Transcript 2値論理計算

第３回情報科学概論：2値論理計算
2014年4月21日
田中美栄子
今回の目標
2値情報を扱う基本となる理論（ブール代数）
から
アーキテクチャ（ハードウェアの実現）へ
10進数・16進数・2進数 復習
64
65
66
67
68
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40
41
42
43
44
45
1010
1011
1100
1101
1110
1111
70
71
72
73
74
75
46
47
48
49
50
51
10000
10001
10010
10011
10100
10101
符号化の話
２進表示
８進表示
１６進表示
１０進表示
文字
ビット組合せ
1000001
101
41
65
Ａ
4/1
• ASCII符号 American Standard Code for
Information Interchange
ASCII コード
ASCII( American standard code for
information interchange)
コンピュータその他の通信機器において最も
よく使われている文字コード
ASCII コード
10進 16進 文字
10進 16進 文字
0
0x00
NUL（null文字)
65
0x41
A
1
0x01
SOH（ヘッダ開始）
66
0x42
B
2
0x02
STX（テキスト開始）
67
0x43
C
3
0x03
ETX（テキスト終了）
68
0x44
D
4
0x04
EOT（転送終了）
69
0x45
E
70
0x46
F
71
0x47
G
32
0x20
（スペース）
33
0x21
!
34
0x22
"
35
0x23
#
36
0x24
$
37
0x25
%
「ABC」３文字はコンピュータ内部では
(41 42 43) 16
「123」３文字は、(31 32 33) 16
と表現さ れる。
• ASCII コード表で、16進で 00 から 1F と 7F は、
普通の文字ではなく、制御文字(control
character,制御コード)
• 0D (CR, Carriage Return)復帰(リターン)
漢字コード
• JIS
31 32 33 1B 24 42 34 41 3B 7A 1B 40 66 34 35 36：
1 2 3 ESC $ B 漢 字 ESC ( J D E F
• EUC
31 32 33 B4 C1 BB FA 34 35 36
A B C 漢 字 D E F
• SJIS
31 32 33 8A BF 8E 9A 34 35 36
A B C 漢 字 D E F
• 英語圏の文字コードは１Byte言語
– 1bitはパリティービットに使用する(誤り検出用)
– 7bitで128種を扱う
• 日本語・中国語・ハングルは２Byte言語
– 65536種類の表記が可能
– JIS X 0208では記号も入れて6879文字を規定
• つまり、ノイマン式コンピュータはいろいろな
情報を2進数で記憶し、それらの演算をやっ
ているだけなのである
• 演算は単純化される
• 入力→演算→出力 を自動的に行う素子で
回路を組み立てる（論理回路）
• すると、コンピュータができる
ブール代数：Boolean Algebra
• Booleさんの作った論理数学
• 論理変数を扱う
①
A
B
A
B
A
B
– （真/偽の2値：１と0で代用する）
• 基本演算は
①AND ②OR
③NOT
• 論理演算の機能を持つ論理素子を
使って，論理関数を回路で表現した
ものが論理回路
• ノイマン・コンピュータは基本的に論
理回路で構成
②
③
基本論理演算
• 論理積（乗法 AND） x･y
– 2変数がともに1の時，論理積は1
– 2変数のいずれかが0の時，論理積は0
• 論理和（加法 OR） x+y
– 2変数のいずれかが1の時，論理和は1
– 2変数がともに0の時，論理和は0
xx
x
00
0
00
１
11
11
yy
00
11
x
１
０
x+y
x･y
00
0１
00
0１
11
11
• 論理否定（否定 NOT） x
– 変数が0の時，論理否定は1
– 変数が1の時，論理否定は0
演算の優先順位は，
否定，乗法，加法の順
真理値表
論理変数の値とそれに対する論理関数の値の関係の表
x
y
x･y
x+y
x
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
(x+y)･(x+y)・x
答組複
えみ雑
を合な
求わ論
めせ理
らて演
れい
け算
るばも
ブール代数の定理
名称
単位元則
零元則
べき等則
補元則
交換則
結合則
分配則
吸収則
ド･モルガン則
AND形式
x･1=x
x･0=0
x･x=x
x･x=0
x･y=y･x
(x･y)･z=x･(y･z)
x+y･z=(x+y)･(x+z)
x･(x+y)=x
x･y=x+y
OR形式
x+0=x
x+1=1
x+x=x
x+x=1
x+y=y+x
(x+y)+z=x+(y+z)
x･(y+z)=x･y+x･z
x+x･y=x
x+y=x･y
例題1
分配則x+y･z=(x+y)･(x+z)を真理値表で確かめよ
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
y･z
0
0
0
1
0
0
0
1
x+y x+z
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(x+y)･(x+z)
0
0
0
1
1
1
1
1
x+y･z
0
0
0
1
1
1
1
1
論理式の作り方
すべての論理関数は，真理値表，論理式で表現できる．
論理式を回路で構成したものが論理回路（論理式と1対1
対応）
• 入力のすべての組み合わせのうち，出力が1の
ものだけについて，入力が1のものはそのまま，
0なら否定したものの積の式を書く．この式を最
小項という．
• 最小項の論理和が求める論理式である．
主加法標準形 or 積和標準形
例題2
3入力のうち，多数が1の時出力1となり，多数が0
の時出力0となる多数決論理の論理式を書け
x
y
z
f
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
x･y･z
x･y･z
x･y･z
x･y･z
f = x･y･z + x･y･z +
x･y･z + x･y･z
演習問題
• 吸収則x･(x+y)=x, x+x･y=xを真理値表で確
かめよ
• 2入力の比較器(2入力が同じなら1，異なるな
ら0を出力)の真理値表と論理式を書け
演習問題1
吸収則x･(x+y)=x, x+x･y=xを真理値表で確かめよ
x y
0
0
1
1
0
1
0
1
x+y
x･(x+y)
x･y
x+x･y
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
演習問題2
2入力の比較器(2入力が同じなら1，異なるなら0
を出力)の真理値表と論理式を書け
x
y
f
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
x･y
f = x･y+ x･y
x･y
x y
0
0
1
1
0
1
0
1
x･y x･y x･y+ x･y
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
f
1
0
0
1