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物理システム工学科３年次
「物性工学概論」
第３回 金はなぜ金ぴかか？
ー金属の光学的性質ー
物理システム工学科量子機能工学分野
佐藤勝昭
講義内容
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金属の色：金、銀、銅、鉄、白金
３原色：加法混色と減法混色/CIE色度図
ヒトが色を認識する仕組み
自由電子のプラズマ運動
誘電率と屈折率・消光係数
負の誘電率の意味するところ
金属の色：金、銀、銅、鉄、白金
銀
銅
しろがね
あかがね
金
こがね
白金
くろがね
鉄
三原色
• 光の3原色（加法混色 ）
• 各色の強さを変えて混ぜ合わ
せると，いろいろな色の光にな
る。赤い光，緑の光，青い光を
同じ強さで混ぜ合わせると， 白
い光になる。
赤(red)
緑(green)
青(blue)
• 色の3原色 （減法混色）
• 各色を混ぜ合わせると，いろ
いろな色ができる。マゼンタ・
シアン・イエローを同じ割合で
混ぜると 黒になる。
マゼンタ(red)
シアン(blue)
イエロー(yellow)
http://www.shokabo.co.jp/sp_opt/spectrum/color3/color3.htm
CIE色度図
• ある温度で光っている（熱放射・
色を表す（表色）ためには， 一般に
３つの数値が必要であるが，明るさ
黒体輻射している）物体の色を
の情報を犠牲にして２つの数値で色
測定して，温度と色の関係を色
を表し，２次元の図に表現したもの
を， 色度図という．
度図上に描くことができます．こ
の曲線は黒体輻射の色軌跡と
•呼びます．なお，一般の光源は
実際には感覚的な３原色RGBだけ
では表せない色もあるので、機械に
黒体輻射をしているわけではな
よる測色、表色、目の波長感度特性
いので，色軌跡の上のある色で
を詳しく調べて数値化した “表色上
の３原色”である３刺激値XYZを使う。
光っている光源の温度が，その
その３刺激値XYZにもとづいて，上
点に対応する温度になっている
記のような考え方にしたがい，２つ
とは限りません．そのため，色
の数値 (x , y ) を使ってxy 座標空間
で色を表したものを， xy 色度図と
から決まる温度を色温度といい
呼ぶ。
ます
http://www.shokabo.co.jp/sp_opt/spectrum/color3/color3.htm
ヒトはどのように色を認識するか
色を感じる
光を感じる
なぜ３原色で表せるか。それは人間の色を
感じる細胞が3種類あるからである。これら
の細胞は錐体（すいたい）と呼ばれ，三種
の錐体の送り出す信号の強さの違いにより
さまざまな色を感じることができる。
RGB感度曲線とXYZ等色曲線
•
•
RGB感度曲線
人間の眼やRGB感度曲線は，あくまで
も特徴的な波長（赤緑青）で一つのピー
クをもつ曲線になります．人間の眼では，
主に感度領域の中央（緑色の光）で明る
さを捉え，感度領域の両端（青や赤）で
色合いを決めているのです
•
•
XYZ等色曲線
一方，XYZ表色系はRGBでは再現でき
ない色をも表現するシステムなので，
XYZ表色系などにおける３色の“感度”
曲線は，たとえば赤が2山のピークをも
つなど少し変わった形になっています．
XYZ等色曲線と金属の色
３刺激値
金銀銅の分光反射率
金銀銅の反射スペクトル
エネルギー表示
波長表示
 
 
hJ  scm  s  6.626  10
E eV 

E J   hJ  s s
-1
hJ  sc m  s -1

 m
-1
 meC
 34
 2.998  10 8
1240

 nm 10 9  1.602  10 19  nm
貴金属の選択反射の原因
• 光は電磁波の一種である。つまりテレビやラジオの電波
と同じように電界と磁界が振動しながら伝わっていく。
• 金属中に光がはいると金属中に振動電界ができる。この
電界を受けて自由電子が加速され集団的に動く。
• 電子はマイナスの電荷を持っているので、電位の高い方
に引き寄せられる。その結果電位の高い方にマイナスの
電荷がたまり、電位の低い側にプラスの電荷がたまって、
電気分極が起きる。
• 外から金属に光の電界が進入しようとすると、逆向きの
電気分極が生じて電界を遮蔽してしまって光は金属中に
入れないことを示す。光が入れないということは、いいか
えれば、光が全部反射されてしまうということを意味する。
電子分極の古典電子論
(1) 自由電子
• 電子の位置をu、有効質量をm*、散乱の緩和時間をτと
すると、自由電子に対する運動方程式は、
d 2u
m * du
m* 2 
 qE
 dt
dt
• ここで、E、uにｅ-iωtの形を仮定し、自由電子による分極Pf
＝-Nfquの式に代入し、D＝ε0εrE＝ε0E＋Pfの式を使うこ
とにより、
r  1
N f q2
m *0

1
2
i 
 1 

  
 1
 2p
2
i 
 1 

  
自由電子による電子分極
P
－
＋
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
E
D=ε0E+P
電界の印加により電子と核の
相対位置が変化し、逆向きの分極を生じる
ドルーデの式
 r  1 
 r 
 2p
 2 1  2

 2p
  2  1  2

 p  N f q2 m *0
• 誘電率の実数部は    2p  1  2 において0を横切る。
• 負の誘電率をもつと、光は中に入り込めず、強い反射が
起きる。
束縛電子系の電子分極
P
－
＋
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
E
電子分極の古典電子論
(2) 束縛電子
• 束縛電子についての運動方程式は、電子の位置
をｕ，有効質量をｍ*、緩和時間τとすると，
• ｍ*d2ｕ/dt2＋(ｍ*/τ)dｕ/dt＋ｍ*ω02ｕ＝qＥ
• で与えられる。これより束縛電子による電気分極
Ｐbを求め、比誘電率を求めると、
• εr＝1－ωb2/(ω2＋iω/τ－ω02)
• ここにωb2＝Ｎbq2/ｍ*ε0 である。
ローレンツの分散式
• この式の実数部と虚数部は、それぞれ
• εr'＝１－ωb2(ω2-ω02)/{(ω2-ω02)2+(ω/τ)2}
• εr"＝ωb2(ω/τ)/{(ω2-ω02)2+(ω/τ)2}
となる。これはいわゆるローレンツの分散式である。
光学定数：屈折率と消光係数
• 連続媒質中をx方向に進む光の電界ベクトルEは

 n  i  
n 

  

E  exp  it  i
x  exp 
exp  i t  x


c





c 





c 
で表される。ここにnは屈折率とκは消光係数である。nと
を併せて光学定数という。
• N＝n＋iを複素屈折率とよぶ。
• Maxwell方程式に代入することにより、
N2＝εr を得る。
従って(n+i)2= εr’+i εr” 実数部同士、虚数部同士を等しいと
おいて
• εr’＝n2－κ2 εr”＝2nκ を得る。
負の誘電率と反射率
• 空気中から複素屈折率Nの媒体への垂直に入射
した光の電界に対する振幅反射率はr=(N-1)/
(N+1)で与えられる。
• もし、比誘電率rが負の実数であったとし、
r=-a(aは正の数)とすると、N=r1/2=ia1/2 であるか
ら、r= ( ia1/2-1)/( ia1/2+1)である。
光強度の反射率Rは電界の絶対値の２乗に比例
するのでR=|r|2=(a+1)/(a+1)=1、即ち100%となる。
貴金属の誘電率スペクトル
復習してほしいこと
• 自由電子に対する運動方程式を解いて、電界Eを加えた
ときの電子変位uを求め、P=nquを使って分極Pを計算し、
D=0P+E、D= r0Eからrに対する式(Drudeの式)を求
めよ。
• Maxwellの方程式を解いてr＝N2を導け。
ただし、
rot rot E=-2E+(・E)Eおよび
・E=0を考慮せよ。
予習の勧め
• シリコンのバンド構造について
量子物性工学配付資料2001,5.25 に基づいて
(http://www.tuat.ac.jp/~katsuaki/r010525p.pdf)
– 原子の寄り集まりと電子のバンドの項を読んでおいて
ください。
– k空間の考え方を修得してください。