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円線図とは
回路の何らかの特性を複素平面上の円で表したもの
例えば、ZLの変化に応じてZinが変化する様子
AZL  B
Zin 
CZL  D
Zin
 A B
C D


ZL
一次分数関数 (双一次関数)
Az  B
w
Cz  D
(z の一次分数関数)
j
z の円
複素平面上で z が円(直線も r = ∞の円と考える)を描
くならば、 w も円を描く
一次分数関数は、複素平面上の円を円に写像する
0
wの円
円から円への写像
円から円への写像
w  z  H1
(平行移動)
w  H2 z
j
(相似回転)
wの円
j
z の円
ejr 回転
|H2|z の円
H2  H2 e jr
H1
0
w
1
z
wの円
(反転鏡像)
z の円を反転(
1
をとること)し、実軸に対しての
z
r
0
相似変換
z の円
j
反転
z の円
鏡像(その複素共役)をとる
鏡像
0
wの円
反転の3つの場合
反転の三つの場合
(a) z が原点を含まない円を描く場合
j
(b) z が原点を含む円を描く場合
j
A
z
A
z
1/ z
B
0
B
0
(1, 0)
(1, 0)
1/ z
(c) z が直線を描く場合
j
A
z
B
1/ z
0
(1, 0)
点Aに対しての反転である点Bは、
点Aと原点0を結ぶ直線上にある
∵ 点Aの座標をa+jbとすると、点Bの座標は、
1
a  jb
 2 2
a  jb a  b
よって、arg A = arg B
円線図の例
I
j
X=∞
j
R
V Zin
jX
V  Zin I
R = 0 RI
Zin  R  jX
V
R と jXの直列接続
電圧線図を描いてみよう
電流フェーザを実軸上にとると
0
RI
R=∞
jXI
V
jXI
I
0
X=0
I
X固定、R可変(R>0)の場合
j
さらに大きくなると
Rが大きくなるにつれて
R=0の時
jXI
V V
jXIV
0
I
X固定、R可変の場合
X = -∞
電圧線図
R固定、X 可変の場合
円線図(インピーダンス線図)
j
R
Zin
R=0
R
Zin  R  jX
R=∞
jX
jX
X=0
0
0
R と jXの直列接続
Zin 
I
R
j
j
1
R=∞
1 1

R jX
jX
X増大
鏡像
R増大
R=0
1/X 0 R=∞
X
R と jXの並列接続
X = -∞
R固定、X可変
X固定、R可変(R>0)の場合
X
V Zin
X=∞
j
R=0
1 1

反転 R jX
R=∞
X固定、R可変
X=0
0
R
1/R
X=∞
X減少
X=0
鏡像
X=∞
X=-∞
反転
1 1

R jX
R固定、X可変(X>0)
R固定、X可変(X<0)
RL並列回路のインピーダンス線図
RL並列接続回路のインピーダンス線図を描け
RL並列回路のインピーダンスZは、
jLR
 2 L2 R
LR2
Z
 2
j 2
 x  jy
2 2
2 2
R  jL R   L
R  L
R一定でLが変化する場合、
( 2 L2 R)2  (LR2 )2
(LR)2
x y 
 2
 Rx
2
2 2 2
2 2
(R   L )
R  L
2
2
2
 R
 R
  x    y2   
2

2
j
L=0
0
R
と置いた
 x2  Rx  y 2  0
これは、Z 平面上の(R/2, 0)に中心をもつ半径R/2の円
R, L > 0なので、x, y > 0
従って、Z 平面上の第1象限にのみに
限定された円となる
R
2
R
L
2
L増大
Z
 2 L2 R
x
2
2 2
R  L
LR2
y
2
2 2
R  L
L=∞
L = 0のとき、x, y = 0
L = ∞のとき、x = R, y =0
RL並列回路のインピーダンス線図
L一定でRが変化する場合、
( 2 L2 R)2  (LR2 )2
(LR)2
x y 
 2
 Ly
2
2 2 2
2 2
(R   L )
R  L
2
2
 x2  Ly  y 2  0
 L   L 
 x  y     
2   2 

2
2
2
 2 L2 R
x
2
2 2
R  L
LR2
y
R2   2 L2
これは、Z 平面上の(0, L/2)に
中心をもつ半径L/2 の円
j
R=∞
R, L > 0なので、x, y > 0
L
従って、Z 平面上の第1象限にのみに
限定された円となる
L
R増大
2
Z
R = 0のとき、x, y = 0
R = ∞のとき、x = 0, y = L
0R = 0
例題
例題10.7
下の回路インピーダンス線図を描け
j
C
Z
R
1
1
 jC
R
C = ∞ (f = ∞)
1
 jC
R
反転
R C = 0 (f = 0)
C = ∞ (f = ∞) 0
C = 0 (f = 0)
1/R
R
鏡像
C増大
(f 増加)
演習問題1
図のような回路の電源周波数ωを変化させたとき、
流れる電流 I のベクトル軌跡を示せ
I
L
E
ω
R1
R2
解答
電流 I は、 I 
E
E

R1 jL  R2
I
となる。
L
E
ω
j
R1
R2
ω=∞
反転
ω=∞
0
1E
ω = 0 R2 R2
R2
ω=0
E
jL  R2
1
jL  R2
E
R1
E
E

R1 2R2
E E

R1 R2
0 ω=∞
ω=0
E
E

R1 jL  R2
演習問題2
(10.9) 下の回路において、Rが可変であるとき、Rを流れる電流のフェーザ軌跡を描け
ただし、M2 ≠ L1L2, M ≠ L2とする
M
E
j( L2  M )
I

j( L2  M )( jM  R)
 j( L1  M ) j( L2  M )  jM  R
L1
L2
j( L2  M )  jM  R
E
E1

≡ YE
L1  L2  2M
L1L2  M 2
R  j
R
まず、Y の軌跡を考える
L2  M
L2  M
j
L1-M L2-M
L2  M
(L1L2  M 2 )
L L M
j 1 2
L2  M
I
R
R=0
L1  L2  2M
L1L2  M 2
R  j
L2  M
L2  M
R=0
2
R=∞
R=∞
E
0
M
E1
j
L2  M
j
(L1L2  M 2 )
R=0
Eを実数にとると
I
j
E( L2  M )
(L1L2  M 2 )
出席レポート問題
抵抗RとリアクタンスXの直列回路における合成アドミタンスYの軌跡を描け。
※ 次回の講義(12/15)前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと
円-円対応の証明
複素数 z が複素平面上において円周上を動くとき、
w
a0z  b0
も複素平面上において円周上を動くことを証明する
c0z  d0
(1)
即ち、 (z  e)(z  e)  p( 0)  (w  f0 )(w  f0 )  q0 ( 0) を証明する
(2)
(3)
z
e
(1)より、 w  f0 
従って(3)より、

f0
w
a0z  b0
a z  b1
zb
 f0  1
 a2 
c0z  d0
c0z  d0
zd
q
zb zb

 0  q( 0)
z  d z  d a2 a2
これを変形して、 (q  1)zz  (qd  b)z  (qd  b)z  qdd  bb  0
円-円対応の証明(続き)
q  1 のとき、 qd  b  e とおき、
q 1
(qd  b)(qd  b) qdd  bb q(b  d )(b  d )


 p( 0)
2
2
(q  1)
q 1
(q  1)
q  1 のときには (d  b)z  (d  b)z  dd  bb  0
d  b  s とおくと sz  sz  sb  sb  ss  0
(sz の実数部)
sz  sz
sb  sb  ss

 r (実数)となる
2
2
即ち sz は実数軸に平行な直線上を動く
従って z は直線上を動く
とおくと (2) が得られる
今後の講義日程と内容
教科書、参考書
電気回路
日程 (回目)
講義内容
- 三相、過渡現象、線路 -
電気回路
喜安 善市、斉藤 伸自 著
山田 博仁 著
朝倉書店
12/15 (第10回)
12/22 (第11回)
1/12 (第12回)
1/19 (第13回)
1/26 (第14回)
電気・電子工学
基礎シリーズ
分布定数線路の方程式
線路の縦続行列、波の反射
理想線路、無ひずみ線路
複合線路
無損失線路と反射波
8.1～8.3
8.4～8.6
8.8
9.1
9.2
朝倉書店
7.1～7.4
7.5～7.8
7.9
7.10
7.11