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Kauffman bracket 多項式 を
計算するアルゴリズムとその実装
谷 研究室 村上 雅彦
Masahiko MURAKAMI
目次
1. 絡み目とその表現
2. 結び目理論における計算
3. Kauffman brackte多項式，
Taitグラフ，タングルの紹介
4. アルゴリズム（今回の結果）
5. 今後の課題
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
2
目次
1. 絡み目とその表現
2. 結び目理論における計算
3. Kauffman brackte多項式，
Taitグラフ，タングルの紹介
4. アルゴリズム（今回の結果）
5. 今後の課題
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
3
結び目
結び目とはゴムのように伸び縮みする1本の輪
のようなもの
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
4
結び目理論の概要
結び目が絡まった輪を切らずにほどくことがで
きるかどうか？というようなことなどを考える
?
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
5
絡み目，結び目
(n成分の)絡み目⇒
R3内に埋め込まれた互いに素なn個の単純閉
折線
結び目⇒1成分の絡み目
注
意！
曲線ではなく
折線
(2成分の)絡み目
2003年2月13日
3
R
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結び目
6
正則射影，ダイアグラム
正則射影⇒
絡み目を平面に射影した図で、多重点が横
断的に交わっている2重点のみのもの
ダイアグラム⇒
正則射影の各2重点にもとの絡み目におけ
る交差の上下の情報を加えたもの
正則射影
2003年2月13日
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ダイアグラム
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絡み目の同型
結び目
同じ結び目
R3
2003年2月13日
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8
自明な結び目
自明な結び目⇒
2次元ユークリッド空間内に埋め込まれた1本
の単純閉曲線と同型な結び目
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
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目次
1. 絡み目とその表現
2. 結び目理論における計算
3. Kauffman brackte多項式，
Taitグラフ，タングルの紹介
4. アルゴリズム（今回の結果）
5. 今後の課題
2003年2月13日
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結び目理論の基本問題
2つの結び目が同型であるかを判定する問題
コンピュータを使って解けないか？
2003年2月13日
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絡み目の表現
３次元座標のリスト
(2成分の)絡み目
2003年2月13日
R3
座標は整数
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12
2つの絡み目は同型か？
2つの絡み目が与えられたときそれらが同型で
あるかの判定はとても難しい
不変量を導入
2003年2月13日
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不変量とは
絡み目から対応付けられる数学的な量
（数や多項式など）
同型な絡み目からは同じ量が対応付け可能
多項式不変量を
絡み目の同型性の指標
2003年2月13日
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多項式不変量
Kauffman bracket多項式
この多項式自体は 不変量ではない
が，ω( L ) と組み
~
合わせること によって Jones多項式 が得られる
Jones多項式
有向絡み目 の 多項式不変量 のひとつ
2003年2月13日
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Jones多項式の計算
Kauffmanの計算法では2c (L~)個の多項式の和
の計算が必要
絡み目を限定すると計算の手間が減る
2003年2月13日
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既存の結果
符号付きグラフが格子グラフとなるような絡み目に
おいて264交点までJones多項式を計算
関根,今井,今井[1996]
プレッツェル絡み目において10000交点までJones
多項式を計算
内海,今井[2002]
2003年2月13日
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特定の絡み目のJones多項式の計算
2-bridge絡み目の標準的なダイアグラムの
Kauffman bracket多項式はO(c(L))回の多項式
の演算で計算できる 原, 谷, 山本[2002]
closed 3-braidダイアグラムのKauffman bracket多
項式はO(c(L)3)回の多項式の演算で計算できる
古藤[2002]
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
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今回の結果
2-bridge絡み目の標準的なダイアグラムの
Kauffman bracket多項式はO(c(L))回の多項式
の演算で計算できる 原, 谷, 山本[2002]
アルゴリズムを再構築，実装
closed 3-braidダイアグラムのKauffman bracket多
項式はO(c(L)3)回の多項式の演算で計算できる
古藤[2002]
再構築，O(c(L))回の多項式の演算，実装
XXX交点まで計算
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
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目次
1. 絡み目とその表現
2. 結び目理論における計算
3. Kauffman brackte多項式，
Taitグラフ，タングルの紹介
4. アルゴリズム（今回の結果）
5. 今後の課題
2003年2月13日
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Kauffman bracket多項式
ルール1
＜○＞＝１
自明な結び目
2003年2月13日
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Kauffman bracket多項式
ルール2
＜L∪○＞＝(－A２－A－２)＜L＞
＝A
2003年2月13日
＋A－１
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Kauffman bracket多項式
ルール3
＜ ＞＝A( )＋A－１(
＝A
2003年2月13日
)
＋A－１
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Taitグラフ
2003年2月13日
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Taitグラフ
• 絡み目のダイアグ
ラムの領域に対し
て1つおきに陰をつ
けていく
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Taitグラフ
• 陰をつけた各領域
に頂点をおく
2003年2月13日
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Taitグラフ
• 交点を共有するよ
うな領域の2個の
頂点を辺で結ぶ
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Taitグラフ
• 各交点の符号を決
める
＋の交点
2003年2月13日
ーの交点
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Taitグラフ
• 交点が正か負かに
よって対応する各
辺に＋または−の
符号を付ける
＋の交点
ーの交点
ー
ー
＋
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29
Taitグラフ
• こうしてTaitグラフ
が得られる
ー
ー
＋
2003年2月13日
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タングル(tangle)
• タングル⇒
絡み目の一部分で，ちょうど4点で交わるような円で
囲まれた領域（絡み目が円と交わる4点はNW, NE,
SW, SEにあるとする）
2003年2月13日
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タングル(tangle)
0−タングル⇒
NWとSWを、NEとSEを結んだタングル
0−タングル
2003年2月13日
3−タングル
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(-2)−タングル
32
タングル(tangle)
n−タングル⇒
0−タングルをn 回捻ってできるタングル
0−タングル
2003年2月13日
3−タングル
平成14年度卒業研究発表会
(-2)−タングル
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目次
1. 絡み目とその表現
2. 結び目理論における計算
3. Kauffman brackte多項式，
Taitグラフ，タングルの紹介
4. アルゴリズム（今回の結果）
5. 今後の課題
2003年2月13日
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今回の結果
2-bridge絡み目の標準的なダイアグラムのTait
グラフから整数列表現を求める
整数列表現からKauffman bracket多項式を計
算する
closed 3-braid絡みの標準的なダイアグラムの
整数列表現を求める
2003年2月13日
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2-bridge絡み目の
標準的なダイアグラム
Ia1
n
が
奇
数
の
と
き
Ia1
Ia2
Ia2
〜
〜
Ia3
〜
〜
〜
〜
〜
〜
Ian-1
〜
〜
2003年2月13日
〜
〜
Ian
平成14年度卒業研究発表会
Ian-1
Ian
n
が
偶
数
の
と
き
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2-bridge絡み目の
標準的なダイアグラム
Ia1
n
が
奇
数
の
と
き
Ia2
Ia3
〜
〜
〜
〜
Ian-1
〜
〜
2003年2月13日
Ian
2-bridge絡み目の
標準的なダイアグラム
L~(a1 , … , an)⇒
整数タングルIak
(k = 1, … , n)を左のよう
に結んだダイアグラム
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37
2-bridge絡み目の
標準的なダイアグラム
Ia1
n
が
奇
数
の
と
き
Ia2
Ia3
〜
〜
〜
〜
Ian-1
〜
〜
2003年2月13日
Ian
2-bridge絡み目の標準
的なダイアグラムの整
数列表現⇒
2-bridge絡み目の標準
的なダイアグラムL~(a1 ,
… , an)に対して(a1 , … ,
an)
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アルゴリズム1
• 2-bridge絡み目の標準的なダイアグラムの
Taitグラフから整数列表現を求めるアルゴリ
ズム
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アルゴリズム1
L~( -2 , 2 , 1 , -1, -2）
+
のTaitグラフ
+
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
40
アルゴリズム1
一番次数の大きい
頂点v を探す
+
+
v
+
2003年2月13日
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+
+
+
41
アルゴリズム1
頂点v を取り除いたグラフ
+
+
2003年2月13日
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42
アルゴリズム1
出力：-2
+
端点とv の間の辺数に
それらの辺の符号と
(-1)を掛けて出力
+
v
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
43
アルゴリズム1
出力：-2, 2
+
次数が3以上になるまで
隣の頂点に移動して
それまで通った辺の
v
値の和を出力
+
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
44
アルゴリズム1
出力：-2, 2, 1
+
v の間の辺数に
それらの辺の符号と
(-1)を掛けて出力
+
v
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
45
アルゴリズム1
出力：-2, 2, 1, -1
+
次数が3以上になるまで
隣の頂点に移動して
それまで通った辺の
v
値の和を出力
+
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
46
アルゴリズム1
出力：-2, 2, 1, -1, -2
+
v の間の辺数に
それらの辺の符号と
(-1)を掛けて出力
+
v
+
2003年2月13日
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+
+
+
47
アルゴリズム1
計算時間を減らす工夫
+
先にすべての辺を走査
+
頂点の次数
vとの間の辺の符号
隣接する頂点
v
O(c(L))
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
+
48
アルゴリズム2
整数列表現からKauffman bracket多項式を計
算する
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
49
原・谷・山本
〈L~(a1,…,an)〉
＝
1
－A２－A－２
× ( fan-1〈L~(a1,…,an-2)〉
＋fan(A)〈L~(a1,…,an-1)〉)
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
50
アルゴリズム2
n=1〈L~(a1)〉＝(−A)−3a1−2sgn(a1)
×Σk=1|a1|(−A4sgn(a1))k
＋Aa1(−A−2−A2)
n=2〈L~(a1,a2)〉＝ (−A)−3a2−2sgn(a2) 〈L~(a1)〉
＋Σk=1|a2|(−A4sgn(a2))k
＋Aa2(−A)−3a1
n≧3 〈L~(a1,…,an)〉＝ (−A)−3an−2sgn(an)
×〈L~(a1,…,an-1)〉
＋Σk=1|an|(−A4sgn(an))k
＋Aan(−A)−3an-1 〈L~(a1,…,an-2)〉
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
51
アルゴリズム2
n=1〈L~(a1)〉＝(−A)−3a1−2sgn(a1)
×Σk=1|a1|(−A4sgn(a1))k
＋Aa1(−A−2−A2)
n=2〈L~(a1,a2)〉＝ (−A)−3a2−2sgn(a2) 〈L~(a1)〉
＋Σk=1|a2|(−A4sgn(a2))k
＋Aa2(−A)−3a1
n≧3 〈L~(a1,…,an)〉＝ (−A)−3an−2sgn(an)
×〈L~(a1,…,an-1)〉
＋Σk=1|an|(−A4sgn(an))k
O(c(L))回の
an(−A)−3an-1 〈L~(a ,…,a )〉
＋
A
1
n-2
多項式演算
2003年2月13日
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52
3-braid
• 3-braid⇒
両端が2つの平行な
平面に接続している
3本の紐で、それぞ
れの紐が2つの平面
の間にあるすべての
平行な平面とちょう
ど1回ずつ交わって
いるもの
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
53
closed 3-braidダイアグラム
• closed 3-braid
ダイアグラム⇒
3-braidを正則射影し
射影平面上で紐の
両端を自分自身とも
他の紐とも交わらな
いように結んだもの
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
54
closed 3-braidの
標準的なダイアグラム
Ia1
n
が
奇
数
の
と
き
Ia1
Ia2
Ia2
〜
〜
Ia3
2003年2月13日
〜
〜
〜
〜
Ian-1
〜
〜
Ian
〜
〜
〜
〜
平成14年度卒業研究発表会
Ian-1
Ian
n
が
偶
数
の
と
き
55
closed 3-braidの
標準的なダイアグラム
Ia1
n
が
奇
数
の
と
き
Ia2
Ia3
〜
〜
Ian-1
〜
〜
2003年2月13日
〜
〜
Ian
closed 3-braidの
標準的なダイアグラム
w~(a1 , … , an)⇒
整数タングルIak
(k = 1, … , n)を左の
ように結んだ
ダイアグラム
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56
closed 3-braidの
標準的なダイアグラム
Ia1
n
が
奇
数
の
と
き
Ia2
Ia3
〜
〜
Ian-1
〜
〜
2003年2月13日
〜
〜
Ian
closed 3-braidの標準
的なダイアグラムの整
数列表現⇒
closed 3-braidの標準
的なダイアグラム
w~(a1 , … , an)に対し
て(a1 , … , an)
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57
アルゴリズム3
n=1〈w~(a1)〉＝ (−A−2−A2) 〈L~(a1)〉
n偶数〈w~(a1, …,an)〉＝Aan〈w~(a1,…,an-1)〉
＋(−A)−3an−2sgn(an)
×〈L~(a1,…,an-1)〉
×Σk=1|an|(−A4sgn(an))k
n奇数〈w~(a1, …,an)〉＝Aan〈w~(a1,…,an-1)〉
＋(−A)−3(a1＋an)−2sgn(an)
×〈L~(a2,…,an-1)〉
×Σk=1|an|(−A4sgn(an))k
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
58
アルゴリズム3
n=1〈w~(a1)〉＝ (−A−2−A2) 〈L~(a1)〉
n偶数〈w~(a1, …,an)〉＝Aan〈w~(a1,…,an-1)〉
＋(−A)−3an−2sgn(an)
×〈L~(a1,…,an-1)〉
×Σk=1|an|(−A4sgn(an))k
n奇数〈w~(a1, …,an)〉＝Aan〈w~(a1,…,an-1)〉
＋(−A)−3(a1＋an)−2sgn(an)
O(c(L))回の
×〈L~(a2,…,an-1)〉
多項式演算
×Σk=1|an|(−A4sgn(an))k
2003年2月13日
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59
アルゴリズムの実装
500交点の2-bridge絡み目の標準的なダイア
グラムやclosed 3-braidの標準的なダイア
グラムのKauffman bracket多項式を計算
2003年2月13日
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60
作成したプログラム一覧
make_tait
make_progression
comp_bracket
comp_bracket_3
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
61
目次
1. 絡み目とその表現
2. 結び目理論における計算
3. Kauffman brackte多項式，
Taitグラフ，タングルの紹介
4. アルゴリズム（今回の結果）
5. 今後の課題
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
62
今後の課題
• Arborescent絡み目やプレッツェル絡み目
へ拡張できないか？
• BDDを用いたアルゴリズムとの比較
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
63