限界費用

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ミクロ経済学第10回
企業と費用3:費用関数
前回の宿題の解説
• 資本投入量をK、労働投入量をLとすると、ある企業
の生産関数がY=2KLだとします。資本一単位あたり
の資本レンタル率が500円、労働一単位あたりの
賃金率が1000円であるとします。
(1)10000円の総費用に対応する等費用曲線のグラ
フを描きなさい。
(2)生産量が100のとき、費用を最小化する資本投入
量と労働投入量をそれぞれ求めなさい。
(3)(2)において、労働の資本に対する技術的な限
界代替率を求めなさい。
今日やること
1.費用関数とは何か
2.限界費用
3.固定費用と可変費用
4.限界費用と平均費用
4.1 限界費用が一定のケース
4.2 限界費用が逓増するケース
費用最小化
• 資本の1単位当たりのレンタル率をr、労働1単位当
たりの賃金(wage)をwとする
• 資本レンタル率と賃金は市場で決定(各企業にとっ
て所与)
Min
K ,L
rK  wL
subject
to
F ( K , L )  Y0
「生産量をY0にするという制約条件のもとで、費用を
最小化する資本投入量Kと労働投入量Lをもとめよ」
費用最小化→費用関数
Min
K ,L
rK  wL
subject to
F ( K , L )  Y0
• これを解くと、費用を最小化する資本投入量
K*と労働投入量L*がわかる
⇒(生産要素価格wとrを所与として)生産量Y0
を達成するための最小費用は
C(Y0; w, r)=rK*+wL* ← これが費用関数
費用関数
費用関数: ある生産量を達成するための最小コスト
C=C(Y, w, r)
• 生産量と生産要素価格が決まれば費用が決まる
• 普通はwとrは定数と考えて C=C(Y) と表記
⇒(賃金と資本レンタル率の値がわかっているなら)
生産量が決まれば費用が決まる
今日やること
1.費用関数とは何か
2.限界費用
3.固定費用と可変費用
4.限界費用と平均費用
4.1 限界費用が一定のケース
4.2 限界費用が逓増するケース
限界費用と平均費用
限界費用 (Marginal
Cost) 
dC

dY
費用の増加分
生産量の増加分
あと1単位生産量を増やすと費用はどれだけ増えるか
平均 費用 (Average
Cost) 
C

Y
費用
生産量
1単位当たりの費用はいくらか
混同しないように!
例: C=10+2Y 限界費用と平均費用は?
限界費用一定の費用曲線の例
限界費用曲線
MC
費用曲線
C
限界費用
=費用曲線の傾き
傾きが一定なので
限界費用も一定
Y
Y
限界費用逓増の費用曲線の例
費用曲線
限界費用曲線
C
MC
限界費用
=費用曲線の傾き
Yが増えると傾き急
→限界費用が増加
Y
Y
今日やること
1.費用関数とは何か
2.限界費用
3.固定費用と可変費用
4.限界費用と平均費用
4.1 限界費用が一定のケース
4.2 限界費用が逓増するケース
総費用=固定費用+可変費用
固定費用: 生産量にかかわらず一定の費用
• 生産量がゼロでも生産を始めるためにかかる費用
• 例: 発電所の建設費用
可変費用: 生産量を変えることで変化する費用
• 生産量を増やすことで増える費用
• 人件費、原材料費など
例: C=1000+2Y
固定費用は?
可変費用は?
可変費用=限界費用の和
例1)
生産を0から1に増やす限界費用=1
生産を1から2に増やす限界費用=2
生産を2から3に増やす限界費用=3
⇒生産量が3のときの可変費用は1+2+3=6
例2)
限界費用が一定 ⇒ 可変費用=限界費用×生産量
⇒平均可変費用=限界費用の平均
今日やること
1.費用関数とは何か
2.限界費用
3.固定費用と可変費用
4.限界費用と平均費用
4.1 限界費用が一定のケース
4.2 限界費用が逓増するケース
限界費用と平均費用の関係
費用=固定費用+可変費用
 平均費用=
固定費用
生産量

可変費用
生産量
→ 平均費用=平均固定費用+平均可変費用
可変費用=それまでにかかった限界費用の総和
→ 平均可変費用=平均限界費用
→ 平均費用=平均固定費用+平均限界費用
限界費用が一定のときの平均費用曲線
平均費用=平均固定費用+平均限界費用
生産量が少ないと大
きいが、生産量が増
えるとゼロに近づく
=限界費用
生産量にかかわらず
一定
• 平均費用は生産量とともに下がり、生産量が増える
につれて限界費用に限りなく近づく
限界費用が一定のときの数値例
C=10+5Y → 平均費用=10/Y+5
平均費用のグラフを描いてみよう
5
限界費用
Y
限界費用が逓増するときの平均費用曲線
平均費用=平均固定費用+平均限界費用
生産量が少ないと大
きいが、生産量が増
えるとゼロに近づく
限界費用が逓増
なら生産量ととも
に増える
• 平均費用はU字型になり、平均費用が最小になる点
では、平均費用=限界費用 となる
限界費用が逓増⇒平均費用がU字型
AC
平均費用=平均固定費用+平均限界費用
生産量が少ない
⇒生産量が増えると
固定費用÷生産量が
急激に減る
生産量が多い
⇒生産量が増えると
可変費用が急激に
逓増
Y
限界費用が逓増するときの数値例
C=6+Y2→限界費用=2Y 平均費用=6/Y+Y
平均費用のグラフを描いてみよう
限界費用
Y
Y
限界
費用
平均
費用
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
7
5
5
5.5
6.2
限界費用逓増のときの平均費用曲線
平均費用=限界費用
MC AC ⇒ 平均費用が最小・傾き0
限界費用<平均費用
⇒ 平均費用は右下がり
平均費用最小
Y
限界費用>平均費用
⇒ 平均費用は右上がり
限界費用と平均費用の関係
限界費用<平均費用 → 平均費用は右下がり
• 成績が平均未満の生徒が転入 → 平均点↓
• 生産増 → 平均費用減
限界費用>平均費用 → 平均費用は右上がり
• 成績が平均超の生徒が転入 → 平均点↑
• 生産増 → 平均費用増
平均費用の増減表
固定費用>0、限界費
平均費用を生産量
d C (Y )
dY
Y
用逓増を仮定する。
Y で微分すると、
1 
C (Y )  1
  C  (Y ) 
  限界費用  平均費用
Y 
Y  Y
Y が小さいと平均費用は
非常に大きくなり、上
限界費用  平均費用 が成立する
Y が大きいと限界費用が
非常に大きくなり、上
 平均費用は U 字型になり、限界費用
となるときに最小にな
と、上式
る。
式<0
0
式>0
=平均費用
