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研究会「超弦理論と宇宙」2008 エンタングルメント・エントロピー と 重力エントロピーの双対性 高柳 匡 (京都大学理学部) 文献 Ryu-T, hep-th/0603001, PRL96(2006)181602. Ryu-T, hep-th/0605073, JHEP0608:045,2006. Hirata-T, hep-th/0608213, JHEP 0702:042,2007. Nishioka-T, hep-th/0611035, JHEP 0701:090,2007. Headrick-T, arXiv:0704.3719 Hubeny-Rangamani-T, arXiv:0705.0016 Azeyanagi-Nishioka-T, arXiv:0710.2956 笠-高柳, 日本物理学会誌 62(2007)421 内容 ① イントロダクション ② エンタングルメント・エントロピーとは？ ③ AdS/CFTによるホログラフィックな解釈 ④ ブラックホールへの応用 ⑤ まとめと今後の展望 ①イントロダクション 一般相対論における重力的エントロピー ブラックホールのエントロピーは、 Bekenstein-Hawkingの面積則で計算される。 SBH A horizon 4G N この公式は、理論の詳細によらず普遍的に成り立つ。 • 漸近的に平坦でも、（反）ドジッターでも良い。 • 物質場の詳細（例えば、スカラー場が何個？）に依存しない。 注） 超弦理論のような量子効果を取り入れた量子重力理論で は、ブラックホールのエントロピーは面積則から変更を受け る。曲率が小さい極限では、その補正項は無視できるが、 小さなブラックホールでは、補正が重要になる。 この解析は、超弦理論における最近の話題の一つである が、今回のテーマに本質的ではないので触れない。 [Ooguri-Strominger-Vafa, Dabholkar, Sen,… 04’~] エントロピーが面積に比例することは、重力理論における 自由度が、実際には１次元低く見えることを示唆する。 ホログラフィーの原理 [t ‘Hooft, Susskind,…] 等価 d+2次元の（量子）重力理論 d+1次元の場の理論など 例： ブラックホールのエントロピー ＝ 熱力学的エントロピー 重力理論の分配関数 ＝ 場の理論の分配関数 最も詳しく理解されているホログラフィーの例：AdS/CFT対応 今回の話では、ホログラフィーの考え方を仮定すると エントロピーの面積則がブラックホール以外のもっと一般の 時空でも成り立つことを説明したい。 重力側 場の理論側 地平線の面積 （BHエントロピー ） 拡張 ＝ 熱力学的エントロピー 拡張 任意の最小曲面の面積 ＝ エンタングルメント・エントロピー ② エンタングルメント・エントロピーとは？ Quantum Entanglement (量子もつれ合い、絡み合い） の度合いを測定する量 「基底状態がどれほど量子的か？」をあらわす。 現在まで、様々な分野に応用されてきている。 • 量子情報、量子コンピューター（量子情報量の定義） • 物性理論（低次元量子多体系のオーダーパラメーター） • 量子重力理論（ブラックホールのエントロピーとの関係） エンタングルメント・エントロピーの定義と性質 まず、多体系の量子力学において、全体系を部分系AとBに 二分割する。このとき、もとのHilbert空間は、二つの Hilbert空間の直積に分かれる H tot H A H B . 具体例： スピン系を2分割する。 A B 全体系の密度行列を totとする。 例えば絶対零度（純粋状態）では、 tot 。 このときBを観測しない（Bをトレースアウトする）と仮定した場合 の密度行列は、 A TrB tot , と書け、これをAに制限した密度行列と呼ぶ。 注: 演算子OAがBの情報に依存しない場 合 OA Tr[ OA tot ] Tr A[OA A ] . この設定で、「Aに関するエンタングルメント・エントロピー」 S A を A に対するフォン・ノイマンエントロピーとして定義する。 SA TrA A logA . もともとの系が純粋状態すなわちS=0であっても、部分系Bを 見えないと仮定することで、 S A は一般に非自明になることに 注意。 簡単な例 : スピン1/2を持つ二つの粒子系（2 qubit) 1 (i) A 2 A B B Not Entangled ? ? (ii) A B A B / SA 0 2 Entangled ? SA log 2 エンタングルメント・エントロピーの基本的性質 (i) Aと Bの間に相互作用がなく独立 (ii) 全体系が純粋状態の場合 S A SB 0 . S A SB . 熱力学エントロピーと違って示量的ではない！ (iii) 有限温度では、一般に S A SB である。 特に高温極限では、 S A S B 熱力学的エントロピー （iｖ) 強劣加法性（Strong Subadditivity) [Lieb-Ruskai 73’ ; See also Nielsen-Chuang’ text book 00’] S A B C S B S A B S B C . ある種の凸性(Concavity)を表す C B A 場の理論におけるエンタングルメント・エントロピー 場の理論におけるエンタングルメント・エントロピーを考える。 時空Mは、d+1次元で定義され、静的であるとする。 M Rt N . このときHilbert空間をAとBの二つに分けるのを幾何学的に 行なえる。(幾何学的エントロピーとも呼ばれる。） A A B B N 幾何学的エントロピーの物理的意味 (i) 観測者がBを観測できないと仮定したときに生じる あいまいさ ブラックホールのエントロピーと類似 (ii) AとBの（非局所的）相関 相関関数よりもウイルソンループに近いが、どんな場の 理論でも定義可能。 量子相転移に応用可能 (iii) 場の理論の自由度の一つの見積もり 実際、2次元では、central chargeに比例する。 幾何学的エントロピーの面積則 場の理論は、無限の自由度を有するので、幾何学的エントロ ピーは紫外発散する。そのとき、最高次の項に関して次の 面積則が知られている（aは正規化のための格子間隔）。 Area( A) SA ~ (subleading terms). d 1 a [Bombelli-Koul-Lee-Sorkin 86’, Srednicki 93’] これはブラックホールのエントロピーの面積則に似ている。 地平線 BH ?? 観測者 実際に、量子補正に対応 していると考えられている。 [Susskind-Uglm 94’] ③AdS/CFTによるホログラフィックな解釈 高次元(d+1>2)の場の理論におけるエンタングルメント・エント ロピーの計算は、煩雑な量子的計算を要求する。 またブラックホールのエントロピーとの関係の理解を深めるに は、その重力的解釈が欲しい。 そこで、AdS/CFT対応を思い出してみると、この両方の問題を 解決する可能性が期待できる。 量子的な物理量 共形場の理論 微分幾何学的量（古典的） 超重力理論 AdS5 /CFT4 duality N D3 - branes Near horizon limit ' 0 IIB string on AdS5 S 4D N 4 SU(N) SYM 5 SO(2,4) 4D conformal symmetry SO(6) R - symmetry of N 4 SYM 1 gs N 1 R 2 (8 2 NgYM )4 ' AdS/CFT 対応（Poincare 座標） 2 2 d 2 dz dx dx 0 i1 i ds 2 R 2 . 2 z AdS d 2 UV CFTd 1 on M Rt N za (UV cut off) IR z 1 z ~ (energy) -1 AdS/CFTに基づくエンタングルメント・エントロピーの計算 漸近的にAdSd+2に近づく空間 ＵＶ固定点を持つd+1次元の場の理論 主張 Area( A ) SA . ( d 2) 4GN ここで、 A は、d+2次元時空中のd次元の極小曲面 で、境界が部分系Aの境界と一致するもの。[Ryu-TT 06’] (時間方向を省略した ) N B 極小曲面 A A AdSd 2 (Poincare 座標) z コメント(1)： このホログラフィックな公式は、Bekenstein-Hawkingのブラック ホールエントロピーの式と見かけ上同じであるが、 A は、 一般にホライズンではない。 しかし有限温度のときに現れるAdSブラックホールを考えると A はホライズンの一部を覆う。その寄与は、熱力学的 エントロピーに相当する。 A B BH A 直感的解釈 B ??? A 観測者 A A があたかもブラックホールのホライズンであるかのよう に振る舞い、Ｂの情報を中に隠している。 コメント(2): 幾何学的エントロピーの面積則の導出は、この公式を用いると とても容易である。 Area( A ) Area( A ) ~ R (subleading terms). d 1 a A A d なぜならば、AdSの計量は、境界付近（紫外領域）で発散する からである。 コメント(3) 強劣加法性のAdS/CFTによる証明 [07’ Headrick-TT, 06’ Hirata-TT] A B C A =B C A B C A = B C A B C A B C S A B S B C S A B C S B S A B S B C S A S C この証明で明らかなように、余次元が重要な役割をする。 強劣加法性は、一般の量子多体系のホログラフィーの存在を示唆する。 具体的比較（AdS/CFTの検証) (i) AdS3/CFT2 この場合は、2次元共形場理論の結果が解析的に分かってい るので、完全な比較が可能。両者の一致が厳密に証明できる。 AdS3 l z c l S A log . 3 a 測地線の長さ 測地線 (ii)高次元の場合 超重力理論に対応するのは、共形場理論が強結合な領域なの で比較が困難。N=4超対称性ゲージ理論で、自由場の場合 に比較すると数10%程度係数がずれるが、関数形は一致する。 高次元の場合に場の理論側からの一般的な理解は進んでいな い。エンタングルメント・エントロピーのスケーリングの一般論に 関しては、AdS/CFTを用いた計算が現在のところ唯ーの結果と なっている。 （AdS/CFTのbulk-boundary関係からある仮定のもとに示されたFursaev 06’ 。しかし最近、微妙な点があることがSchwimmer-Theisen 08’で指摘さ れ、高次元で面積則からのずれをAdS/CFTが予言する可能性もある。） 部分系Aの境界が球面の場合のスケーリング d 3 l d 1 d / 2Rd l SA p p 1 3 ( d 2) 2GN (d / 2) a a l Area law p p (if d even) d 1 d a divergence , 2 pd 2 l q log l (if d odd) a a where p1 (d 1) 1 , p3 (d 2) /[ 2(d 3)],.... ..... q (1) ( d 1) / 2 (d 2)!! /( d 1)!! . A universal quantity which characterizes odd dimensional CFT Conformal Anomaly (~central charge) ④ブラックホールへの応用 2次元AdS時空 時間 CQM1 AdS2 CQM2 2次元AdS空間は、3次元以上のAdS空間とは違って、 global座標だと境界が二つある。 2 2 d d 2 ds (cos ) 2 . AdS2 は、4次元の電荷を帯びたBPSブラックホールの Near horizon極限で得られる。 2 2 ( r r ) r 2 2 2 2 ds 2 dt dr r d r2 (r r ) 2 2 2 r ds 2 2 dt 2 2 d 2 r2 d 2 r S2 AdS2 AdS2/CFT1を仮定すると、2つの共形量子力学が、AdS2空間 上の重力理論(=4D ブラックホール）と等価ということになる。 そこで、二つのCFTのエンタングルメント・エントロピーを AdS/CFTによる前述の公式を用いて計算すると、 S ent A 1 4GN( 2 ) r 4G 2 ( 4) N S 4D BH AdS2/CFT1 となり、4次元BPSブラックホールのエントロピーと一致すること が分かる。 このように見ると、 4次元BPSブラックホールについても、 二つのCFTのエンタングルメントを考えるとエントロピーの 微視的理解を得られることが分かる。 [Azeyanagi-Nishioka-T 07’] 高階微分項を含む重力作用の場合（Wald公式の導出） (0) Rabcd Rabcd 2 (1 n) ( g ac g bd g ad g bc ) ( ) L Tr[ ] log Z n dx g ab cd 2 (1 n) ( ) Rabcd L 2 (1 n) 2 h . ab cd S Rabcd L n S ent Tr[ A ] 2 2 h . ab cd S n Rabcd n A 4 Wald Entropy ! ⑤まとめと今後の展望 • 以上では、場の理論エンタングルメント・エントロピーを ホログラフィーを用いて幾何学的に計算する方法について 説明した。今後の課題は以下のとおり。 (1) ブラックホールのエントロピーの量子力学的解釈 (2) 閉じ込めなどの相転移の秩序変数 (cf. Klebanov-Kutasov-Murugan, Nishioka-TT 07’, Velytsky 08’) (3) トポロジカルな理論の解析の道具 （e.g. topological EE) (4) AdS/CFT対応や、一般にホログラフィー原理の定式化？ 逆問題：CFTの情報で、dualな計量を完全決定できるか？ (5) AdS/CFT対応によるホログラフィックな計算を第一原理 的に行う。