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電磁気学C
Electromagnetics C
5/11講義分
電磁場の波動方程式
山田 博仁
自由空間でのMaxwell方程式
Maxwell方程式
rot E ( x , t )  
B ( x , t )
ファラデーの電磁誘導則
t
rot H ( x , t )  i e ( x , t ) 
D ( x , t )
t
電場に関するガウスの法則
div D ( x , t )   e ( x , t )
div B ( x , t )  0
アンペール・マクスウェルの法則
変位電流
磁場に関するガウスの法則
自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間とは、真電荷および伝導電流がゼロ)
rot E ( x , t )  
rot H ( x , t ) 
B ( x , t )
t
D ( x , t )
div D ( x , t )  0
div B ( x , t )  0
t
等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中
D( x,t)   E ( x,t)
B( x,t)   H ( x,t)
真空中
D( x, t)   0 E ( x, t)
B( x, t)  0 H ( x, t)
波動方程式の導出
第1式
  E ( x,t)  
B ( x , t )
t
D( x,t)   E ( x,t)
B( x,t)   H ( x,t)
両辺の rotation をとる
    E ( x,t)  

t
  B( x,t)  

t
ベクトル恒等式
  (  E )   (  E )   E
  H ( x,t)  
  H ( x,t) 
 D( x,t)
2
t
D ( x , t )
t
2
2
  
第2式
 (   E ( x , t ))   E ( x , t )
0
従って、

  D( x,t)     E ( x,t)  0
 E ( x,t)
2
 E ( x , t )  
t
2
0
波動方程式
練習のため、第2式の rotation をとり、磁場に対する式を求めてみよう
 B( x,t)
2
 B ( x , t )  
t
2
0
 E ( x,t)
t
2
波動方程式導出においての変位電流の役割
変位電流は、MaxwellがAmpereの式に理論的考察により付加したものであるが、
仮に、この変位電流の項が無かったとしたら、波動方程式は導けるだろうか?
変位電流が無い場合の、自由空間でのMaxwell方程式は、以下のようになる。
rot E ( x , t )  
B ( x , t )
t
第1式の rotation をとると、
    E ( x,t)  
rot H ( x , t )  0

t
  B( x,t)  
0
div D ( x , t )  0
div B ( x , t )  0

t
  H ( x,t)
第2式   H ( x , t )  0
 (   E ( x , t ))   E ( x , t )
0

  D( x,t)     E ( x,t)  0
従って、
E ( x, t)  0
となり、
静電場の場合のラプラスの方程式となってしまう。
波動方程式の意味
 E ( x,t)
2


   
2

t

2
 E ( x , t )  
t
2
0

E ( x,t)  0


2
2
2
 2

 
 E ( x,t)

E ( x , t )  
0
 2 
2
2 
2

x

y

z

t


ここで簡単のため、E(x, t)は x と y には依存せず、z と t のみの関数であると仮定
つまり、 E(x, t) → E(z, t)
 E ( z, t)
 E ( z, t)
2
z
2
今ここで、
2
 
v
t
1

2
0
 E ( z, t)
2
と置くと、
z
2
1  E ( z, t)
2

v
2
t
2
0
後で分かるように、v は電磁波が物質中を伝わる速度、真空中の場合には、v は
光速度 c で与えられ、
c
1
 0 0
 2 . 998  10 m/s
8
波動方程式の解
波動方程式
 E ( z, t)
2
z
2
1  E ( z, t)
(教科書 p.200 参照)
2

v
2
t
2
 0 の解は、 E ( z , t )  X 1 ( z  vt )  X 2 ( z  vt ) で与えられる。
x
+ z 方向に速度 v で進む波 (進行波)
- z 方向に速度 v で進む波 (後退波)
z
y
1  E ( x,t)
2
より一般的には、波動方程式
E ( x, t) 
v
2
t
2
0
の解は、
E ( x , t )  X 1 ( k  x   t )  X 2 ( k  x   t ) で与えられる。
+ k 方向に進む波
- k 方向に進む波
kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル
 は波の角周波数
平面電磁波
波面が平面からなる波が、波面に垂直方向に伝搬していく
k x   t 
z
波面
k  x   t3  
k  x   t2  
x
k
0
x
k  x   t1  
y
平面電磁波
自由空間を伝搬する電磁波(進行波)の中で、特別な場合として正弦波で表される
電磁波を取り上げる。 角周波数  で振動しながら、+ z方向に伝搬する電磁波
E x  E x 0 cos( kz   t )
H x  H x 0 cos( kz   t )
E y  E y 0 cos( kz   t )
Hy  H
E z  E z 0 cos( kz   t )
H z  H z 0 cos( kz   t )
y0
cos( kz   t )
kは波数で、
k 
2



v
x
E
z
y
平面電磁波
x, y 方向には一様
+ z方向に伝搬する電磁波
E x  E x 0 cos( kz   t )
H x  H x 0 cos( kz   t )
E y  E y 0 cos( kz   t )
H y  H y 0 cos( kz   t )
E z  E z 0 cos( kz   t )
H z  H z 0 cos( kz   t )
rot E ( x , t )  
 E z E y

 y  z

z
E x
z
B z
t
t
に代入、

 E y E x
 E x E z 
e x  


e


y

 x  y

z

x




0
0
E y
B ( x , t )

B x
t

0
B y
t
0
B y

B x
B z
e z  
e

e

ez
x
y


t

t

t

0
 kE y 0 sin( kz   t )   H x 0 sin( kz   t )
 kE y 0   H x 0
 kE x 0 sin( kz   t )    H y 0 sin( kz   t )
kE x 0   H
 H z 0 sin( kz   t )  0
 H z 0  0
y0
平面電磁波
同様に、 rot H ( x , t )   D ( x , t )
t
 H z H y

 y  z


 H x H z
e x  


x
 z

0
0

H y
z
H x
z
D z
t


D x
kH
t
D y
y0
に代入、
 H y H x

e


 y 
y

 x
0
0
sin( kz   t )   E x 0 sin( kz   t )
 kH x 0 sin( kz   t )   E y 0 sin( kz   t )
t
0
 E z 0 sin( kz   t )  0
以上の関係より、
Ex
H
y

D y

D x
D z
e z 
e

e

ez
x
y

t
t
t

Ey
Hx



Ez  H
z
0
kH
y0
  E x 0
 kH x 0   E y 0
 E z 0  0
平面電磁波
Ex
H

Ey

Hx
y


x
Ez  H z  0
E と H (ベクトル)は、波の進行方向に垂直な平面
内に存在し、互いに直交する。また、 E と H の大
きさの比は一定
Ex E
媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の
インピーダンスという
E

H


Ey Hy
 Z
H
真空中のインピーダンス Z0は、
Z0 
z
0
0

1 . 2566371  10
8 . 854185  10
6
 12
 377
[ ]
y
平面電磁波
インピーダンスZの媒質中を伝搬する電磁波に関して、EとHとの間には
以下の関係が成り立つ
E  Z (H 
k
k
),
H 
1
(E 
Z
k
)
k
x
k
E
z
y
H
ベクトル解析の復習
重要なベクトル恒等式
ラプラシアン
 
rot grad     (   )  0
div rot E    (   E )  0
div grad     (   )      
2
(   ) E   E
( スカラー場 )
rot rot E    (   E )   (   E )   E
x
2

V
n
x
2
y


2

2
y
2
1 
2
c t
2

2
 F  d r   (   F )  n dS
C
S
F
dS
2
ストークスの定理
 F  n dS     F dV
S

2

ガウスの定理

2
S
V

2
z
2

2
ダランベルシアン
□
( ベクトル場 )

n
F
S
dS
C
dr
z
2

1 
2
c t
2
2
ベクトル解析の復習
演算子∇(ナブラ)と(ラプラシアン)の意味
    

  
,
,
 x y z 
2
2
 2


       2  2  2
 x  y  z




勾配(gradient)
  ( x )  ( x )  ( x )   ( x )
 ( x )
 ( x )
 
grad  ( x )    ( x )  
,
,
ex 
ey 
ez
y
z 
x
y
z
 x
発散(divergence)
div E ( x )    E ( x ) 
E x ( x )
x

E y ( x )
y

E z ( x )
z
ナブラ∇とE(x)のスカラー積
スカラー積(内積)
A  B  Ax B x  A y B y  Az B z
ベクトル解析の復習
回転(rotation)
rot E ( x )    E ( x ) 
ex
ey
ez



x
Ex(x)
y
E y (x)
z
Ez (x)
 E z ( x ) E y ( x ) 
 E y ( x ) E x ( x ) 
 E x ( x ) E z ( x ) 
e x  

e z
 


e



y


z
x 
 y 
 z
 y

 x
ナブラ∇とE(x)のベクトル積
ベクトル積(外積)
ex
ey
ez
A  B  Ax
Ay
A z  ( A y B z  A z B y )e x  ( A z B x  A x B z )e y  ( A x B y  A y B x )e z
Bx
By
Bz
物理学の体系
一般相対性理論
(加速度系、重力場)
古典力学 (ニュートン力学)
(日常の世界)
v<<c
マクロの世界
特殊相対性理論
(慣性系、電磁場)
電磁気学(日常の世界)
v<<c
マクロの世界
量子電気力学
(ミクロの世界)
量子力学
(ミクロの世界)
相対論的量子力学
(相対論的場の量子論)