Transcript A Holographic Dual of Bjorken Flow

A Holographic Dual of
Bjorken Flow
Shinji Mukohyama
Institute for Physics and Mathematics
of the Universe (IPMU)
University of Tokyo
with S.Kinoshita, S.Nakamura and K.Oda, to appear
Then and now
• 2005 : the centenary of Special Relativity
• 2006-2007:
the centenary of Yukawa & Tomonaga
• Now
• 2015 : the centenary of General Relativity
Our dream now: Unification of Quantum Theory
& General Relativity
Why are black holes important?
• Cosmology & black holes will play as important
a role in the development of quantum gravity as
blackbody radiation & hydrogen atoms did in
the history of quantum mechanics.
• Black hole thermodynamics involves
gravity
GN
3
kBc A
S BH 
quantum mechanics
GN 4
statistical mechanics kB
ブラックホールの熱力学



ブラックホールには、熱力学と良く似た性質
が多くある。
熱力学：熱平衡状態は、少ない巨視的パラ
メータで記述される。
ブラックホール：定常解は、少ないパラメータ
で記述される（無毛定理）。
例：Schwarzschildブラックホール
EBH  Mc
3
c
k BTBH 
8GN M
2
dEBH  TBH dS BH
3
S BH
kBc

A
4GN
16G
2
A
M
4
c
2
N
ブラックホールの質量
ホーキング輻射の温度
ブラックホールの第１法則
ブラックホールのエントロピー
地平線の面積
ブラックホール熱力学の法則
法則 熱力学
ブラックホール（古典論）
定常解では表面重力kが
一定
dM = kdA/8GN + 回転・
電荷項
第２ エントロピーＳは減少 地平線の面積Ａは減少し
しない
ない
第３ 物理過程で温度を零 物理過程で表面重力を零
にできない（Nernst） にできない
零温度極限でエントロ
ピー零（Planck）
第０ 熱平衡では温度Ｔが
一定
第１ dE = TdS + 仕事項
一般化された第２法則と
ブラックホールのエントロピー
第２ エントロピーは減少し
法則 ない

疑問１：物質をブラックホールに投げ入れたら？
？？ エントロピー減少？

地平線の面積は減少しな
い
地平線の面積増加（OK）
疑問２：ホーキング輻射でブラックホールが小さくなっ
たら？
？？ エントロピー増加（OK） 地平線の面積減少？

熱力学第２法則とブラックホール第２法則を一般化して
統一させる必要がありそう、、、。
一般化された第２法則と
ブラックホールのエントロピー



ブラックホールもエントロピーを持つべきで
は？
一般化された第２法則：ブラックホールのエン
トロピーと物質のエントロピーの和は減少しな
いはず！
面積増大定理＆疑問１＆疑問２より：ブラック
ホールのエントロピーは、地平線の面積の増
加関数でなければならない。
ブラックホールのエントロピー
第１ dE = TdS + 仕事項
法則
dM = kdA/8GN+ 回転・電
荷項

k
ホーキング温度 TH 
2ck B
EBH = Mc2, TBH = TH とすると、ブラックホール
第一法則は
dEBH = TBHdSBH + 回転・電荷項
3
kBc
となる。ここで
S BH 
A
4GN
はブラックホールのエントロピーと呼ばれる。
ブラックホールのエントロピーに対す
る期待
3
S BH




kBc

A
4GN
重力（GN）、量子論（）、統計力学（kB）の全てを含
む式！
熱力学エントロピー： S = ln(状態数)。量子統計力
学によって起源を理解できる。
ブラックホールのエントロピー： SBH = ln(状態数)？
量子重力によって起源を理解できるはず？でも量子
重力はわからない、、、。
逆に、ブラックホールのエントロピーの起源を理解で
きれば、量子重力理論についての知見が得られる
のでは？
ＢＨエントロピー動物園
古典論的方法
Euclidean作用
Noether charge
準古典論的方法
量子論的方法
ループ重力
超弦理論
非ＢＰＳ
Dブレイン
（ＢＰＳ）
Spin
network
Brick wallモデル
Entanglement
係数も一致
Shellモデル
係数は不定
統一理論の有力候補：超弦理論




異なる粒子＝弦の異なる振動モード： より少
ない基本構成要素から複雑な世界を説明で
きる可能性。
重力を含む（唯一の）統一理論になっている
かも。
量子補正をちゃんと取り扱える。（少なくとも
摂動的に。一部、非摂動効果も。）
ブラックホールのエントロピー（に対応すると
思われる量）を計算しよう！
Ｄブレインとは？

弦には２種類ある:
開いた弦
(Neumann境界条件)

閉じた弦
(周期境界条件
実は、開いた弦の端は面上にくっつくことがで
きる:
開いた弦
(Dirichlet境界条件)

このような面はＤブレインと呼ばれ、(p+1)form potential (R-R場)の電荷を持つ。ここで、
pはＤブレインの空間次元。
Dブレーン上の弦のエントロピー
(Strominger & Vafa 1996, Horowitz & Polchinski 1997)



ストリング結合定数gsを準静的に強くして、Dブレーン
からブラックブレーンへの相転移を考える。
BPS（超対称性が保たれた）状態なら、物理量（質量、
電荷、エントロピー等）が保存するはず。
Dブレーン上の弦のエントロピーを保存量の関数として
表せば、ブラックブレーンのエントロピーを計算でき
る！
Dブレーン
弱結合
強結合
重力定数小
重力定数大
ブラックブレーン
相転移
8GN = (2)7a’4gs2/2V6
Black brane to holography:
AdS/CFT
• Near horizon geometry of a BPS black brane is
AdS5xS5.
• Light d.o.f. (open string massless states) on the
corresponding stack of D-branes is described by a
N=4 4D SYM theory.
• Maldacena conjecture (AdS/CFT correspondence):
There must be a relation between gravity in
asymptotically AdS5xS5 spacetime and the N=4 4D
SYM theory.
String theory & real world
• String cosmology
• String phenomenology
• Gauge/gravity (AdS/CFT) duality
understanding gauge theory from gravity
viewpoint
• In this talk we consider a 5D dynamical
black brane to understand 4D QGP.
RHIC (relativistic heavy ion collider)
http://www.bnl.gov/RHIC/heavy_ion.htm
Bjorken flow
• Colliding pancakes  “big bang”
• QGP after “big bang”
• Toy model
1) hydrodynamics
2) infinite pancakes
3) boost invariance
Bjorken flow
• t = t cosh y, x1 = t sinh y
ds2 = -dt2 + dx12 + dx22 + dx32
 ds2 = -dt2 + t2dy2 + dx22 + dx32
• Boost invariance  t as time
• Traceless & conservation eqs
 Tmu =









f (t )
0
0
0
t 2  f (t )  t f '(t ) 
0
0
0
1
f (t )  t f '(t )
2
0
0
0


0


0


1
f (t )  t f '(t ) 
2

0
2nd order hydrodynamics
• Tmn = e umun + P qmn + Pmn
umum = -1, qmn = gmn + umun , Pmm = 0
• Expand Pmn up to 2nd derivatives of um
Pmn = - hsmn + htP [ uls<mn>;l + smnul;l/3]
+ l1sl<msn>l + l2sl<mWn>l + l3Wl<mWn>l
smn = 2 u<m;n> , Wmn = um;n - un;m
( A<mn> = qmaqnb(Aab+Aba)/2 - qmnqab Aab/3 )
• Assume the scaling (according to dimension)
1/4
1/2
3/4
tP  e
l1  e
h e
Hydro solution
• Solve the traceless & conservation equations,
assuming that transport coefficients are small
(derivative expansion).
• Result
Ttt = e0 t-4/3 [ 1 - 2h0t-2/3 +
c2t-4/3 + … ]
t-2 Tyy = e0 t-4/3 [ 1/3 - 2h0t-2/3 + (5/3)c2t-4/3 + … ]
Txx = e0 t-4/3 [ 1/3
- (1/3)c2t-4/3 + … ]
c2 = (3/2) h02 + (2/3)(l102 - h0tP0)
• Coefficients h0 and c2 are undetermined.
Dual geometry
• Microphysics is needed to determine h0 and c2.
• However, a strongly coupled field theory is not
easy to analyze.
• Use the AdS/CFT correspondence as a tool.
• Bjorken flow of large Nc N=4 SYM is dual to an
asymptotically AdS5xS5 geometry.
singularity
center
boundary
AH
Dual geometry: ansatz
• AdS-Sch : inconsistent with boundary metric
 r 
ds  r  1   dt  2dt dr  r  dx  dx  dx 
 r 
• Our ansatz
ds  r Adt  2dt dr  r t e dy  e  dx  dx 
2
5
2
2
5
2
4
0
4
2

2

2
2
1

2
2 2B
2
2
2
2C

2
3
2
2
2
3
A, B, C : functions of ( t+ , r )
remaining gauge freedom: r  r + f(t+)
• Boundary metric @ r  
ds  r   Adt  t e dy  e  dx  dx 
2
4
2
2

2 2B
2
2C
2
2
2
3
 r 2  dt 2  t 2dy 2  dx22  dx32 
if A  1, B  0, C  0
boundary condition
Boundary Tmn
• ADM-like decomposition
2
2
2
m
m
n
n
ds5  N dr   mn (dx  N dr )(dx  N dr )
• Einstein + Gibbons-Hawking + counter terms
 d 1
1
d ( d  1) 

d
S
d
x

g
R


2
d
x



2

16 Gd 1  M
l

 M
 mn
1
2  Sct
4
mn
S 
d x   K  K 


16 Gd 1 M
  mn

• Brown-York’s prescription
mn
TBY 
d=4 :

 K  2 Sct ( mn ) 


  mn

2 S
1  mn
2  Sct
mn

K

K




8

G

  mn
mn
d 1 

3
l2 
4
Sct    d x  1  R 
l M
 12 



• Scaling & limit
Tmn  lim r d 2TmnBY
r 
Tmn from hydro
Late time expansion
• Motivated by the hydro solution, let us expand
metric functions by t-2/3.
• Solve the Einstein equation order by order.
• Result (in each order)
i) The solution includes 3 integration constants.
One is gauge d.o.f. but two are physical.
ii) One of the two physical integration constants is
determined by the boundary metric.
iii) The last integration constant is related to the
transport coefficient and determined by the
regularity of the apparent horizon.
Summary
• We proposed a dynamical and anisotropic 5D
brack brane as a holographic dual of Bjorken flow of
strongly coupled large Nc N=4 4D SYM theory plasma.
• We performed a late-time expansion in EddingtonFinkelstein coordinates.
• The dual geometry is regular on and outside an
apparent horizon at all orders in the late-time
expansion, provided that transport coefficients are
chosen appropriately.
• Conversely, the regularity of the dual geometry
determines transport coefficients.
• An example of time-dependent AdS/CFT.