Transcript ppt

第27回 理論懇シンポジウム 2014年12月24-26日
重力理論と量子エンタングルメント
高柳 匡（京大基研）
g 
① はじめに： なぜ量子エンタングルメント？
素粒子論の``伝統的な’’目標：物質の最小単位の解明
物質⇒素粒子の集合体、場の理論や超弦理論の記述
さてでは、
時空⇒ もともと与えられていると仮定するのではなく、
何か最小単位の集合体とみなせるのか？
``時空の素粒子？’’
⇒ 量子エンタングルメント?! [最近のAdS/CFTの解釈]
「時空の面積～エンタングルメント・エントロピー」
参考文献
[解説本]
高柳匡著
「ホログラフィー原理と量子エンタングルメント」
SGCライブラリ106 臨時別冊・数理科学(2014年4月)
[日本物理学会誌]
西岡辰磨（東大本郷)、笠真生(イリノイ大) 、高柳匡
「AdS/CFT対応とエンタングルメント」 (2014年6月号)
[専門的レビュー]
西岡-笠-高柳, arXiv:0905.0932, J.Phys.A42:504008,2009.
高柳, arXiv:1204.2450, Class.Quant.Grav. 29 (2012) 153001.
内容
① はじめに：なぜ量子エンタングルメント？
② エンタングルメント・エントロピーとは？
③ ホログラフィック・エンタングルメント・エントロピー
④ AdS/CFTの新しい解釈(AdS/MERA)
⑤ おわりに
② エンタングルメント・エントロピー(EE)とは？
• エンタングルメント・エントロピー(EE)とは、
量子エンタングルメントの度合いを測定する量
基底状態の``アクティブな自由度’’をあらわす。
• 量子的な秩序変数として盛んに活用されている。
量子多体系の数値実験における``観測量’’
*複雑なハミルトニアンが与えられた時に臨界点の
セントラルチャージ(c)を数値的に求めるために利用。
*c定理やF定理の強劣加法性を用いた証明。[Casini-Huerta 04,12]
エンタングルメント・エントロピーの定義
多体系の量子力学において、全体系を部分系AとBに
２分割し、Hilbert空間を二つの直積に分ける：
H tot  H A  H B .
具体例： (1)スピン鎖を二分割する。 A
(2)場の理論の空間を二分割する。
B
B
全体系の密度行列を  tot とする。
例えば絶対零度（純粋状態）では、  tot   
。
このときBを観測しない（Bをトレースアウトする）と仮定した場合
の密度行列は、
 A  TrB  tot ,
と書け、これをAに制限した密度行列と呼ぶ。
この設定で、「Aに関するエンタングルメント・エントロピー」 S A
を  A に対するフォン・ノイマンエントロピーとして定義する:
S A  T rA  A log A
.
場の理論とEE
従来の場の理論の考え方：
ハミルトニアン(ラグラジアン)や演算子の
構造に着目。相関関数やＳ行列の計算。
?
⇒局所的、代数的な手法
(大域的な情報はブラックボックス）
＊ 熱的な純粋状態と混合状態を区別できない。
＊ トポロジカルな自由度（非局所的）を扱いにくい。
* 演算子を指定する必要があるので、普遍的な議論がしにく
い。
量子エンタングルメントを用いる手法の長所
量子状態  に着目し、その性質をEEなどを用いて調べる。
(EE = ヒルベルト空間の任意の部分空間に対する関数）
⇒非局所的、幾何学的な手法
＊様々な場の理論の性質が幾何学的に捉えられる：
(1) 場の理論の局所性 ⇒ 面積則 (EE∝面積)
(2) c定理、F定理 ⇒ 強劣加法性 (~三角不等式)
* EEは非局所的な量なのでトポロジカルな性質を検知できる。
* 余次元の存在を示唆する⇒AdS/CFT対応と相性が良い。
A
例：1+1次元場の理論 S A  S ( x, y, t )
x
y
→ 2+1次元？
③ホログラフィック・エンタングルメントエントロピー
(3-1) AdS/CFT対応
AdS/CFT対応 [Maldacena 1997]
(d+2)次元反ドジッター(AdS)
空間上の（量子）重力理論
古典重力解
(ブラックブレーンなど）
無毛定理
=
(d+1)次元空間上の
共形場理論(CFT)
ラージN、強結合の
量子臨界点
ユニバーサリティ
(3-2) ホログラフィック・エンタングルメントエントロピー(HEE)
[笠-高柳 06]
境界
Area( A )
SA 
.
( d  2)
4GN
N
B
A
(時間方向を省略した)
極小曲面  A AdSd  2
2
2
2 dz  dt  dx
CFTd 1 ds  R
z2
2
2
z
ここで、  A は、d+2次元時空中のd次元の最小面積曲面
（極小曲面）であり、境界が部分系Aの境界と一致するもの。
コメント： このHEE公式は、最近 [Lewkowycz-Maldacena 13]によって
ほぼ証明に近い導出が与えられた。
このHEE公式はBekenstein-Hawkingのブラックホール
エントロピー公式の一般化と思える。
ブラックホールのホライゾン（時間に依存しない場合）
⇔ 外曲率のすべての成分がゼロ
∩
極小曲面
⇔外曲率のトレースがゼロ
AdS/CFT対応における情報の対応
An observer
A
??
The information in A
is encoded here.
HEEの一般的な振る舞い
[笠-高柳 2006]
A
面積則の紫外発散
奇数次元のＣＦＴの自由度を
特徴づける量。３次元のQFTで
は、繰り込み群で単調減少。
[Casini-Huerta 2012, Liu-Mezei 2012,
Myers-Singh 2012, …]
共形アノマリー（中心電荷）に比例
強劣加法性の幾何学的証明
[Headrick-高柳 2007]
エンタングルメント・エントロピーが満たす最も基本的な性質の
１つである強劣加法性(Strong Subadditivity)[Lieb-Ruskai 73] を以下
のように簡単に幾何学的に証明できる。
C B A
A
B
C
A
= B
C
A
 B
A
B
C
A
= B
C
A
B
C
C

 S AB  SBC  S ABC  SB
 S AB  SBC  S A  SC
④AdS/CFT対応の新しい解釈(AdS/MERA)
(4-1) アイデア
各スピン対間のエンタングルメントを、スピン間の距離で分類。
x
y
1ビット
＝時空の最小単位
 のダイナミクス
＝エンタングルメントの波
＝重力波
S A  S ( x, y, t )
 g  ( x  y) / 2, z  y  x, t 
余次元(z=y-x)
(4-2) テンソルネットワーク
最近、テンソル積状態と呼ばれるグラフィカルな方法で波動関
数を記述し、量子多体系の基底状態を変分法により数値計算を
行う手法が成功を収めており、盛んに計算されている。
基底状態の良い近似 ⇔ エンタングルメントを正しく再現
例：行列積状態 (MPS, Matrix Product States)
[DMRG: White 92, Ostlund-Rommer 95…]
 
T r[M ( )M (

 

1
2
)  M ( n )]  1 ,  2 ,,  n
1 , 2 ,, n
M :   の行列　（   で厳密解）
n Spins


M ( )

行列積状態の図示
1  2  3
1  2
n

n
 i  1,2,...,  ,
 i  or  .
Spin chain
 
T r[M ( )M (

 

1
1 , 2 ,, n
2
)M ( n )]  1 ,  2 ,,  n
n Spins
行列積状態やツリー状態のEEは、以下のようにバウンドされるの
で、一般に大きなＥＥを持つCFTの基底状態を記述できない。
S A  2 log 
( log L ~ S
CFT
A
).
A
A

 1  2  3  n1  n
A
1  2  3  4  5  6  7
A
S A ~ N交差  log  ,
N交差  min[ Aとネットワークの交差
数].
8
(4-3) AdS/CFT対応とエンタングルメント繰り込み
MERA (Multiscale Entanglement Renormalization Ansatz):
CFTの基底状態の波動関数を求める手法 [Vidal 05]
CFTの持つ大きなエンタングルメントを実現するために、
エンタングラー(entangler)と呼ばれるユニタリー変換を追加す
る。
エンタングラー
1  2  3  4  5  6  7
8
1  2  3  4  5  6  7
8
1+1 次元のCFTに対する MERAにおけるEEの計算
部分系A=長さLの線分
u  4
u  3
A
log L
u  2
u  1
A
L
S A  Min[# Bonds]  log L
 2次元 CFTの結果と一致
u0
ここでAdS/CFT対応とホログラフィックなEEを思い出す。
境界
Area( A )
SA 
.
( d  2)
4GN
N
B
(時間方向を省略した)
極小曲面  A A
AdSd2 (Poincare座標)
z
ここで、 A は、d+2次元時空中のd次元の最小面積曲面
（極小曲面）であり、境界が部分系Aの境界と一致するもの。
さて、このHEE公式から、
「重力理論の時空＝エンタングルメントの集合体」
であることが予想される。 ⇒まさにそれがMERA!?
A
B
A
プランク長
MERAとしてのAdS/CFTの解釈
[Swingle 09]
Min[#Bonds]
A
A
Min[Area]
A
u  ( u IR )
A
等価
u  0 u  1
AdSd  2
CFTd 1
2
 2 dz  dt  dx
e
2
2
計量  du  2 (dt  dx ) 
,
2

z
但し z    e u .　(  格子間隔）
2u
2
2
有限温度のMERA
[Based on Thermofield dynamics, 松枝-石原-橋爪12]
CFT1
CFT1
CFT2
CFT2
AdS/MERA
AdSブラックホールの
ペンローズ図
ブラックホール
の地平線
(4-4) AdS/CFT対応とcMERA
[笠-野崎-高柳 12]
場の理論の結果と比較するには、連続極限をとったエンタングルメン
ト繰りこみの方が分かりやすい(⇒これがcMERA)：
Continuous MERA (cMERA) [Haegeman-Osborne-Verschelde-Verstraete 11]
 (u )

基底状態をスケール uまで
粗視化 (u  0は基底状態自体）
u

 P  exp  i  ds[ K ( s )  L]  
 u IR

Ω

,
エンタン スケール IR 状態 (エンタン
グラー 変換 グルメントは皆無 )
 実空間の繰りこみ : 長さのスケール ~   e u .
ヒルベルト空間の次元は変えず、空間各点が独立のIR状態からスタ
ートして、少しずつエンタングルメントを織り込み、基底状態を作る。
また一般に、IR状態はＣＦＴの境界状態から構成できる。
[宮地-笠-Wen-高柳 14]
cMERAにおける余次元方向の計量
簡単のため、並進不変な量子状態を考える。
このとき、余次元方向の計量guu
2
dsGravity  g uu du 
2
e 2u
2
2
 dx  g tt dt 2
は以下のようにcMERAで計算されると予想される：
g uu du  N  1   (u ) | eiLdu |  (u  du)

2
スケール変換の効果を取り除く
フィッシャー
面積要素＝ guu du
情報計量
2
  エンタングラーの密度2 .


u  du
u
u0
(4-5) 励起状態(量子クエンチ)に対する計量(guu)
[Mollabashi-野﨑-笠-高柳 13]
z g zz  g (u)
重力波の伝播のように見える
t
t=2
t=1
t=0
z g zz
z
cMERAにおいて|g(u)|∝tであることから、EEが時間に比例して増
加する(SA∝t)ことが分かる。
これは2次元共形場理論の結果[Calabrese-Cardy 05]を再現し、
高次元のホログラフィックな結果[Hartman-Maldacena 13]とも合う。
⑤ おわりに
本講演から、量子多体系（量子物理）、量子情報理論（情報）、重力
理論（幾何）の３つの分野の深いかかわり合いが分かった。しかし、
このような流れが本格的に始まってから間もなく、現在の知見は氷
山の一角に過ぎないかもしれない。
今後の一つの大きな方向性は、量子重力理論・超弦理論の基本的
なダイナミクス（アインシュタイン方程式など）を量子エンタングルメ
ントの考え方を用いて、表現することであろう。
[部分的な成果：EEの第一法則＝真空Einstein方程式の摂動]
[沼澤-野崎- Prudenziati-高柳 13, Lashkari-McDermott-Raamsdonk 13 ]
また、AdS/CFT対応に代表されるホログラフィー原理をより一般の時
空へ拡張するために、MERAの一般化も重要なテーマであろう。
[宮地-高柳, work in progress]
量子多体系の物理
(場の理論、物性理論、統計力学,可解系)
AdS/CFT
(ホログラフィー)
重力理論
（超弦理論）
量子エンタングルメント
テンソルネットワーク
HEE
量子情報理論
（情報幾何)
BH情報問題