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第２章
「有限オートマトン」
第２章の内容
2.1 定義
2.2 正規集合の演算
2.3 Nerodeの定理
2.4 非決定性の有限オートマトン
2.5 正規表現と正規集合
2.6 順序機械と状態最小化
2.1 定義

有限オートマトン M = (K, Σ, δ, q0, F)
K = {q0, q1, …, qn} : 状態の集合
 Σ= {a, b, …, c} : 文字の集合（アルファベット）
 q0 : 初期状態
 δ : 遷移関数 K×Σ→ K
 F : 受理状態の集合（K の部分集合）

ヘッド
テープ
a1 a2
q
ai
定義つづき
遷移関数を次のように拡張する。
(1) δ(q, e) = q
(q ∈ K)
(2) δ(q, ax) =δ(δ(q, a), x)
(q∈K, a∈Σ, x∈Σ*)
文字列wに対してδ(q0, w)は，その文字列を読んだときの
オートマトンの状態を表す。
δ(q0, w) = p ∈ F であるとき，M はwを受理するという。
Mが受理する文字列全体：L(M) ={w | δ(q0, w) ∈ F}
オートマトンによって受理される集合を正規言語という。
オートマトンの例（p8）
状態遷移
状態遷移図（図２）
δ(q0, aba) = δ(δ(q0, a), ba)
= δ(q1, ba)
= δ(d(q1, b), a)
= δ(q0, a)
= q1 ∈ F
L(M) =
{a(ba)n
| n≧0}
q0
a
q1
b
b
a
q2
a,b
2.2 正規集合の演算

アルファベットΣ上の正規集合の族
R (Σ) = {L | Lは正規言語}
は集合演算∪, ∩, ￣のもとでブール代数をなす
R (Σ)
L1
L2
補題 2.1
補題2.1
正規集合 L の補集合 L =Σ*－L は正規集合
証明
Lを受理するオートマトンをM=(K, Σ, δ, q0,F)と
するとき，M=(K, Σ, δ, q0, K-F)
とすると L(M) = L(M) となる.
補題 2.2
補題2.2
L1, L2 ⊆ Σ * を正規集合とする。
(1) L1∪ L2は正規集合である。
(2) L1∩ L2は正規集合である。
証明 (1)について証明する。
L1 = L(M1)、M1 = (K1, Σ, δ1, q01, F1) とし、L2に対してもM2
を定義する。M1, M2から次の遷移関数 d と受理状態Fをつ
くる。
δ = ((q1, q2), a) = (δ1(q1, a), δ2(q2, a))
(q1∈K1, q2∈K2, a∈Σ)
F = F1×K2∪K1×F2
証明つづき
任意の q1∈K1, q2∈K2 に対して，
δ = ((q1, q2), e) = (δ1(q1, e), δ2(q2, e)) = (q1, q2)
数学的帰納法のベースステップ
δ = ((q1, q2), x) = (δ1(q1, x), δ2(q2, x)) (仮定 |x|≦k)
δ((q1, q2), ax) = δ(δ((q1, q2), a), x)
定義より
= δ((δ1(q1, a), δ2(q2, a)), x)
帰納法の仮定
= (δ1(δ1(q1, a), x), δ2(δ2(q2, a), x))
帰納法の仮定
= (δ1(q1, ax), δ2(q2, ax))
定義より
証明つづき
x ∈ L(M) ⇔ δ((q01, q02), x) ∈ F
⇔ (δ1(q01, x), δ2(q02, x)) ∈ F1×K2∪K1×F2
⇔ δ1(q01, x) ∈ F1 または δ2(q02, x) ∈ F2
⇔ x ∈ L(M1)∪L(M2)
(2)の証明は省略
(1)のときと、終状態の条件が違うだけ。
2.3 Nerode の定理


Σ*上の関係 R は、
xRy ⇒ 任意の z∈Σ* に対して xzRyz
を満たすとき右不変であるという。
関係 R は、R による同値類の数が有限で
あるとき、有限指数であるという。
定理2.4 （Nerodeの定理）
定理2.4
次の３つは同等である.
(1) 集合 L⊆Σ* は正規である。
(2) L はある有限指数で右不変な同値関係 R
による同値類の和として表される。
(3) 関係 ≡ は有限指数である。ただし≡は
L
x≡y ⇔ 任意の z∈Σ* に対して
L
L
xz, yz∈L であるか xz, yz∈L である。
「xz∈L と yz∈L が同等である」の意
証明 (1)⇒(2)
L = L(M)、 M=(K, Σ, δ, q0, F) とし、関係 R を
xRy ⇔ δ(q0, x) =δ(q0, y)
と定義すると、明らかに R は有限指数の同値関係である。
（L が R の同値類の和として表されることもほとんど自明）
あとはRが右不変であることをいえばよろしい
任意のx, y に対してδ(q, xy)=δ(δ(q, x), y) であるので
xRy ⇒ δ(q0, x)= δ(q0, y)
⇒ δ(δ(q0, x), z) = δ(δ(q0, y), z)
⇒ δ(q0, xz)= δ(q0, yz)
⇒ xzRyz
より、R は右不変である。
証明 (2)⇒(3)、(3)⇒(1)
(2)⇒(3) xRy ⇒ xzRyz (z∈Σ*) ⇒ xz∈L ⇔ yz∈L
⇒ x≡y
。 よって≡は有限指数。
L
L
(3)⇒(1) 同値関係≡のxを代表元とする同値類を[x]で表す。
L
K’={[x] | x∈Σ*}
δ’([x], a) = [xa]
q’0 = [ε]
F’ = {[x] | x∈L}
とするとδ’(q’0, x) =δ’([ε], x) = [εx] = [x] であるので
x∈L(M’) ⇔ [x]∈F’ ⇔ x∈L
ゆえに L(M’) = L である。 L は正規ってこと
例2.2
Nerodeの定理は、ある言語 L が正規でない
ことを示すときに有効な道具となる。
Σ={a, b}上の言語を L={anbn | n≧0} とする。
L を正規と仮定すると、ai≡aj となる整数 i, j (i<j)が
L
存在し、≡は右不変であるので aibi≡ajbi となるは
L
L
ずである。
ところがこれは成立しないので矛盾である。
すなわち、L は正規でない。
2.4 非決定性の有限オートマトン

これまでのオートマトンは、文字 a と状態 q に対して
δ(q, a)は一意に定まった。このようなオートマトンを
決定性であるという。
非決定性のオートマトン
非決定性のオートマトンとは M=(K, Σ, δ, Q0, F)のこ
とである。ただし Q0⊂K でδは K×Σから 2K への関
数である。その他の要素は決定性と同様。
遷移関数と受理状態
非決定性の遷移関数の定義域を次のようにして
K×Σから K×Σ*へ拡張する。
δ(q, e) = {q}
δ(q, ax) =
∪
δ(p, x)
p∈δ(q, a)
(q∈K, a∈Σ, x∈Σ*)
これはさらに 2K×Σ* に拡張される。
δ(S, x) =
∪ δ(q, x)
q ∈S
そして, x∈Σ* が M によって受理されるとは、
δ(Q0, x)∩F ≠Φ であることをいう。
例2.3
q0
b
q1
b
q1
a,b
非決定性有限オートマトンの状態図
例えば abb に対しては δ(q0, abb) = δ(q0, bb)
= δ(q0,b)∪δ(q1,b)
= {q0}∪{q1}∪{q2}
= {q0, q1, q2}
となり q2∈F であるから abb∈L(M) である。
定理2.5
定義より、決定性の有限オートマトンは |δ(q, a)| = 1 であ
るような非決定性オートマトンの特別な場合である。
しかしながらこれらのオートマトンの能力には差はないこ
とが示される。
定理2.5
L⊆Σ* が正規であるための必要十分条件は，L が
非決定性の有限オートマトンによって受理されることである。
証明の方針
任意の非決定性のM に対して、L(M) = L(M’) となる
決定性のM’ を構成できることを示せば十分である。
定理2.5の証明
非決定性の有限オートマトン M=(K, Σ, δ, Q0, F) を考える。
ポイント！
Kの任意の部分集合に１つの状態を割り当て、
それらに対して次の決定性のM’をつくる。
K’ = 2K
δ’(S, a) =
∪ δ(q, a)
q ∈S
q’0 = Q0
F’ ={R | R ∈ K’ かつ R∩F≠Φ}
このオートマトンは M の状態の集合を１つの状態とみなして
( {q1, q2,…, qk} = p という具合に) 書き直しただけであり、
L(M) = L(M’) が成立することはすぐに分かる。
例2.4
例2.3 の非決定性オートマトンMに対して、証明の方法
に従って M’ を構成すると以下のようになる.
K={Φ, {q0}, {q1}, {q2}, {q0, q1}, {q0, q2}, {q1, q2}, {q0, q1, q2}}
q’0={q0}
F={{q2},{q0, q2}, {q1, q2}, {q0, q1, q2}}
a
{q0, q1, q2}
b
b
{q0}
a
b
{q0, q1}
a
{q0}
a
{q0, q2}
a
b
a,b
φ
b
a,b
a
{q2}
b
{q1, q2}
2.5 正規表現と正規集合

この節で分かること
 正規表現の（数学的な）定義と意味づけ
正規表現は文字列処理において重要な概念
 UNIXシステムやプログラミング言語（Perl、Ruby等）
で用いられる正規表現は（実用的に）拡張されている

 有限オートマトンと正規表現とが、
言語を定義する能力において同等である
正規表現で定義される言語Ｌを受理する
有限オートマトンが存在する
 その逆もいえる

Unix等における正規表現

ファイル名の正規表現
rm ＊.txt
 > cp Important[0-9].doc
>

検索ツールGrepの正規表現
>

grep –E “for.+(256|CHAR_SIZE)” ＊.c
プログラミング言語Perlの正規表現
 $line
= m|^http://.+\.jp/.+$|
正規表現の定義

アルファベットΣ上の正規表現とは
A={), (, f, ・, +, *} を用いて次のように定義される。
 (1)
φとΣの要素は正規表現である
 (2) αとβが正規表現ならば (α・β)も正規表現である
 (3) αとβが正規表現ならば (α+β)も正規表現である
 (4) αが正規表現ならば α* も正規表現である
 (5) 上から導かれるものだけが正規表現である

例： (a・(a+b)*)
正規表現の意味づけ

正規表現をΣ*の部分集合に写像する
||φ|| =φ
 (ii) a∈Σに対して ||a|| = {a}
 (iii) 正規表現α,βに対して ||(α・β)|| = ||α||・||β||
 (iv) 正規表現α,βに対して ||(α+β)|| = ||α||+||β||
 (v) 正規表現αに対して ||α*|| = ||α||*
 (i)

例：
q0
 ||(a・(a+b)*)||
= {ax | x∈{a,b}*}
a
b
q2
a,b
q1
a,b
2.5節の構成（同等の証明）

定理2.10 （正規表現→正規集合） 割と簡単
 補題2.2(1)
 補題2.6
 補題2.7
 補題2.8
 補題2.9

（2.2節より、和L1∪L2は正規集合）
（空集合は正規集合）
（任意の一文字は正規集合）
（積L1・L2は正規集合）
（閉包L*は正規集合）
定理2.12 （正規集合→正規表現） 結構たいへん
 補題2.11
（||αij(k)|| = Rij(k)）
例2.7

図2.9の有限オートマトンに対する正規表現
 γ=α11(3)
+ α13(3)
α11(3) = α11(2) + α13(2)・(α33(2))*・α31(2)
α11(2) = α11(1) + α12(1)・(α22(1))*・α21(1)
α11(1) = α11(0) + α11(0)・(α11(0))*・α11(0)
=(a+φ*)+(a+φ*)・(a+φ*)*・(a+φ*)
=a*
α12(1) = α12(0) + α11(0)・(α11(0))*・α12(0) = b+(a*・b)
α22(1) = α22(0) + α21(0)・(α11(0))*・α12(0) = a・a*・b
α21(1) = α21(0) + α21(0)・(α11(0))*・α11(0) = a・a*
・・・
 γ=
a*+a*(baa*)*+a*(baa*)*bbb*+・・・
2.6 順序機械と状態最小化
順序機械とは
atcgaatccg...
atcgaatccg...
有限
オートマトン
順序機械
Yes
or
No
00101100010...
順序機械の概念図
入力テープ
a 1 a2
ヘッド
出力テープ
b1 b2
ai
q
bi
順序機械の数学的定義

順序機械は、5つ組 S=(K,Σ,⊿,δ,λ)
 K：
状態の（空でない）集合
 Σ： 入力アルファベット
 ⊿： 出力アルファベット
 δ： 遷移関数 K×Σ→K
（K×Σ*→K）
 λ： 出力関数 K×Σ→⊿
（K×Σ*→⊿*）
 （本当はスタート地点を表す q0 もいる）
λ(q,ε)=ε （q∈K）
λ(q,ax)=λ(q,a)λ(δ(q,a), x)
（q∈K, a∈Σ, x∈Σ*）
例2.8 （図2.11）
1/1
q3
1/0
q0
1/0
0/0
q5
0/0
q1
0/0
1/1
0/0
1/1
λ(q0, 011)
q4
0/0
1/0
0/0
q2
=λ(q0, 0)λ(δ(q0,0), 11)
= 0λ(q4, 11)
= 0λ(q4, 1)λ(δ(q4,1), 1)
= 01λ(q5, 1)
= 010
一般順序機械

一般順序機械とは
 順序機械の出力関数を
K×Σ→⊿* に拡張したもの
 一般順序機械 S = (K,Σ,⊿,δ,λ) に対して
S(x) =λ(q0, x) (x∈Σ*)

gsm写像
L⊆Σ*に対して
S(L) = {λ(q0, x) | x∈L}
語 x の Ｓ による変換
Σ*上の言語から⊿*上の言語への翻訳を意味する
同値・等価・既約

Si=(Ki,Σ,⊿,δi,λi) (i=1,2) について
p∈K1 と q∈K2 は、任意の x に対して
λ1(p, x) =λ2(q, x) であるとき同値といい
補題2.13
p≡q とかく （p≡q ならばδ1(p,x) =δ2(q,x)）
 S1 と S2 は任意の p∈K1 に対して p≡q となる
q∈K2 が存在し、その逆の場合も成り立つとき
等価であるといい S1≡S2 とかく
 状態

S=(K,Σ,⊿,δ,λ) は
p, q∈K に対して p≡q ならば p=q で
あるとき既約であるという
 任意の
定理2.14
定理2.14
任意の順序機械 S に対して S≡S’ となる
既約な順序機械 S’ が存在する
証明
[p] を ≡ による p を含む同値類として、
これを状態とする順序機械を構成する
（略：教科書p25）
定理2.15
定理2.15
既約な順序機械は、それと等価な順序機械の
うちで、状態数が最小である
証明
ほぼ自明
|K|＞|K’|
既約なS
r
q
S’
⇒
p
p≡r, q≡r
p≡q
矛盾!
順序機械の状態を最小にする手順

等価で既約な S’ を作ればよい
 定理2.14

→既約なものが存在することを保証
k同値
 λ(p,x)=λ(q,x)がすべての|x|≦kなるx∈Σ*
に対し
て成り立つとき、p と q は k同値であるといいp≡q
k
とかく

k
Ck を ≡ による K の同値類の集合とする
定理2.16
定理2.16
順序機械 S=(K,Σ,⊿,δ,λ) に対して次の関係が成立する
k+1
k
1. p ≡ q であるための必要十分条件は、p≡q かつ
k
任意の a∈Σに対してδ(p,a)≡δ(q,a) となること
2. Ck+1=Ck ならば j≧k なるすべての j に対して Ck=Cj
k
3. Ck+1=Ck であれば、p≡q となる必要十分条件は p≡q
4. |C1|=1 ならば、C2 = C1
5. n=|K|≧2 ならば、Cn = Cn-1
k=1,2,…,n の順に Ck を計算していくと、必ず Ck+1 = Ck となる
k が求まり、このとき Ck は≡による同値類の集合に等しい
例2.9
変換
1/1
q3
1/0
q0
1/1
0/0
1/0
0/0
q5
0/0
q1
0/0
1/1
1/0
q4
0/0
1/0
0/0
q2
1/1
p0
p2
0/0
0/0
1/0
0/0
p1
0/0
1/1
p3
有限オートマトンの状態最小化のしかた

有限オートマトン M に等価で、状態数が最小
 Nerodeの定理より、同値関係≡のもとで同値類
L
を状態にもつ有限オートマトン M’

状態を最小化する手順
 定理2.17
（定理2.16とほぼ同じ）による
 具体的には
離れ小島になっている状態を削除
k
 同値関係≡による同値類 Ck を計算する
k
ここで関係≡は
k
p≡q ⇔ 任意の|x|≦k なる x∈Σ* に対して
δ(p, x)∈F←→δ(q, x)∈F

例2.10
q0
a
b
q1
a
b
b
q2
b
q5
b
a
p0
b
b
p2
q3
b
a
a
q4
a
p1
a
a,b
a
変換