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電磁気学C
Electromagnetics C
5/11講義分
電磁場の波動方程式
山田 博仁
自由空間でのMaxwell方程式
Maxwell方程式
rot E ( x , t )
B ( x , t )
ファラデーの電磁誘導則
t
rot H ( x , t ) i e ( x , t )
D ( x , t )
t
電場に関するガウスの法則
div D ( x , t ) e ( x , t )
div B ( x , t ) 0
アンペール・マクスウェルの法則
変位電流
磁場に関するガウスの法則
自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間とは、真電荷および伝導電流がゼロ)
rot E ( x , t )
rot H ( x , t )
B ( x , t )
t
D ( x , t )
div D ( x , t ) 0
div B ( x , t ) 0
t
等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中
D( x,t) E ( x,t)
B( x,t) H ( x,t)
真空中
D( x, t) 0 E ( x, t)
B( x, t) 0 H ( x, t)
波動方程式の導出
第1式
E ( x,t)
B ( x , t )
t
D( x,t) E ( x,t)
B( x,t) H ( x,t)
両辺の rotation をとる
E ( x,t)
t
B( x,t)
t
ベクトル恒等式
( E ) ( E ) E
H ( x,t)
H ( x,t)
D( x,t)
2
t
D ( x , t )
t
2
2
第2式
( E ( x , t )) E ( x , t )
0
従って、
D( x,t) E ( x,t) 0
E ( x,t)
2
E ( x , t )
t
2
0
波動方程式
練習のため、第2式の rotation をとり、磁場に対する式を求めてみよう
B( x,t)
2
B ( x , t )
t
2
0
E ( x,t)
t
2
波動方程式導出においての変位電流の役割
変位電流は、MaxwellがAmpereの式に理論的考察により付加したものであるが、
仮に、この変位電流の項が無かったとしたら、波動方程式は導けるだろうか?
変位電流が無い場合の、自由空間でのMaxwell方程式は、以下のようになる。
rot E ( x , t )
B ( x , t )
t
第1式の rotation をとると、
E ( x,t)
rot H ( x , t ) 0
t
B( x,t)
0
div D ( x , t ) 0
div B ( x , t ) 0
t
H ( x,t)
第2式 H ( x , t ) 0
( E ( x , t )) E ( x , t )
0
D( x,t) E ( x,t) 0
従って、
E ( x, t) 0
となり、
静電場の場合のラプラスの方程式となってしまう。
波動方程式の意味
E ( x,t)
2
2
t
2
E ( x , t )
t
2
0
E ( x,t) 0
2
2
2
2
E ( x,t)
E ( x , t )
0
2
2
2
2
x
y
z
t
ここで簡単のため、E(x, t)は x と y には依存せず、z と t のみの関数であると仮定
つまり、 E(x, t) → E(z, t)
E ( z, t)
E ( z, t)
2
z
2
今ここで、
2
v
t
1
2
0
E ( z, t)
2
と置くと、
z
2
1 E ( z, t)
2
v
2
t
2
0
後で分かるように、v は電磁波が物質中を伝わる速度、真空中の場合には、v は
光速度 c で与えられ、
c
1
0 0
2 . 998 10 m/s
8
波動方程式の解
波動方程式
E ( z, t)
2
z
2
1 E ( z, t)
(教科書 p.200 参照)
2
v
2
t
2
0 の解は、 E ( z , t ) X 1 ( z vt ) X 2 ( z vt ) で与えられる。
x
+ z 方向に速度 v で進む波 (進行波)
- z 方向に速度 v で進む波 (後退波)
z
y
1 E ( x,t)
2
より一般的には、波動方程式
E ( x, t)
v
2
t
2
0
の解は、
E ( x , t ) X 1 ( k x t ) X 2 ( k x t ) で与えられる。
+ k 方向に進む波
- k 方向に進む波
kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル
は波の角周波数
平面電磁波
波面が平面からなる波が、波面に垂直方向に伝搬していく
k x t
z
波面
k x t3
k x t2
x
k
0
x
k x t1
y
平面電磁波
自由空間を伝搬する電磁波(進行波)の中で、特別な場合として正弦波で表される
電磁波を取り上げる。 角周波数 で振動しながら、+ z方向に伝搬する電磁波
E x E x 0 cos( kz t )
H x H x 0 cos( kz t )
E y E y 0 cos( kz t )
Hy H
E z E z 0 cos( kz t )
H z H z 0 cos( kz t )
y0
cos( kz t )
kは波数で、
k
2
v
x
E
z
y
平面電磁波
x, y 方向には一様
+ z方向に伝搬する電磁波
E x E x 0 cos( kz t )
H x H x 0 cos( kz t )
E y E y 0 cos( kz t )
H y H y 0 cos( kz t )
E z E z 0 cos( kz t )
H z H z 0 cos( kz t )
rot E ( x , t )
E z E y
y z
z
E x
z
B z
t
t
に代入、
E y E x
E x E z
e x
e
y
x y
z
x
0
0
E y
B ( x , t )
B x
t
0
B y
t
0
B y
B x
B z
e z
e
e
ez
x
y
t
t
t
0
kE y 0 sin( kz t ) H x 0 sin( kz t )
kE y 0 H x 0
kE x 0 sin( kz t ) H y 0 sin( kz t )
kE x 0 H
H z 0 sin( kz t ) 0
H z 0 0
y0
平面電磁波
同様に、 rot H ( x , t ) D ( x , t )
t
H z H y
y z
H x H z
e x
x
z
0
0
H y
z
H x
z
D z
t
D x
kH
t
D y
y0
に代入、
H y H x
e
y
y
x
0
0
sin( kz t ) E x 0 sin( kz t )
kH x 0 sin( kz t ) E y 0 sin( kz t )
t
0
E z 0 sin( kz t ) 0
以上の関係より、
Ex
H
y
D y
D x
D z
e z
e
e
ez
x
y
t
t
t
Ey
Hx
Ez H
z
0
kH
y0
E x 0
kH x 0 E y 0
E z 0 0
平面電磁波
Ex
H
Ey
Hx
y
x
Ez H z 0
E と H (ベクトル)は、波の進行方向に垂直な平面
内に存在し、互いに直交する。また、 E と H の大
きさの比は一定
Ex E
媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の
インピーダンスという
E
H
Ey Hy
Z
H
真空中のインピーダンス Z0は、
Z0
z
0
0
1 . 2566371 10
8 . 854185 10
6
12
377
[ ]
y
平面電磁波
インピーダンスZの媒質中を伝搬する電磁波に関して、EとHとの間には
以下の関係が成り立つ
E Z (H
k
k
),
H
1
(E
Z
k
)
k
x
k
E
z
y
H
ベクトル解析の復習
重要なベクトル恒等式
ラプラシアン
rot grad ( ) 0
div rot E ( E ) 0
div grad ( )
2
( ) E E
( スカラー場 )
rot rot E ( E ) ( E ) E
x
2
V
n
x
2
y
2
2
y
2
1
2
c t
2
2
F d r ( F ) n dS
C
S
F
dS
2
ストークスの定理
F n dS F dV
S
2
ガウスの定理
2
S
V
2
z
2
2
ダランベルシアン
□
( ベクトル場 )
n
F
S
dS
C
dr
z
2
1
2
c t
2
2
ベクトル解析の復習
演算子∇(ナブラ)と(ラプラシアン)の意味
,
,
x y z
2
2
2
2 2 2
x y z
勾配(gradient)
( x ) ( x ) ( x ) ( x )
( x )
( x )
grad ( x ) ( x )
,
,
ex
ey
ez
y
z
x
y
z
x
発散(divergence)
div E ( x ) E ( x )
E x ( x )
x
E y ( x )
y
E z ( x )
z
ナブラ∇とE(x)のスカラー積
スカラー積(内積)
A B Ax B x A y B y Az B z
ベクトル解析の復習
回転(rotation)
rot E ( x ) E ( x )
ex
ey
ez
x
Ex(x)
y
E y (x)
z
Ez (x)
E z ( x ) E y ( x )
E y ( x ) E x ( x )
E x ( x ) E z ( x )
e x
e z
e
y
z
x
y
z
y
x
ナブラ∇とE(x)のベクトル積
ベクトル積(外積)
ex
ey
ez
A B Ax
Ay
A z ( A y B z A z B y )e x ( A z B x A x B z )e y ( A x B y A y B x )e z
Bx
By
Bz
物理学の体系
一般相対性理論
(加速度系、重力場)
古典力学 (ニュートン力学)
(日常の世界)
v<<c
マクロの世界
特殊相対性理論
(慣性系、電磁場)
電磁気学(日常の世界)
v<<c
マクロの世界
量子電気力学
(ミクロの世界)
量子力学
(ミクロの世界)
相対論的量子力学
(相対論的場の量子論)