Transcript 2 - 日本大学

closed 3-braid リンク の
Jones 多項式による
分類支援システム
日本大学文理学部応用数学科
谷 研究室 鈴木 伸和
目次
1.
2.
3.
4.
5.
準備と研究目的
closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
closed 3-braid リンクのひねり数
実装とデモンストレーション
今後の課題
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
目次
1.
2.
3.
4.
5.
準備と研究目的
closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
closed 3-braid リンクのひねり数
実装とデモンストレーション
今後の課題
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
結び目
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
結び目
[定義]
R
3

R 内に埋め込まれた 1本の単純閉曲線
3
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
（ n 成分の）絡み目（リンク）
[定義]
R
3

R 内に埋め込まれた
互いに素な n 本の単純閉曲線
3
2 成分の絡み目
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
結び目
（ 1 成分の絡み目 ）
1．準備と研究目的
[定義]
正則射影

ダイアグラム

平面に射影した図で多重点が
横断的に交わっている 2重点の
みからなるもの
各 2重点に元の絡み目における
交差の上下の情報を加えたもの
射影
R
3
R
2
1．準備と研究目的
同じ絡み目

もとの絡み目と，それを空間内で変形してできた
絡み目は区別せず，同じ絡み目とみなす．
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
同じ絡み目

もとの絡み目と，それを空間内で変形してできた
絡み目は区別せず，同じ絡み目とみなす．
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
同じ絡み目

もとの絡み目と，それを空間内で変形してできた
絡み目は区別せず，同じ絡み目とみなす．
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
絡み目が同じであるか判定することは難しい
不変量
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
不変量
2つの絡め目が同じ
不変量が異なる
不変量は一致 closed 3-braid リンクの
2つの絡み目は異なる
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
不変量
Jones 多項式
A
4

A
12

A
16
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
closed 3-braid リンク
Ia 1
Ia 2
Ia 3
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
closed 3-braid リンク
Ia 1
Ia 2
Ia 3
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
closed 3-braid リンク
[定義]

図のようなダイアグラ
ムを closed 3-braid
リンク の標準的なダイ
アグラムといい，
～
W(a1,･･･,am) と表す
 (a1,・・・,am) を整数列表
現という
Ia 1
Ia 2
Ia 3
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
closed 3-braid リンク
[定義]

図のようなダイアグラ
ムを closed 3-braid
リンク の標準的なダイ
アグラムといい，
～
W(a1,･･･,am) と表す
 (a1,・・・,am) を整数列表
現という
～
W( 2, -2, 1 )
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
1．準備と研究目的
研究目的
Jones 多項式
リンク
closed 3-braid リンク
Jones 多項式
Jones 多項式
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
ex. 交点数が 「3」 の場合
Ia 1
Ia 2
Ia 3
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
ex. 交点数が 「3」 の場合
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
ex. 交点数が 「3」 の場合
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1．準備と研究目的
目次
1.
2.
3.
4.
5.
準備と研究目的
closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
closed 3-braid リンクのひねり数
実装とデモンストレーション
今後の課題
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
2．closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
整数分割

目的
交点数 n となるすべての整数列表現を生成
ex. 交点数が 「3」 の場合
( 1，1，1 )
( 1，2 )
( 2，1 )
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
(3)
2．closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
整数分割
1
整数列表現
1
( 1，1，1 )
1
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
0
1
2
1
1
1
2．closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
整数分割
1
整数列表現
1
( 1，1，1 )
( 1，2 )
2
1
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
0
1
2
1
1
2
1
2．closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
整数分割
1
整数列表現
1
( 1，1，1 )
( 1，2 )
2
2
1
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
0
1
2
1
2
2
1
2．closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
整数分割
1
整数列表現
1
( 1，1，1 )
( 1，2 )
2
2
1
1
( 2，1 )
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
0
1
2
2
2
1
1
2．closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
整数分割
1
整数列表現
1
( 1，1，1 )
( 1，2 )
2
3
1
1
( 2，1 )
(3)
2
終了
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
0
1
2
2
3
1
1
2．closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
整数列表現の生成
( 1，1，1 )
( 1，2 )
(3)
( 2，1 )
( 0, 0 )
( 0, 1 )
( 1, 0 )
( 1, 1 )
( -1, -2 )
( -1, 2 )
( 1, -2 )
( 1, 2 )
目次
1.
2.
3.
4.
5.
準備と研究目的
closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
closed 3-braid リンクのひねり数
実装とデモンストレーション
今後の課題
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
3．closed 3-braid リンクのひねり数
Jones 多項式
O(n) 回の多項式演算で
計算可能 （ O(n 2 log n) ）
（村上ら：2003）
ダイアグラム
Kauffman bracket 多項式
不変量でない
Jones 多項式
不変量
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
ひねり数
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数
+1
+– 1
+– 1
–1
–1
+– 1
+– 1
ひねり数 = –+ 1 –+ 1 –+ 1 –+ 1 – 1 – 1 = +– 26
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
－1
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
0
0
Ia 1
0
0
Ia 2
0
0
Ia 3
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
0
Ia 1
0
0
Ia 2
0
0
Ia 3
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
0
Ia 1
0
0
Ia 2
0
0
Ia 3
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
0
Ia 1
0
0
Ia 2
0
0
Ia 3
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
0
Ia 1
0
0
Ia 2
1
0
Ia 3
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
0
Ia 1
0
0
Ia 2
1
Ia 3
0
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
1
Ia 1
0
0
Ia 2
1
Ia 3
0
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
1
Ia 1
0
0
Ia 2
1
Ia 3
0
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
1
Ia 1
1
0
Ia 2
1
Ia 3
0
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
1
Ia 1
1
0
Ia 2
1
Ia 3
0
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
1
Ia 1
1
0
Ia 2
1
Ia 3
0
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
1
Ia 1
1
0
Ia 2
1
Ia 3
1
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
1
Ia 1
1
0
Ia 2
1
Ia 3
1
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
1
Ia 1
1
0
Ia 2
1
Ia 3
1
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
1
1
Ia 1
1
1
Ia 2
1
Ia 3
1
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
+1
～
W( 2, -2, 1 )
1
Ia 1 = 2
1
Ia 1
1
－1
Ia2 = -2
1
Ia 3 = 1
Ia 2
1
Ia 3
1
ひねり数 ＝ 1
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
+1
～
W( 2, -2, 1 )
1
Ia 1 = 2
1
Ia 1
1
－1
Ia2 = -2
-1
Ia 3 = 1
Ia 2
1
Ia 3
1
3．closed 3-braid リンクのひねり数
ひねり数の計算
+1
～
W( 2, -2, 1 )
1
Ia 1 = 2
1
Ia 1
1
－1
Ia2 = -2
2
-1
Ia 3 = 1
Ia 2
1
Ia 3
1
ひねり数 ＝ 5
目次
1.
2.
3.
4.
5.
準備と研究目的
closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
closed 3-braid リンクのひねり数
実装とデモンストレーション
今後の課題
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
4．実装とデモンストレーション
作成したツール

入力: 交点数
その交点数となる整数列表現の列挙
Jones 多項式

入力： 交点数
ランダムに整数列表現を 1つ生成
Jones 多項式

入力： ひとつの整数列表現
Jones 多項式
4．実装とデモンストレーション
デモンストレーション
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
目次
1.
2.
3.
4.
5.
準備と研究目的
closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
closed 3-braid リンクのひねり数
実装とデモンストレーション
今後の課題
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
5．今後の課題
今後の課題

Jones多項式を分類し，ソートすることで，
Jones多項式から整数列表現の2分探索を
可能に

入力，出力の GUI 化
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
おしまい
2．closed 3-braid リンクの整数列表現の列挙
結果
交点数
1
2
3
4
5
6
7
8
整数列表現の数
2
6
18
54
162
486
1,458
4,374
交点数
9
10
11
12
13
14
15
16
整数列表現の数
13,122
39,366
118,098
354,294
1,062,882
3,188,646
9,565,938
28,697,814
Kauffman bracket 多項式
[定義]
～
ダイアグラム L に対して以下の式で再帰的
～
に求める多項式で ＜L＞ とあらわす



＜○＞＝ 1
−1
＜ ＞＝ A＜ ＞＋A ＜ ＞
−2
2
～
～
＜L ○＞＝ (−A −A )＜L＞
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
Kauffman bracket 多項式

ルール 1
＜○＞＝ 1
○ は交点のない結び目
＝
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
1
Kauffman bracket 多項式

ルール 2
−1
＜ ＞＝ A＜ ＞＋A ＜ ＞
＝A
−1
＋A
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
Kauffman bracket 多項式

ルール 3
～
＜L
−2
2
～
○＞＝ (−A −A )＜L＞
−2
＝ (−A
2
−A )
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
Jones多項式
~

-3w ( L )
X(L) ＝ (-A)
＝ A
X(L) ＝ (  A )
3
 3 (  1 )
～
＜L＞
～
w (L) ＝ + 1
 ( A)
closed 3-braid リンクの
Jones多項式による分類支援システム
3
＝
1