Transcript 基本的なデータ構造

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アルゴリズムとデータ
構造
第３回基本的なデータ構造（リスト）
2014/10/15
アルゴリズムとデータ構造 2014
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前回の復習(1/3)
アルゴリズムの計算量
入力長nの関数T(n)の漸近的計算量で評価
漸近的上界(asymptotic upper bound)
記号O
T(n)=O(f(n)) ⇔ ある実数c>0と自然数n0が存在して
全ての自然数n≧n0に対して
T(n)≦cf(n)が成り立つ
漸近的下界(asymptotic lower bound)
記号Ω
T(n)=Ω(f(n)) ⇔ ある実数c>0と自然数n0が存在して
全ての自然数n≧n0に対して
T(n)≧cf(n)が成り立つ
漸近的にタイトな限界(asymptotic tight bound)
記号Θ
T(n)=Θ(f(n)) ⇔ ある実数c1,c2>0と自然数n0が存在して
全ての自然数n≧n0に対して
c1f(n)≦T(n)≦c2f(n)が成り立つ
2014/10/15
アルゴリズムとデータ構造 2014
前回の復習(2/3)
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計算時間がT1(n)とT2(n)のアルゴリズムではどちらが速いか？
⇒漸近的増加率が小さい方が速い
T1(n)よりもT2(n)の方が漸近的増加率が大きい ⇔ limn→∞
⇔ limn→∞
limn→∞
T1(n)
=0
T2(n)
T2(n) = ∞
T1(n)
T1(n)
= 0 から何が言えるか？
T2(n)
T1(n)=O(T2(n)), T2(n)=Ω(T1(n))
(タイトではないので、更にT1(n)=o(T2(n)), T2(n)=ω(T1(n))も言える。)
T (n)
limn→∞ 1 = c (0<c<∞) から何が言えるか？
T2(n)
T1(n)=O(T2(n)), T1(n)=Ω(T2(n)), T2(n)=O(T1(n)), T2(n)=Ω(T1(n))
したがって、T1(n)=Θ(T2(n)), T2(n)=Θ(T1(n))
T (n)
limn→∞ 1
が存在しない場合でもT1(n)=O(T2(n)), T1(n)=Ω(T2(n)),
T2(n)
T1(n)=Θ(T2(n))などであり得る。→元の定義に従って証明する。
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前回の復習(3/3)
任意のa,b>0に対し
茨木先生の教科書の演習問題
logan
limn→∞
=0
(5) つぎのオーダー表記を簡略化せよ。
b
n
(a) O(nlogn+n2)+O(n1.83logn)
であるから十分大きなnに対しては
明らかにnlogn<n2, nlogn<n1.83lognである。 常に logan<nb である。
また、
1.83
1/n
limn→∞ n 2logn = limn→∞ logn
=
lim
n→∞
n
n0.17
0.17n－0.83
慣れてきたら
1
= limn→∞ 0.17n0.17 =0 この知識から
直接結論付けても
OK
よって十分大きなnに対してn1.83logn<n2であるから
O(nlogn+n2)+O(n1.83logn)=O(n2)
(b) O(nlogn+n100+n30logn)
(c) O(n3sin2n)O(2n/logn)
n30logn<n100は明らか。
sin2n≦1であるから
また十分大きなnに対してn100<nlognが成り立つ。
O(n3sin2n)O(2n/logn)
よって
=O(n32n/logn)
O(nlogn+n100+n30logn)=O(nlogn)
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データ構造
データ構造とは
セル(cell)の集合にある構造を与えたもの
データを格納する基本単位
Algorithms + Data Structures = Programs
Niklaus Wirth （二クラウス・ビルト）が書いた本の題名
Niklaus Wirth(1934-)はスイスの計算機科学者。
コンピュータ言語Pascalの設計者。
１９８４年にチューリング賞受賞。
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リスト
リストとは
要素を０個以上１列に並べたもの
（注意）リストは連結リストを指すことが多い
[リスト a0,a1,…,an-1の実現法]
1. 配列(array)
n個の連続領域に格納
a0
a1
・・・ an-1
2. 連結リスト(linked list)
init
a0
ポインタで次の要素の格納領域を指す
a1
3. 双方向連結リスト(doubly linked list)
init
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null a0
a1
・・・
an-1 null
ポインタで前後の要素の格納領域を指す
・・・
・・・
an-1 null
final
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C言語によるリストの定義(1/3)
配列
int a[100]; % 100個の整数a[0],a[1],…,a[99]からなる配列
連結リスト
struct cell {・・・}： 構造体cellを・・・と定義
typedef struct cell {
int element;
struct cell *next;
} cell;
cell *init=NULL;
typedef ・・・ cell： ・・・をデータタイプcell型
として定義
%空のリスト
void list_add(int x)
{
%整数要素xを先頭へ追加
cell *new=(cell *)malloc(sizeof(cell));
new->element=x;
new->next=init;
init=new;
}
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initはcell型データを指すポインタ型
sizeof(cell)： cell型のデータサイズ（バイト）
malloc(n)：nバイトのメモリーを確保
(cell *)malloc(n)： 確保したnバイトの領域を
cell型データ格納領域とみなす。
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C言語によるリストの定義(2/3)
init
typedef struct cell {
int element;
struct cell *next;
} cell;
cell *init=NULL;
3
6
NULL
next領域
%空のリスト
void list_add(int x)
{
%整数要素xを先頭へ追加
cell *new=(cell *)malloc(sizeof(cell));
new->element=x;
new->next=init;
init=new;
}
new
list_add(5)を実行すると
new
①メモリの確保
new
②elementの代入
5
③nextにinitポインタ
をコピー
④initにnewポインタ
をコピー
init
5
3
init
3
6
NULL
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element領域
6
NULL
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C言語によるリストの定義(3/3)
typedef struct cell {
双方向連結リスト
int element;
struct cell *prev;
struct cell *next;
} cell;
cell *init=NULL;
%空のリスト
cell *final=NULL;
void list_add(int x)
{ %整数要素xを先頭へ追加
cell *new=(cell *)malloc(sizeof(cell));
new->element=x;
new->next=init;
new->prev=NULL;
if(init==NULL) final=new;
else
init->prev=new;
init=new;
}
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cell型は１つ前のデータを指す
ポインタprevももつ
最後尾のデータを指す
ポインタfinalも必要
先頭に追加する場合は１つ前の
データはなし
最初に格納されたデータが最後尾の
データ（finalが指すデータ)となる
２つ目以降に格納されたデータは
prevポインタを新しい先頭データを
指すように更新する
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連結リストが得意な処理（挿入）
INSERT(x,p,L) : リストL（要素数n）の位置pの次の位置に要素xを挿入
p
配列の場合
最悪/平均
時間計算量はΘ(n)
a0
a1
・・・
ai-1
ai
・・・
an-1
a0
a1
・・・
ai-1
x
ai
・・・
an-1
p
連結リスト
の場合 init
a0
a1
・・・
ai-1
ai
・・・
an-1
null
init
a0
a1
・・・
ai-1
ai
・・・
an-1
null
最悪/平均時間計算量はΘ(1)
双方向連結リストの場合
x
p
init
null
a0
・・・
・・・
final
ai
ai-1
・・・
・・・
an-1
null
init
final
null
a0
・・・
・・・
最悪/平均時間計算量はΘ(1)
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ai
ai-1
x
・・・
・・・
an-1
null
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連結リストが得意な処理（削除）
DELETE(p,L) : リストL（要素数n）の位置pの次の位置の次の要素を削除
p
配列の場合
最悪/平均
時間計算量はΘ(n)
a0
a1
・・・
ai-1
ai
ai+1
・・・
a0
a1
・・・
ai-1
ai+1
・・・
an-1
an-1
p
連結リスト
の場合 init
a0
・・・
ai-1
init
a0
・・・
ai-1
ai
ai+1
・・・
an-1
null
ai+1
・・・
an-1
null
最悪/平均時間計算量はΘ(1)
双方向連結リストの場合
p
・・・
・・・
ai-1
・・・
・・・
ai-1
ai
ai+1
・・・
・・・
ai+1
・・・
・・・
最悪/平均時間計算量はΘ(1)
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配列が得意な処理（i番目の要素へのアクセス）
FIND(i,L) : リストL（要素数n）のi番目のセルの内容を返す
LAST(L) : リストL（要素数n）の最後のセルの位置を返す
PREVIOUS(p,L) : リストL（要素数n）において、位置pの１つ前のセルの位置を返す
配列の場合 連続領域であるためi番目の要素や前後の要素に１ステップでアクセス可能
p
FIND(i,L) : Θ(1)
a1
ai
ai+1 ・・・ an-1
・・・ ai-1
a a0
LAST(L) : Θ(1)
＝
PREVIOUS(p,L) : Θ(1)
PREVIOUS(p,L) FIND(i,L)
LAST(L)
連結リスト
の場合
p
init
a0
・・・
ai
ai-1
ai+1
an-1
・・・
＝
PREVIOUS(p,L)
FIND(i,L)
null
LAST(L)
FIND(i,L) : Θ(n), LAST(L) : Θ(n), PREVIOUS(p,L) : Θ(n)
双方向連結リストの場合
p
init
null
a0
・・・
・・・
ai-1
PREVIOUS(p,L)
ai
＝
FIND(i,L)
final
・・・
・・・
an-1
null
LAST(L)
FIND(i,L) : Θ(n), LAST(L) : Θ(1), PREVIOUS(p,L) : Θ(1)
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配列による連結リストの実現
0
1
2
a1
2
free_init 0
4
6
3
4
5
a0
a2
an-1
1
9
-1
6
m-3
・・・
7
・・・
m-2
m-1
an-2
m-1
5
-1
init 3
メリット
•メモリー確保、解放の時間を節約できる。
•メモリー使用量を制御できる。
•ガベージコレクションの必要がない。
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スタック(stack)
スタックとは
要素の挿入、削除がいつも先頭からなされるリスト
LIFO(last-in-fast-out)
[基本操作]
TOP(S)
スタックSの先頭の位置を返す
POP(S)
スタックSの先頭の要素を削除
PUSH(x,S) スタックSの先頭に要素xを挿入
a2
PUSH(a2,S)
POP(S)
a2
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a2
TOP(S)
a1
a1
a1
a0
a0
a0
アルゴリズムとデータ構造 2014
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スタックの実現法
top
配列による実現
S
すべての操作の
時間計算量はΘ(1)
a0
a1
・・・
i
=TOP(S)
・・・
ai
PUSH(ai+1,S)
POP(S)
top
S
a0
a1
・・・
ai
i+1
ai+1
・・・
=
TOP(S)
連結リストによる実現
ai
top
すべての操作の
時間計算量はΘ(1)
ai-1
・・・
PUSH(ai+1,S)
ai
top
a0
null
POP(S)
ai-1
・・・
a0
null
ai+1
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スタックの応用例（関数呼び出し）
プログラム
実行コードシークエンス
int factorial(int n) {
if(n==1) return 1;
else
return n*factorial(n-1);
}
1: if n≠1 then goto 3
2: return 1
3: r=factorial(n-1)
4: return n*r
factorial(3)
factorial(2)
スタック n=3, 戻り:4
局所変数n
3
n
3
実行コード1:
2:
3:
4:
実行アドレス
3
2
factorial(1)
1:
2:
3:
4:
n=2, 戻り:4
n=3, 戻り:4
3
n
1:
2:
3:
4:
スタック n=3, 戻り:4
n
6
2014/10/15
1:
2:
3:
4:
3
n
4
1:
2:
3:
4:
2
1
2
4
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待ち行列(キュー, queue)
待ち行列(キュー）とは
要素の挿入は最後尾、削除は先頭からなされるリスト
FIFO(fast-in-fast-out)
[基本操作]
TOP(Q)
キューQの先頭の位置を返す
ENQUEUE(x,Q) 要素xをキューQの最後尾に入れる
DEQUEUE(Q) 先頭の要素をキューQから除く
a0
a1
ENQUEUE(a2,Q)
a2
TOP(Q)
a0
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a1
a2
DEQUEUE(Q)
a1
a0
a2
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キューの実現法
=
TOP(Q)
front
配列による実現
rear
(j+i)%n
0
n-1
・・・
Q
ENQUEUE(ai+1,Q)
すべての操作の
時間計算量は
Θ(1)
j
a0
front
・・・
a1
・・・
ai
rear (j+i+1)%n
j
0
n-1
・・・
Q
DEQUEUE(Q)
a0
・・・
a1
ai
・・・
ai+1
rear (j+i+1)%n
front (j+1)%n
0
n-1
・・・
ai
・・・
ai+1
TOP(Q)
=
連結リスト
による実現
・・・
a1
front
a0
a1
・・・
ai
a0
a1
・・・
ai
ai+1
null
rear
a1
・・・
ai
ai+1
null
rear
null
rear
ENQUEUE(ai+1,S)
front
すべての操作の
時間計算量は DEQUEUE(Q)
Θ(1)
front
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