
∀z ∃y （z ＜ y） と書いても意味が変わらない
• 変数には２種類ある。自由変数と束縛変数
• ここで注意するべき事は、同じ変数が自由であり、
同時に束縛されることがある
例： ∃y （x ＝ y＋y ）∧ ∃z （ y ＝ z＋z＋1 ）
x は偶数である
y は奇数である
• 自由変数と束縛変数を出現 occurrenceという単位
で区別しなければならない
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出現 occurrence
1. A が原子論理式であるとき、A に含まれる変数 x の出現
は、すべて自由な出現である
2. A が B∧C, B∨C, B⇒C, ￢B のいずれかであるとする。もし
x が B または C における自由な出現であるならば、その
x は A において自由である。もし x が B または C におけ
る束縛された出現であるならば、その x は A において束
縛されている
3. A が (∀z B) または (∃z B) であるとする。もし z が x である
ときは、Aにおける x の出現は束縛されている。
z が x と異なる場合には、もし x が B における自由な出
現であるならば、その x の出現は A において自由であ
る。もし x が B における束縛された出現であるならば、
その x の出現は A において束縛されている
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自由変数と束縛変数（例）
• 例： ∃y （x ＝ y＋y ）∧ ∃z （ y ＝ z＋z＋1 ）
• 論理式が自由変数を一つも含まない時
閉論理式 closed formula という
• 論理式 A に含まれる自由変数 x に項 t を代入し
て得られる論理式を A[t/x] と表す
• 代入をめぐる珍現象： （小野先生の例題）
∃z（x＝y×z） : x は y の倍数である
∃z（x＝100×z） : x は 100 の倍数である
∃z（x＝z×z） : x は平方数である
• これを避けるために自由変数と束縛変数の記号
の種類を分ける流儀の教科書もある
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代入の方法
• A は ∀zB または ∃zB の形の論理式とする
• A[t/x]は
z が x のとき A[t/x] は A 自身（束縛変数に代入不可）
z が x とは異なる変数のとき、
t に z が出現しなければ、
A[t/x] は ∀zA[t/x] または ∃zA[t/x]
t に z が出現する場合は、
A[t/x] は ∀w（（A[w/z]）[t/x]）
または ∃w（（A[w/z]）[t/x] ）
ただし w は A にも t にも現れない新しい対象変数
i.e. 項 t に変数 w が現れることがない
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論理式の意味
• 述語論理の論理式の意味を考えるには、対象領域
domain を定める必要がある
（解釈 interpretation, モデル model, 構造 structure）
• 空でない集合 D を定める
• 対象定数に D の要素（元）を対応づける
対象変数は D の上を動く
関数記号に D の上の関数を対応づける
述語記号に D の上の述語を対応づける ※
単なる記号 に 具体的な要素、関数、述語 を対応
※ ただし述語記号 ＝ （等号）の解釈は通常の等号とする
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解釈 ⊨ 閉論理式
⊭⊨
• M ⊨ A 解釈 M において論理式 A が真
• M ⊭ A 解釈 M において論理式 A が偽
1. A が原子論理式のとき M ⊨ P(t1, t2, …, tn) とな
るのは、Pの解釈が項 t1, t2, …, tn の解釈にお
いて真になる場合である.
2. M ⊨ A∧B となるのは （M ⊨ A かつ M ⊨ B ）,
3. M ⊨ A∨B となるのは（M ⊨ A または M ⊨ B）,
4. M ⊨ A⇒B となるのは （M ⊨ A ならば M ⊨ B）,
5. M ⊨ ￢A となるのは M ⊭ A の時である .
M: Lucida Calligraph
⊭⊨ : MSゴシック(UTF)
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（続） 解釈 ⊨ 閉論理式
⊭⊨
6. M ⊨ ∀x A となるのは、すべての D の要素 u に
対して M ⊨ A[u/x] となるとき,
7. M ⊨ ∃x A となるのは、D のある要素 u が存在
して M ⊨ A[u/x] となるときである.
論理式 B に対して、B に含まれる自由変数 が
x1, x2, …, xm であるとき、 ∀x1∀x2…∀xm Bを
B の閉包 universal closureという. BC と書く
8. M ⊨ B となるのは M ⊨ BC となるときである.
M: Lucida Calligraph
⊭⊨ : MSゴシック(UTF)
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恒真な（valid）論理式
• いかなる解釈（モデル）に対しても真になる論理式
を恒真な valid 論理式という
「述語論理におけるトートロジー」ということもある
• どのような解釈をしても真になるということは、個別
の対象要素、関数記号、述語記号の解釈に依存し
ないという意味である
すなわち論理式の形（構造）により、恒真であるか
否かが定まる
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恒真な論理式の例（その一）
A は x を自由変数として含まない
1. ∀x A ⇔ A, ∃x A ⇔ A
2. ∀x B ⇔ ∀y（B[y/x]）, ∃x B ⇔ ∃y （B[y/x]）
ここに y は B に含まれていない新しい変数
3. A ∧ ∀x B ⇔ ∀x （A∧B）,
A ∨ ∃x B ⇔ ∃x （A∨B）
4. A ∨ ∀x B ⇔ ∀x （A∨B）,
A ∧ ∃x B ⇔ ∃x （A∧B）
5. ∀x B ∧ ∀x C ⇔ ∀x （B∧C）,
∃x B ∨ ∃x C ⇔ ∃x （B∨C）
6. （∀x B ∨ ∀x C） ⇒ ∀x （B∨C）,
∃x（B ∧ C） ⇒ （∃x B∧∃x C）
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恒真な論理式の例（その二）
7. ∀x∀y B ⇔ ∀y∀x B , ∃x∃y B ⇔ ∃y∃x B
（関連の話題が前出）
8. ∃x∀y B ⇒ ∀y∃x B
9. ∀x B ⇒ ∃x B
10. ￢∀x B ⇔ ∃x￢B, ￢∃x B ⇔ ∀x￢B
11. （A ⇒∀x B） ⇔ ∀x（A ⇒ B）,
（A ⇒∃x B） ⇔ ∃x（A ⇒ B）
12. （∀x B ⇒ A） ⇔ ∃x（B ⇒ A）,
（∃x B ⇒ A） ⇔ ∀x（B ⇒ A）
13. ∃x（B ⇒ C） ⇔ （∀x B ⇒ ∃x C）
14. ∀x（B ⇒ C） ⇒ （∀x B ⇒ ∀x C）
15. ∀x（B ⇒ C） ⇒ （∃x B ⇒ ∃x C）
ド・モルガンの法則
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恒真な論理式の説明
• （∃x B ⇒ A） ⇔ ∀x（B ⇒ A）
• この論理式に含まれる自由変数が y1, …, ym の
とき、任意の解釈 M について次をいえばよい
M ⊨∀y1…∀ym｛（∃x B ⇒ A） ⇔ ∀x（B ⇒ A）｝
• 上は閉論理式であるから次をいう（解釈 4, 6）
すべての u1, …,um ∈ D に対して
M ⊨（∃x B ⇒ A）[u1/y1,…,um/ym]
⇔ M ⊨ ∀x（B ⇒ A） [u1/y1,…,um/ym]
• 以下では、既に項の代入が済んでいると仮定
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恒真な論理式の説明（２）
M ⊨ （∃x B ⇒ A） ⇔ M ⊨ ∀x（B ⇒ A）
• M ⊨（∃x B ⇒ A） であると仮定する. これは解釈
４と７から「（ある v∈D が存在して M ⊨ B[v/x]）
ならば（M ⊨ A）である 」 ということになる
• 上は「（M ⊨ B[v/x] を満たすような v∈D は存在し
ない）または（M ⊨ A）である 」となる
• さらに「（すべての v∈D に対して M ⊭ B[v/x] ）ま
たは（M ⊨ A）である 」となる
• 論理式 A は x を自由変数として含まない
「（すべての v∈D に対して （M ⊭ B[v/x] または
M ⊨ A[v/x]）である 」
半分終り
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恒真な論理式の説明（３）
M ⊨ （∃x B ⇒ A） ⇔ M ⊨ ∀x（B ⇒ A）
• M ⊨∀x（B ⇒ A） であると仮定する. 解釈６と４から
「すべての v∈D に対して（M ⊨ B[v/x] ならば
M ⊨ A[v/x]）である 」 になる
• 論理式 A は x を自由変数として含まない「すべて
の v∈D に対して（M ⊭ B[v/x] または M ⊨ A ）」
• 「（すべての v∈D に対してM ⊭ B[v/x]）または
（M ⊨ A）である ）」，さらに「（M ⊨ B[v/x] を満たす
v∈D は存在しない） または（M ⊨ A）である 」
• 「（M ⊨ B[v/x] を満たすv∈D が存在する） ならば
（M ⊨ A）である 」
終
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充足可能な論理式
• ある解釈（モデル）に対して真になる論理式を充足
可能な satisfiable 論理式という
• 充足可能でない論理式を充足不可能 unsatisfiable
という
• 論理式 A が充足不可能であることは、￢A が恒真で
あることの必要十分条件である
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冠頭標準形 prenex normal form
• 全称記号∀と存在記号∃が、他の論理記号の外
側にあるとき、冠頭論理式という
QxQyQz…A, Qは∀あるいは∃記号
A は全称記号も存在記号も含まない論理式
• 論理式 A と同値な冠頭論理式が存在する
これを冠頭標準形という
• （小野先生の説明） 恒真な論理式の 3, 4, 10, 11,
12 を使って同値変形する。ただし A が自由変数
x を含むときは、まず 2. により x を新しい変数で
置き換えておく
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冠頭標準形への同値変形
￢∃yP(x,y)∧∀y｛∃zQ(x,y,z)⇒R(x,y)}
￢∃yP(x,y)∧∀w｛∃zQ(x,w,z)⇒R(x,w)}
∀y￢P(x,y)∧∀w｛∃zQ(x,w,z)⇒R(x,w)}
∀y∀w{￢P(x,y)∧（∃zQ(x,w,z)⇒R(x,w)）}
∀y∀w{￢P(x,y)∧∀z（Q(x,w,z)⇒R(x,w)）}
∀y∀w∀z{￢P(x,y)∧（Q(x,w,z)⇒R(x,w)）}
訂正： 廣瀬先生のp.24, ∃zは∀zです
さらに
∀y∀w∀z{￢P(x,y)∧（￢Q(x,w,z)∨R(x,w)）}
∀y∀w∀z{（￢P(x,y)∧￢Q(x,w,z)）
分配法則
∨（ ￢P(x,y)∧R(x,w)）}
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冠頭標準形
• （廣瀬先生の説明） 与えられた述語の中の別の変
数が同じ変数の記号で表されているとき、すべて異
なる変数に書き換える
例: ∀x P（x,y）∨∃y Q（y,z）は∀x P（x,y）∨∃w Q（w,z）
∃x P（x）∧∀x Q（x, y）は∃x P（x）∧∀z Q（z, y）
• ド・モルガンの法則を用いて否定記号￢を内側に移
動する（10）
• 全称記号∀と存在記号∃を外側に移動する
（3, 4, 11, 12）
• さらに、冠頭標準形と論理和標準形、冠頭標準形と
論理積標準形を組合せることができる
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