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2012/11/9 (金)
電気回路学I演習
供給電力最大の法則
問1
jwL
R
有効電力 = P
+
E0
1
jw C
RL
-
負荷
ある回路に負荷 RL+jwL が接続されている。
RLで消費される有効電力をPとするとき、以下の問に答えよ。
問1-1) RLが固定, Lが可変であるとき、LをいくらにすればPが最大となるか。またそのときのPの値は?
問1-2) RLとLがともに可変の場合、RLとLをいくらにすればPが最大となるか。またPの最大値は?
ヒント: まず端子から左側を等価電圧源に書き直す。
その後で、教科書p.166ケース[1]～[3]の適用を検討する。
問2
jwL
R
負荷
+
xR
電源
E0
V(x)
上図の回路において、抵抗負荷 xR で消費される電力(有効電力)を P(x) とする。
以下の問に答えよ。
問2-1) P(x) を式で表せ。
ヒント: この負荷の両端の電位差をV(x)とすると、P(x)は
P x  
V x 
2
で与えられる.
xR
問2-2) P(x=3) = P(x=1) であった。
P(x=3) が最大となるのは、 x がいくらのときか?
またその最大値をRとE0 だけを使った式であらわせ。
ヒント: 条件からは RとwLの関係が導出される。
2012/11/9(金) 分 解答
電気回路学I演習
供給電力最大の法則
問1の解答
Eoc
1
+
E0
E1
jw C
1 jw C
R  1 jw C
E0 
R

1
1  j w CR
E0
E oc
RL

ただし、
E1 
Zin
次に内部インピーダンスZinを求める。Zinは上図
のように電圧源を短絡除去することで求めるこ
とができて、R  1 j w C
R

1  j w CR
1
Z in 

E0
1  j w CR

 E
 1

jw C
R  1 jw C
Z in
1
(短絡)
Z in 
jw L
-
R
従って負荷を含めた回路は下図のように書き直せる
+
電源部分を等価電圧源で表す。問題の回路
の開放電圧Eocは下図より、
E oc 
3
2

E0
2
1  w CR 
2




R
1  j w CR
R
1  w CR
2
- j
w CR
2
1  w CR
教科書の R 0 に対応
jX 0
2
に対応
4
問1-2
問1-1
j w L  - j Im  Z in 
Pが最大になるのは供給電力最大の法則より、
wL=-Im(Zin) となるときだから、(p.166[1])


1

j
w
CR


R
2
供給電力最大の法則より、負荷インピーダンスが
Zinの複素共役となっていればいい(p.166[3])ので、
問1-1の場合に加え、RL=Re(Zin)であればよい。こ
の条件より、


R
これを解いて、Lは、
L 

2
1  w CR
このとき、 P  E 1

2
1  w CR 
CR
R L  Re  Z in
E1
-

w CR
+

w L  - Im 
Z in
2

R L  Re 
1

j
w
CR


R
 RL 
2
1  w CR 
RL
2
 Re  Z in   R L 2
aR L
 R  aR L 2
E0
ただし、 a  1  w CR 
2
Lについては、
L 
CR
2
1  w CR
2
(問1-1と同じ)
このとき負荷抵抗で消費される電力は、
2
P 
E1
2
4 RL

E0
4R
2
(g 固有電力という.)
5
問2の解答
問2-2
問2-1
x=1 の抵抗を接続したとき、
P 1  
jw L
+
R
E0
xR
V(x)
1
4  w L R 
2
E0

2
R
-
x=3 の抵抗を接続したとき、
P 3  
3
16  w L R 
2

E0
2
R
負荷の両端の電位差を V(x) とすると、
V x  
xR
1  x  R  j w L
P(3) = P(1) という条件より、
E0
3
従って負荷抵抗 xR で消費される有効電力は、
P x  
V x 
xR
2

x
1  x 
2
 w L R 
2

E0
R
16  w L R 
1
4  w L R 
2
2
これを解いて、w L
R
末尾「多かった間違い」参照
2


2
①
6
＜多かった間違い＞ 有効電力の計算
次に供給電力最大の法則より、
問2-1で、
(負荷抵抗)=(電源側インピーダンスの絶対値)
xR
V x  
1  x  R  j w L
となるときに電力が最大となる (教科書p.166[2]). よって、
xR 
R  w L 
2
負荷抵抗
P x  
 3

2

xR

3
(f①を使った。)
3
1 
3
3 -1
E0
4

 V  x  2
 ...
xR
まちがい
V  x  は複素数なので, 絶対値の2乗はただの２乗では
2

R
2
2
 w L R 

2
E0
R
ありません。こうすると有効電力が複素数になってし
まいます。正しくは、
P x  
このとき負荷で消費される有効電力は、
P
Vx
電源側インピーダンス絶対値
 wL 
1 

R


x
2
のとき、
E0
Vx
2
xR
2

V x  V
*
x 
 ...
xR
(*は複素共役)
とします。こうすると有効電力は実数値として、正し
く求められます。