- 東北大学電気・情報系
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Transcript - 東北大学電気・情報系
電磁気学C
Electromagnetics C
情報ナノエレ コース 5セメ開講
電磁波の物理
山田 博仁
講義について
1. 目的: 古典的な電磁場やMaxwell方程式について理解を深め、さらにそこか
ら導かれる電磁波の性質を理解し、古典電磁気学の素養を身に付ける
2. 内容
- Maxwell方程式の意味、定常状態でのMaxwell方程式の扱い
- 波動方程式の導出と電磁波
- 平面電磁波の性質（偏波、運動量、エネルギー）
- 誘電体中の電磁波（位相速度、インピーダンス、分散、非線形効果）
- 電磁波の反射、屈折、透過、回折、散乱現象
- 導波路中の電磁波伝搬
- 電磁ポテンシャルとゲージ変換
- 遅延ポテンシャルと先進ポテンシャル
- 電気双極子による電磁波の放射
再試は行わないつもりです
3. 成績評価
出席点(2点/1回)、レポートまたは小テストの合計で60点、定期試験で40点
4. 参考書
太田昭男著、新しい電磁気学 培風館
砂川重信著、物理テキストシリーズ4 電磁気学、岩波書店
砂川重信著、理論電磁気学、紀伊国屋書店
日本語訳 ファインマン物理学Ⅲ、Ⅳ 岩波書店など
講義に関する連絡や補足
講義に関する連絡および
講義資料のダウンロード
http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe
講義に関する補足説明等 ブログ http://kougi.at.webry.info/
オフィスアワー: 随時
(私の居室: 電気系2号館203号室)
質問、問い合わせ等
E-mail: [email protected]
TEL: 795-7101
※ 講義の際には、出席をとるためのB5またはA4のレポート
用紙などを各自ご持参下さい
遠隔作用と近接作用
Coulombの法則
電荷
F
力
+Q
+q
F
電場
(電界)
電荷
d
1
F
力
F
r
+Q
+q
電荷密度
2
遠隔作用
F
力
e(x) は位置 x での
qQ
4 0 d
電場に関する
Gaussの法則
E (r )
1
Q
4 0 r
2
div E ( x )
e( x )
0
F qE
F ( x ) qE ( x )
遠隔作用→近接作用
近接作用
両電荷間の距離 r が残っているという意味
において、これでもまだ遠隔作用的な考え方
遠隔作用と近接作用
クラシックコンサート
タクトが上がった
前の席の人が大きくて指揮者が見えない
席が悪くて指揮者が見えない
距離: d
遠隔作用では、「場」と
いう概念は必要ない
遠隔作用
演奏が始まるぞ !
あなたは、その「場」の
雰囲気を感じ取っている
近接作用
周りが静かになった
演奏が始まるぞ !
Maxwellの方程式
物質中の電磁場を規定する基本法則
rot E ( x , t )
B ( x , t )
ファラデーの電磁誘導則
t
rot H ( x , t ) i e ( x , t )
D ( x , t )
t
アンペール・マクスウェルの法則
div D ( x , t ) e ( x , t )
電場に関するガウスの法則
div B ( x , t ) 0
磁場に関するガウスの法則
E ( x,t)
B ( x , t )
E(x, t): 電場 (V/m)
t
H ( x , t ) ie ( x , t )
D ( x , t )
t
D ( x,t) e ( x,t)
SI国際単位系
H(x, t): 磁場 (A/m)
D(x, t): 電束密度 (C/m2)
B(x, t): 磁束密度(磁場) (Wb/m2)
B ( x,t) 0
ie(x, t): 伝導電流密度 (A/m2)
変位電流
e(x, t): 真電荷密度 (C/m3)
古典(ニュートン)力学の復習
ニュートンの運動法則
（第一法則） 慣性の法則
外力が働かなければ、静止している物体はいつまでも静止をつづけ、
運動している物体はいつまでも等速直線運動をつづける
（第二法則） 運動の法則
物体に外力が働くとき、物体には外力と同じ向きの加速度が生じる。その
加速度の大きさ a は、働いている外力の大きさ F に比例し、物体の質量
m に反比例する。つまり、F = ma
（第三法則） 作用反作用の法則
物体AがBに力 F （作用）を働かせてると、BはAに同じ大きさで逆向き
の力 -F（反作用）を同一作用線上で働き返す
万有引力の法則
F = G(m m’/r2) [m と m’ は二質点の質量、r は両者の間の距離、Gは重力定数]
古典物理学の法則総決算
(ファインマン物理学第Ⅲ巻第18章)
Maxwell方程式
E
e
0
E
B
t
B 0
c B
2
ie
0
E
t
電荷の保存則
ie
e
t
力の法則 (ローレンツ力)
F q(E v B)
万有引力
運動の法則
d
dt
( p) F ,
p
mv
1 v / c
2
2
F G
m1m 2
r
2
er
Maxwell方程式の意味
1. ファラデーの電磁誘導則
rot E ( x , t )
B ( x , t )
t
磁場(磁束密度)の時間的減少が、その周りに電場の渦を右ネジ方向に作る
B(x, t1)
E(x, t1)
B(x, t2)
B(x, t3)
E(x, t2)
E(x, t3)
変化する磁場の周りの電界は、そこに導線(コイル)が有る無しに関わらず生じる
たまたま導線が有ると、導線内の自由電子が
電界により動き、電流 I が流れる
コイル
I
Maxwell方程式の意味
2. アンペール・マクスウェルの法則
rot H ( x , t ) i e ( x , t )
D ( x , t )
t
ie(x, t)
定常電流が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る
H(x, t)
さらに、電場(電束密度)の時間的増加が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る
E(x, t1)
H(x, t1)
E(x, t2)
H(x, t2)
E(x, t3)
H(x, t3)
Maxwell方程式の意味
3. 電場に関するガウスの法則
div D ( x , t ) e ( x , t )
電荷密度が電場(電束密度)の発散を引き起こす
D(x)
e(x)
4. 磁場に関するガウスの法則
div B ( x , t ) 0
B(x)
磁場(磁束密度)の発散源(磁荷)は存在しない
m(x)
その他の関係式
ie ( x , t )
e ( x , t )
電荷保存則 (電流連続の式)
t
i e ( x , t ) [ E ( x , t ) E ex ( x , t )]
ローレンツ力
F q(E v B)
媒質中での扱い
オームの法則
(構造関係式)
D ( x,t) 0 E ( x,t) P ( x,t)
B ( x , t ) 0 { H ( x , t ) M ( x , t )}
0 E ( x,t) 0 e E ( x,t)
0 H ( x,t) 0 m H ( x,t)
0 (1 e ) E ( x , t )
0 (1 m ) H ( x , t )
0 r E ( x , t )
0 s H ( x,t)
E ( x,t)
H ( x,t)
P(x, t): 分極ベクトル
e: 電気(比)感受率
M(x, t): 磁化ベクトル
m: 磁化率(磁気感受率)
r : 比誘電率
: 誘電率 (F/m)
-12
2 2
-1
-2
覚え方 0 : 8.854185×10 (A ・s ・N ・m )
s : 比透磁率
: 透磁率 (H/m)
0 : 1.2566371×10-6 (A2・s2・N-1・m-2)
ややこしい矢号も自由に引けりゃ一人前
人の不幸ろくろく見ないで点引きゃ無情
ローレンツ力
ローレンツ力
導線
F q(E v B)
x
導線
E = 0なら
+q
v
F
F
電流
B
F
B
I
I
フレミングの
左手の法則
z
y
アンペールの法則
(右ねじの法則)
同一方向に流れる電流には引力が働く
v
電子
I
-e
I
B
フレミングの右手の法則
電子
F
v
I
F
-e
v
B
B
これらは全てローレンツ力で説明できる
クイズ
[1]
コイルに電流は流れるか?
[2]
起電力は発生するのか?
- V +
コイル
B
I?
B
v
速度 v で移動
w
一様な磁場
[答] 1) 図の方向に流れる
2) 図と反対方向に流れる
3) 流れない
参) 大田昭男著 新しい電磁気学
p.119 8.2節参照
回転する
導体円板
一様な磁場
[答] 1) 図の方向に電圧が発生する
2) 図と反対方向に電圧が発生する
3) 発生しない
単極誘導
参) 大田昭男著 新しい電磁気学
p.120 例題8.1参照
クイズ
[3]
[2]で、円板は固定して、磁場
の方を回転させたらどうなるか?
- V +
- V +
B
B
w
静止した
導体円板
静止した
導体円板
N
回転する一様な磁場
[答]
1) 図の方向に電圧が発生する
2) 図と反対方向に電圧が発生する
3) 発生しない
w
回転する磁石
S
磁場の本質とは?
- V +
- V +
B
B
両者は等価
静止した
導体円板
静止した
導体円板
コイル
N
w
w
回転する磁石
S
I
電流 I が流れている
コイルを回転する
クイズ
[4]
磁場中を運動している荷電粒子のパラドクス
x
x
一様な磁場 B
一様な磁場 B
+q
+q
v
v
v=0
F
F
z
y
F=qvB
z
y
v
ローレンツ力が働き、
粒子はこちらに近づい
て来る
荷電粒子と同じ速度で運動している観測者
から見ると v = 0
従って、ローレンツ力は働かず、粒子はこち
らに近づいて来ない。本当か?
ローレンツ力と相対運動
z
E
Bz
K
z’
y
K’
v
+
q
Fy’
x
y’
x’
-v
Fy’ = q v×Bz
電磁場とは何か?
場とは、空間の歪み
一体何が歪むのか?
重力場: 空間の重力的な歪み?
電磁場: 空間の電気的な歪み?
よくこんな図を見かけるが、、、
ゴムシートの上に重い球を乗せると、シートが窪む
この場合、歪む「もの」が実体としてある
ゴムの分子
しかし電磁場の場合、或いは重力場の場合、そのような歪む「もの」が実体としてある
訳ではない
クイズ
[5]
同じ速度 v で、並走する2つの電子のパラドクス
電子
電子
v
F
-e
v
F
F
-e F
v
F
-e
v
-e F
B
今、ロ－レンツ力による引力と、
クーロン力による反発力が吊り
合っているとする
電子と同じ速度で並走している
観測者から見ると、v = 0 である
ため磁場 B は存在しない。従っ
てロ－レンツ力による引力は働
かないので、クーロン力による反
発力のみとなり、2つの電子は次
第に離れていく
参) ローレンツ・ゲージにおけるMaxwell方程式
ローレンツ・ゲージにおいて、Maxwell方程式は次の方程式系で置き換えられる
E ( x,t)
A ( x , t )
grad ( x , t )
(1)
B ( x , t ) rot A ( x , t )
(2)
2
1
2
2
c t
1
( x , t )
e ( x,t)
0
(3)
2
1
2
2
c t
A ( x , t ) 0 ie ( x , t )
(4)
(5 )
div A ( x , t )
t
1 ( x , t )
c
2
t
0
ここで、ϕ(x, t), A(x, t)は各々
スカラーポテンシャルとベク
トルポテンシャルである
2
ただし、真空中を仮定して、 0 0 c としている。
式(5)は、ローレンツ条件と呼ばれている
ベクトル解析の復習
重要なベクトル恒等式
rot grad ( ) 0
( ゼロベクトル
)
div rot E ( E ) 0
div grad ( )
2
( ) E E
( スカラー場 )
( ベクトル場 )
rot rot E ( E ) ( E ) E
ガウスの定理
ストークスの定理
F n dS F dV
F d r ( F ) n dS
S
C
V
n
S
F
dS
S
V
n
F
S
dS
C
dr
ベクトル解析の復習
演算子∇(ナブラ)と (ラプラシアン)の意味
,
,
x y z
(ベクトルと見なせる)
2
2
2
2
2
2
x
y
z
(スカラーと見なせる)
勾配(gradient) ‥ スカラー量に作用して、ベクトル量を導く演算子
( x ) ( x ) ( x ) ( x )
( x )
( x )
grad ( x ) ( x )
,
,
ex
ey
ez
y
z
x
y
z
x
発散(divergence) ‥ ベクトル量に作用して、スカラー量を導く演算子
div E ( x ) E ( x )
E x ( x )
x
E y ( x )
y
E z ( x )
z
ナブラ∇と E(x)のスカラー積
スカラー積(内積)
A B Ax B x A y B y Az B z
ベクトル解析の復習
回転(rotation) ‥ ベクトル量に作用して、ベクトル量を導く演算子
rot E ( x ) E ( x )
ex
ey
ez
x
Ex(x)
y
E y (x)
z
Ez (x)
E z ( x ) E y ( x )
E y ( x ) E x ( x )
E x ( x ) E z ( x )
e x
e z
e
y
z
x
y
z
y
x
ナブラ∇と E(x)のベクトル積
ベクトル積(外積)
ex
ey
ez
A B Ax
Ay
A z ( A y B z A z B y )e x ( A z B x A x B z )e y ( A x B y A y B x )e z
Bx
By
Bz