Transcript 第2章 1階微分方程式（人口予測）

数楽（微分方程式を使おう！）
～第２章 １階微分方程式～
平成１９年９月５日
技術１課 佐藤 強
第２章
１階微分方程式
まずは、小手調べ
次の微分方程式を解け。
dy
k
dt
答えは

dy
dt
dt 
微分方程式を解くとは、未知関数の具体的
な形を式の変形と積分によって求める作業
 kdt
y  kt  C （ C は積分定数）
第２章
１階微分方程式
先週のおさらい（重要）
微分方程式とは、未知数ではなく未知関数y(t)の
微分を含んだ条件式です。dy/dt=k もまた微分方
程式なのです。なぜなら、これは未知関数y(t)の
微分を含んだ条件式だからです。この微分方程式
が意味するところは「y(t)を微分すると、dy/dtは定数
になるよ」という条件なのです。
第２章
１階微分方程式（等加速度運動）
問題１（等加速度運動）
ある高さから静止している物体を初速度0で落下
させるとき、この物体の t 秒後の速度を求めなさい。
ただし、空気抵抗は無視します。
解法ステップその１
速度に関する微分方程式を作る。
解法ステップその２
その微分方程式の一般解を求める。
解法ステップその３
初期条件を与え、特殊解を求める。それが求める答え！
第２章
１階微分方程式（等加速度運動）
解法ステップその１
ニュートンの運動方程式 F=ma （あまりにも有名）と
地球上にある質量 m の物体は常に重力 –mg を
受けているところから、次の式を導きます。
F  ma
a
dv
F m
dt
dt
一方、重力を受けてい
 mg  m
dv
ることから
dv
dv
dt
dt
 g
第２章
１階微分方程式（等加速度運動）
解法ステップその２
速度 v に関する微分方程式の一般解を求める。
dv
 g
両辺を t で積分する。
dt
dv
 dt dt   (  g ) dt
v   gt  C ・・・これが一般解
第２章
１階微分方程式（等加速度運動）
解法ステップその３
この一般解から初期条件を代入して特殊解を求める。
物体ははじめ静止していたので、
t  0 のとき、
v0
v   gt  C へ代入して、
 v   gt
C 0
第２章
１階微分方程式（人口予測）
問題２（人口予測）
ある都市の人口を予測してみようという試みです。
・人口が毎年何人増えるか（減るか）
・人口 y の時間変化、すなわち人数増し分を⊿y
・⊿yの増加が期間⊿t内に起きたなら人口変化率は⊿y/⊿t
・人口変化率（⊿y/⊿t）と人口の関係は？
・その時点での人口が多ければ、人口変化率も大きい
・人口変化率はその時点の人口に比例すると考えられる
第２章
１階微分方程式（人口予測）
数式に置き換えてみる！
⊿y
⊿t
 定数  y
dy
dt
ここで、⊿t→0として微分方程式に
 ry
これを解いてください
第２章
dy
１階微分方程式（人口予測）
 ry を t について両辺を積分し
dt

dy
dt
dt  r  ydt  C
左辺  y , 右辺  y を t で積分？？？
y  r  ydt  C
これ以上無理！？
てみると、
第２章
１階微分方程式（人口予測）
ここでテクニック！変数分離法の登場！
dy
 ry 
dy
dt

 rdt
おもむろに積分！
y
dy
y

 rdt
これなら簡単！
第２章
左辺は

右辺は
 log
１階微分方程式（人口予測）
1
y
dy  log
e
y  C1
r  dt  rt  C 2
e
y  rt  C  
y  Ce
rt
dy
第２章
１階微分方程式（人口予測）
 ry
の正体は実は指数関数であった！
dt
y  Ce
rt
は一般解ですから、
t  t 0のとき
y  y 0として
特殊解を求めてください。
第２章
１階微分方程式（人口予測）
これが求める特殊解！
y  y0e
r ( t  t0 )
この解から何が読み取れますか？
第２章
１階微分方程式（人口予測）
一宮市の人口推移
年月日
人口
1999/3/31
361,495
2000/3/31
363,504
2001/3/31
365,683
2002/3/31
367,346
2003/3/31
368,424
2004/3/31
369,795
2005/3/31
372,058

t 0  1999 、 y 0  361 , 495
r 
363 ,504  361 , 495
 0 . 0055
363 ,504

2005年の人口を予測する
y  361 , 495 e
0 . 0055 *( 2005 1999 )
 373 , 623
第２章
１階微分方程式（一般化）
一般化された１階線形微分方程式を解く！
dy
 ry  k
dt
解いてください！
上記のような微分方程式のことを非斉次式という。
【重要】
非斉次式の一般解は、斉次式の一般解および
非斉次式の特殊解の和で与えられる。
第２章
１階微分方程式（一般化）
斉次式の一般解は
dy
 ry  y  Ce
rt
dt
非斉次式の特殊解はどのように導くか？
特殊解ｙ１は
dy 1
dt
y1  C ( t ) e ・・・①
rt
rt

 C ( t ) e  C ( t ) re
rt
rt

 C ( t ) e  ry 1
第２章
１階微分方程式（一般化）
求める式は
dy
 ry  k
でした
dt
従って、
C  ( t ) e  ry 1  ry 1  k
rt
 rt

C ( t )  ke
これを積分して、 C ( t )  
k
r
e
 rt
第２章
１階微分方程式（一般化）
これを①に代入して
y1  
k
e
 rt
e
r
rt

この解法を
k
「定数変化法」という
r
これが、求める非斉次式の特殊解
従って、最終的に求める一般解は
y  Ce
rt

k
r
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