Transcript オイラー閉路を求めるアルゴリズム

中間試験確認
１．情報について、どういう概念か簡単に示せ。（５）
多くの人にとって価値、関心のあるデータである。
２．確率が100分の1の情報量と、百万分の1の情報量を有効
数字３桁で示せ、但し、log102=0.301とする。（３×２）
100分の1 ：I(a)=-log2P(a)=-log2(0.01)
=2log2(10)=2log10(10)/log10(2)
=2/log10(2)=6.64bit
百万分の1 ：I(a)=-log2P(a)=-log2(0.000001)
=6log2(10)= 6log10(10)/log10(2)
=6/log10(2)=19.9bit
中間試験確認
３．情報の通信手段をいくつか示し、情報伝達の際に
起こる問題点を示せ。（２＋３）
手段：伝令、飛脚、伝書鳩、のろし、手旗信号、モー
ルス信号、電話など。
問題点：ノイズが入る。機密が漏れる。
４．12bitで表現できる記号の数は何通りか。また、
8192 bitは何byteか。（２×２）
12bit：212＝4096
8192 bit ＝ 8192/8 ＝ 1024 byte
中間試験確認
５．デジタルの欠点を簡潔に述べよ。（５）
サンプリング（A-D変換）時に情報の劣化がある
データが不連続である（時間の離散、値の離散）
６．十万字の漢字を取り扱いたい場合には最低何bit必
要か。整数で答えよ。必要であればlog102=0.301を
用いよ。（５）
２ｎ＞１０５ になるようなｎを求める。両辺のｌｏｇをとる。
ｎ・ｌｏｇ10２ ＞ 5
ｎ ＞ 5 / 0.301 ＝ 16.6
ゆえに1７ビット必要である。
中間試験確認
7.ＳＸＧＡ（横１２８０×縦１０２４ドット）、ＲＧＢ各８ビット
の場合の１画面の情報量は何ｋbyteになるか。（５）
1280×1024×8×3 bit
＝1280×1024×3 byte = 1280×3 kbyte
＝3840 kbyte
８．画像情報は音声情報に比べて情報量が大きいた
めその扱いが困難になることが多い。そのための対
策について簡潔に答えよ。また、その際に用いるソ
フトのことを何と呼ぶか。（2×2）
圧縮する。 コーディック。
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9.以下の２進数を１０進数に、１０進数を２進数に変換
せよ。（5×2）
101.1011 （２進）
＝１×２２＋１×２0＋１×２－１＋１×２－3＋１×２－４
＝４＋1＋0.5＋0.125＋0.0625
＝5.6875
17.625（10進）＝ 16＋１＋0.5＋0.125
＝１×２4＋１×２０＋１×２－1＋１×２－３
＝10001.101
中間試験確認
10. 10進数103を８ビット固定長の２進数で表せ、
また、-103を１の補数表現、２の補数表現で表
せ。（３×３）
10進 103 ＝64+32+4+2+1
＝ 01100111
１の補数表現 10進 -103 ＝ ２進 10011000
２の補数表現 10進 -103 ＝ ２進 10011001
中間試験確認
１１．コンピュータの5大機能について５つ挙げよ。
制御、演算、記憶、入力、出力（５）
１２．ＯＳの役割を３つ挙げよ。（５）
 ハードウエア資源の管理（キーボードやメモリの管
理など）
 アプリケーションソフトに共通する機能の提供（メ
ニュー表示など）
 ファイルシステムの提供（ＦＤＤ、ＨＤＤなどのファイ
ル管理）
中間試験確認
１３．RAMとROMについてそれぞれの特徴を説明せよ。
（３×２）
ＲＡＭは、電源を切ると内容が消える。書き込み可能。
ＲＯＭは、あらかじめ情報が書き込まれている。電源を
切っても情報は消えない（不揮発性）。書き込みはできな
い。
１４．バス幅32 bit、クロック数800 MHzの時の転送速
度は何byte/sか。（５）
32×800×106 bit/s = 32×108byte/s
中間試験確認
15．機械語を人間が読み易いように表現したものを何
と言うか。また、それを機械語に変換するソフトをな
んと言うか。（２×２）
ニーモニック、アセンブラ
16.記憶面数：２、トラック数：８０／面、セクタ長：５１２
byte、セクタ数：１８／トラックのＦＤ（フロッピーディ
スク）がある。この記録容量を計算してbyte単位で
答えよ。（５）
記憶容量＝２×８０×５１２×１８＝1,474,560byte
中間試験確認
１7．以下の略号の省略する前の用語を英字で[ ]内に書き、1行程
度で意味を説明せよ。（３×４）
（１）CPU [Central Processing Unit]
コンピュータの演算や制御を行う中心部分
（２）SPEC [Standard Performance Evaluation
Corporation]
コンピュータの処理速度を計測し、比較する組織
（３）BIOS [Ｂａｓｉｃ Ｉｎｐｕｔ／Ｏｕｔｐｕｔ Ｓｙｓｔｅｍ]
コンピュータの電源を入れてから立ち上がるまでの処理を行うシス
テム
（４）GUI [Ｇｒａｐｈｉｃａｌ Ｕｓｅｒ Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ]
アイコンやマウスを使って操作し易くしたコンピュータの操作環境
授業展開＃９
並べ替えと一筆書きのアルゴリズム
勝ち抜き戦のアルゴリズム
お立ち台方式
① 全員を一列に並べる。
② お立ち台を用意して、1番目の人を立たせる。
③ お立ち台の１番目は２番目と対戦させる。
④ １番目が勝った場合：2番目を戻し、３番目と対戦
させる。
２番目が勝った場合：1番目を戻し、２番目をお立
ち台に立たせ、３番目と対戦させる。
・・・3番目以降との対戦を次々と行い、負けると元の
位置に戻り、交代する。これを最後のｎ番目まで繰り
返す。

優勝旗方式
① 全員を一列に並べる。
② 優勝旗を用意して、1番目の人に持たせる。
③ １番目は２番目とその場で対戦させる。
④ １番目が勝った場合：2番目と場所を入れ替え、３
番目と対戦させる。
２番目が勝った場合：２番目に優勝旗を受け渡し、
３番目と対戦させる。
・・・3番目以降との対戦を次々と行い、負けたら優勝
旗を渡し、勝ったら場所を入れ替える。これを最後
のｎ番目まで繰り返す。
 トーナメント方式
 リーグ戦方式

並べ替え（ソート）のアルゴリズム
ソート：ある集まりをある特徴量の順に並べること。
 ソートキー：並べるために使われる特徴量
 順次法
① ｎ人を１列に並べる。
② 身長順に並ぶ場所Pを別に作っておく。
③ 一人目をPに連れて行く。
④ 二人目をPに連れて行き、Pより大きければ後ろに、
小さければ前に入れる。
⑤ 三人目をPに連れて行き、先頭から順に比べて、
三人目より高い人がいたら、その前に割り込ませる。
いなければ、一番後ろに並べる。
・・・これを全ての人に行う。

勝ち抜き法
勝ち抜き法で優勝者を決め、１位を除いた残りの中
で２位を決定し、これを最後まで行う。

順序分類法
例えば、1-100まで書かれた紙を番号順に並べ替
える場合、1-10、11-20、・・・91-100の10個の山
に分類し、次にそれぞれの山の中でソートする。

2分分類法
順序分類法で常に分類を常に２つにする方法。

一筆書きのアルゴリズム
ケーニヒスベルグの橋
オイラーの時代に、ある貴族が出した懸賞問題「下
図において１～７のすべての橋を一度だけ渡って出
発点に戻る経路は存在するか。」。オイラーはたちど
ころに解いたとされる。

１
２
３
４
５
６
７
一筆書き
 線形図形を一筆で描くこと。
 一筆
→線を描き始めてから鉛筆を紙から離すまで。
 同じ点は何度通っても良いが、同じ線分は２
度以上なぞってはいけない。
オイラー閉路
 節点：線画において線分が接続している点や
交差している点、線分の端点。
 辺：節点と節点をつなぐ線分。
 離散グラフ（グラフ）：節点と辺からなる図形。
 閉路：辺の重複がない経路の始めの節点と
終わりの節点が一致する場合。
 オイラー閉路：一筆書きの閉路のこと。
一筆書きとオイラー閉路
一筆書きの例
オイラー閉路の例
•任意の線画図形が一筆書きできるとはかぎらない。
•あるグラフにオイラー閉路があれば一筆書きできる。
•逆に、一筆書きできる図形は、全てオイラー閉路というわけではない。
オイラー閉路の存在判定問題
統計的に調べる。
①辺にラベルを付けて、あらゆる可能な並べ方を全部挙
げる。
４辺（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）ある場合は、４! = ２４通り。
②片っ端から、閉路になっているかどうかチェックする。
 辺の数がｎ本ある場合は、ｎ! 通りある。
ｎ=10 でも 10! = ３，６２８，８００

行き当たりばったりでは、困難。
オイラー閉路の判定には、簡単なアルゴリズムがある。
オイラーの定理
節点の次数：離散グラフで節点に出入りする辺の総
数。
 グラフが連結である：任意の２つの節点の間が何ら
かの経路でつながっていること。


オイラーの定理
ある離散グラフが連結であって、かつ、全ての節点
の次数が偶数ならば、その離散グラフにはオイラー
閉路が存在する。逆に、オイラー閉路が存在すれば、
その離散グラフは連結で、すべての節点の次数は
偶数である。
一筆書きができるグラフ
点から出ている線の数がどれも偶数本(2,4,6...)
であるグラフ
 奇数本(1,3,5...)の線が出ている点がちょうど2つ
だけあるグラフ （オイラー閉路にはならない）

３
a
b
c
d
e
f
c
a
b
d
５
g
f
e
３
３
g
オイラー閉路を求めるアルゴリズム
ある連結な離散グラフＧのすべての節点の次数が偶
数であるとする。
① Ｇに辺の重複のない１つの閉路Ｌを描く。（その閉路Ｌ
がすべての辺を含んでいれば、オイラー閉路完成）。
② ＧからＬを除いて得られる残りのグラフも、すべての節
点が偶数であるから、残りのグラフも、閉路Ｌ上の節点
からＬに含まれていない辺をつないで同じ節点に戻る
閉路Ｌ’が必ず構成できる。ＬとＬ’からなる図形は、一
つの閉路と見なせ、それを新たに離散グラフＧの閉路Ｌ
とする。
③ ②の手順をすべての辺がＬに含まれるまで続ければ、
得られた閉路Ｌはオイラー閉路である。
アルゴリズムの検証
オイラー閉路！
オイラー閉路演習
奇数次数
オイラー閉路である
一筆書き可能
オイラー閉路でない
一筆書き可能