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大気の力学（1）
ー 物質微分 ーmaterial derivative
• 流体の運動を記述する。
• A(x,y,z,t) の流体にそった時間変化 dA/dt を考える。
dA

dt
A
t
u
A
x
v
A
y
w
A
物質微分
局所微分
移流項
Material
derivative
Local
derivative
advection
z
保存量の移流
(advection of conserved quantity)
ー 温位(P.T)を例として ー
• 水平面上に温位傾度があり、風が吹いている。
• 暖かいほうから風が吹くと暖かくなる。
ーー＞暖気移流 (warm advection)
• 冷たいほうから風が吹くと寒くなる。
ーー＞寒気移流 (cold advection)
３３０K
暖
:warm
３２０K
３１０K
d
dt


u

寒
:cold
t


t

 u   0

 u   
連続の式
continuity equation
• 流体の質量は流れに沿って不変である。
Mass is conserved
d

    u  0 発散があれば密度減少
dt
or

t

   u  0
Advective form
divergence causes
decrease in density
フラックス形式
flux form
剛体の回転(rotation of solid body)
ー
 回転ベクトル(rotation vector) ー


v
r

r
• 地球大気は自転する地
球上にある。
• 地球に固定した座標系
で表現したい。
 

v  r
u   y
v   x
｜Ｖ｜＝Ω r
剛体の回転
ー 回転ベクトル ー



v

r
 

v  r
• 地球の回転角速度は？
Angular velocity of
earth rotation
7.292 x10-5 rad s-1
• 赤道の速度は？Speed
at the equator
半径ｘΩ
6.37x106x7.292x10-5
=465m/s
ニューステージ 新訂 地学図表 浜島書店
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J時間t 経過すると y=Vt だ
け移動する（実線矢印）。
地表はΩの角速度で回転し
ているので角度はΩ t ずれ
る。
ずれの距離は y Ω t であり、
即ち、Ω V t2 となる。
一定の加速度 a の移動距
離は、1/2 a t2 なので、y方
向（運動に直角右向き）の加
速度は、2 Ω V となる。
これをコリオリ力という。
F  2 V
• コリオリ力は、運動に北半球では直角右向き
• コリオリ力は、速度に比例。
• コリオリ力は、地球の自転角速度Ωに比例。
• 緯度  では、水平面の角速度は  sin 
従って、単位体積の空気塊に働くコリオリ力は
F    2  sin   V    f  V ,
f  2  sin 
コリオリ因子
北緯30度で50m/s の物体が2秒進むとずれは？
F    2  sin   V    f  V ,
f  2  sin 
• Ω＝7.292×10-5 rad s-1
北緯30度でのコリオリ因子 f 2  sin 
f = 7.292×10-5 s-1
• 風速 50 m s-1 なら 単位質量当たりの力は
3.65×10-3 m s-2 （加速度a）
2秒後は、100 m 進むが、1/2 a t2 ずれる。
0.5 × 3.65×10-3 ×22 = 7.3×10-3
= 0.0073 m = 7.3 mm
回転座標系での運動（1）
motion at a rotationg cooardinate

R
dA
P
A
o
• A --- 静止座標系での
ベクトル
vector at restcoordinate
• A’ --- 回転座標系での
ベクトル
vector at a rotating
coordinate
回転座標系での運動（1）

R
dA’ dA
R
P
A
• A --- 静止座標系での
ベクトル
• A’ --- 回転座標系での
ベクトル
PR  PQ  QR
d A  (   A ) dt  ( d A ) 
o
実際の変化＝速度ベクトル＋回転系での変化
回転座標系での運動（2）

 dA 

 A
dt
 dt 
dA

dA
 dA 
A

 
dt
 dt 
r A
V  V    r
V’ を（＊）に代入すると、
（＊）
回転座標系での運動（3）

d (V    r )
 dV ' 
   V'

 
dt
 dt 

dV
dt

dV

d
dt
r 
dr
   V'
dt
 0    V    V'
dt

dV
dt
   ( V '   r )    V '
回転座標系での運動（4）

dV
 dV ' 
 2   V '   (   r )

 
dt
 dt 
回転系での
加速度
慣性系での
加速度
コリオリ力
みかけの力
慣性系での運動方程式
dV
dt
 
1

p  g
遠心力
回転座標系での運動方程式
遠心力は重力に含める。
ダッシュは省略する。
1
 dV 

  2  V    p  g

 dt 
実際は球面上。
スケール解析で小さい項は落とす。
（Ro：ロスビー数、U/fL ＜１）
鉛直は静力学平衡。ー＞プリミティブ方程式系
水平の運動方程式
• 気圧傾度力とコリオリ力が卓越する。
• コリオリ力はコリオリ因子（ｆ）と速度の積に比例
• 時間変化項（加速度項）は非線形。
du
 
1 p
dt
 x
dv
1 p
dt
 
 y
f  2  sin 
  latitude
 2  sin   v
 2  sin   u
d
dt


t
u

x
v

y
w

z
鉛直座標系
vertical coordinates
•
•
•
•
p-座標系
Log-p 座標系
 座標系
温位座標系
p-座標系
 
dp
dt
u
x

v
y


p
 0
  gz ,
 
p
ps
pressure
 
 gradient
 force
地衡風バランス
Geostrophic wind (balance)
• 赤道付近や地表面付近を除く大規模な流れでは、
コリオリ力と気圧傾度力がほぼバランスしている。
これを地衡風という。
低
北半球
ug
気圧傾度力
コリオリ力
地衡風
高
vg
1   


 


f  y 
p
1   
 


f  x 
p
地衡風バランス
Geostrophic wind (balance)
• 赤道付近や地表面付近を除く大規模な流れでは、
コリオリ力と気圧傾度力がほぼバランスしている。
これを地衡風という。
低
南半球
ug
気圧傾度力
地衡風
高
コリオリ力
vg
 p 


 

f   y 

1
 p 
 


f   x 
1
地衡風バランス
Geostrophic wind (balance)
ニューステージ 新訂 地学図表 浜島書店
地衡風の例題
北緯30度の500hPaで高度が5600ｍである。その北
100kmで5540ｍである。等高度線は東西に走って
いる。その付近の風の方向とおおよその風速を求
めよ。
• 解答：風は地衡風に近い。p-系の式を使う。
• f=２×Ω×sin(30°）＝2x7.292x10-5x0.5
=7.292 x 10-5 [s-1]
ug=-{(-60)x9.8/105}／(7.292x10-5)=81m/s
80m/s の西風
傾度風バランス
Gradient wind
• 傾度風バランスは、コリオリ力、気圧傾度力と
遠心力のバランス
L
H
北半球の図
トルネードは、
高気圧の中心は 普通 なだらか
温度風
Thermal wind
fu g  
f
u g
p

p
f
p
y

 g
u g


z
p
 
y p

g


gRT
p
R T
u g
p y
 ln p

R T
f y
温度風
Thermal wind
• 下層から上層へ時計回り・・・暖気移流
•
反時計回り・・・寒気移流

V上
冷
V下
VT
暖
v g
 ln p
R

f
k   pT
or
H
v g
z
*

R
f
k   pT
温度風
一般気象学第2版より
温度風の応用
［南北温度傾度の強い所で西風シアが大きい］
［南北温度傾度がなくなる所がジェットの極大］
ジェット
西風シア強い
温度風：風の順転（=暖気移流）、逆転（=寒気移流）
一般気象学第2版より
偏西風ジェットの説明
• 低緯度の方が高緯度より暖かいので、中緯度上空で
は気圧の傾きが急になり、強い西風となる。
500hPaにおける高度と風（冬）
北半球
南半球
図19.5： (左)北半球冬季と(右)南半球冬季の各平均の500hPa等圧面における高度、
温度、風速の分布。気温の東西平均値からのずれが－4℃以下に影を4℃以上に点
描をつけた
平均（通常に近い状態）
ブロッキング
図 19.6：1983年12月18日から27日までの10日間で平均
した500hPa等圧面における高度、温度、風速の分布。北
東太平洋上にブロッキングと呼ばれる高気圧がある。気
温の東西平均値からのずれが－4℃以上に影を－4℃以
下に点描をつけた。
風のバランス
地表面摩擦の効果
• 気圧傾度力、コリオリ力、摩擦力がバランスする。
• 低圧側へ等圧（高度）線を横切る。
• 低気圧で下層収束。
L
気圧傾度力
風
摩擦力
コリオリ力（風に直交）
H
北半球
南半球
ニューステージ 新訂 地学図表 浜島書店