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情報科学概論I
【第５週】単位区間上のカオスとフラクタル
～実数の不思議～
徳永隆治
（情報学類）
実数の成り立ち
【実数】実数は、有理数と無理数からなる
【有理数１】既約な分数（n/m）で表現できる実数
【無理数１】既約な分数で表現できない実数
【質問】小数表現を前提として、有理数と無理数を再定義せよ
【有理数２】循環する小数
【無理数２】循環しない小数
【質問】命題「デジタル計算機の中に無理数は存在する」は真か偽か？
【有理数３】有限語長（ビット長）で記述できる可能性がある実数
【無理数３】有限語長（ビット長）では記述できない実数
【質問】デジタル計算機は、無理数をいかにして扱うのか？
なぜ，有理数で無理数を扱えるのだろうか？ 詳しく調べてみる！！
可算集合
【有限集合】元の総数が有限である集合
【無限集合】元の総数が有限ではない集合
【可算集合】元が数えられる無限集合
【数えるとは？】集合の元を一列に並べて左から正の整数を１：１で割り当てる操作
【命題１】単位閉区間[0,1]上の有理数は可算集合
【証明】
閉区間 [0,1] 上の有理数が，左から右へ順に並べられることを例証する．
分母1の有理数 分母2の有理数 分母3の有理数
0 1
1 1
1 2
0 1 2
×2 2 ×2
3
0 1
×3 3
4 5
分母nの有理数
2 3 ….
0 1 …. n
×
×
×n
3 3
n n
……..
m ……………
左から順に正の整数を割り当てることができる．
■
….
非可算集合
【非可算集合】可算集合ではない無限集合
【命題２】単位閉区間 [0,1] 上の実数は非可算集合
【証明】
〔仮定〕単位区間上の実数は，小数として上から下へ順に並べることができる
0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …..…
0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a b c d e f g …..…
0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a’ b’ c’ d’ e’ f’ g’ h’ i’ j’ k’ l’ m’…..…
:
0. 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a” b” c” d” e” f” g” …..…
:
1. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0…..…
0. 8 1 3
A B …..……..……..……..……..
A’…..……..……..…
この実数は，上の数表（区間[0,1] 上の実数）に存在しない． ■
内点，境界と閉包
【内部と外部】集合Xの元だけで囲まれる点を内点といい，補集合CXの元だけで
囲まれる点を外点という．内点の集合iXを内部といい，外点の集合を外部という．
【境界】内点でも外点でもない集合Xの元を境界点といい，境界点の集合∂Xを
境界という．
【質問】単位区間上の有理数の集合Aの内部と境界を答えよ．
【解答】 iA = f，∂A = [0,1]
【閉包】集合Xに境界∂Xを加えた集合を閉包cl{A} という．
【稠密】集合Aの部分集合Bの閉方cl{B}が，Aに一致するならば部分集合Bは，
A上で稠密であるという．
【命題３】単位閉区間 [0,1] 上で有理数は稠密である．
【証明】∂A = [0,1]より自明 ■
なぜデジタル計算機で無理数が扱えるのか
【完備；complete 】すべてのコーシー列が収束する距離空間は完備である．
コーシー列とは，極限値を目指す近似数列であり，数が多くなれば多いほど近似
精度が高まることを意味する．
空間の完備性は，“目標”となる値，そのものを扱うことはできないが，“目
標”が確かに存在し，幾らでも良い近似値を扱えることを意味する．
デジタル計算機とは，無理数を（有限語長で表現可能な）有理数で近似する
システムである．
有理数による近似精度は，有限のレジスタ長で限定されている．
再帰的プログラミングによって，時間方向に有理数列を発展させ，近似精度を
改善できる．
【区間演算；interval operation】真の実数値xを有理値区間[p,q]で表現する計算手法
を区間演算という．
大学受験問題
x n 1 
【非線形漸化式】
xn
【質問】初期条件x０∈[1, ∞)に関して，limn→∞xnを求めよ．
【解答】帰納的に，x0≧1 ならば，任意のn>0に対して，xn ≧ 1である ．
したがって，
x n -1 x n -1
x n 1 -1  x n -1 

2
x n 1
|xn+1-1| ≦ 2-1 |xn-1| ≦ ….. ≦ 2-n |x０-1|
limn→∞ |xn+1-1| ≦ limn→∞ 2-n |x０-1| = 0
limn→∞ xn+1= 1
■
種明かし
x n -1 x n -1
x n 1 -1  x n -1 

2
x n 1
大学入試の問題では，漸化式
の解は必ず収束しなくてはな
らない．
xn+1
微係数が，１より小さいなら，
公比が１より小さい等比級数
で押さえられる．
1
逆に，微係数の大きさが１よ
り大きいとき，とんでもない
事が起こる．
0
0
1
xn
カオス
【非線形漸化式】xn+1 = f(xn) = 2xn – q(xn-0.5), q(x) = if x <0 then 0 else 1
1
xn+1
0
0
x0
x1 xn
x2
1
【軌道】初期条件x０から漸化式で求められる点列 {xn}を軌道という．
【質問１】初期条件x０が有理数の場合，軌道{xn}はどうなる？
【質問２】初期条件x０が無理数の場合，軌道{xn}はどうなる？
【ヒント】実数xを２進数で表現するとき，漸化式は何を意味するのか？
解答１
【２進数表現】x = 0.s0 s1 s1 s2 …. sN …………
【漸化式】 ビットシフト：xn = 0.s0 s1 s1 s2 …. sN … → xn+1 = 0.s1 s1 s2 …. sN …
【質問１】初期条件x０が有理数の場合，軌道{xn}はどうなる？
【解答】 x０が有理数
⇔ ビット列は循環する．
x0 = 0.s0 s1 ….sM | s0 s1 ….sM |…… | s0 s1 ….sM |……
したがって，
x1 = 0. s1 ….sM | s0 s1 ….sM |…… | s0 s1 ….sM |…… ≠ x0
x2 = 0. s2 ….sM | s0 s1 ….sM |…… | s0 s1 ….sM |…… ≠ x0
:
xM+1 = 0. s0 s1 ….sM |…… | s0 s1 ….sM |…… = x0
軌道は，周期Mで閉じる
■
解答２
【質問２】初期条件x０が無理数の場合，軌道{xn}はどうなる？
【解答】 x０が無理数
⇔ ビット列は循環しない．
x0 = 0.s0 s1 ….sN………………………………
したがって，
x1 = 0. s1 ….sN………………………………… ≠ x0
x2 = 0. s2 ….sN …………………………………≠ x0 , x1
:
xN+1 = 0. sN ………………………………… … ≠ x0 , x1 ,.., xN
軌道は，閉じることはない．
■
閉じない軌道{xn}は，乱数を意味する．
決定論的機構から生成される乱数列を決定論的カオスという．
奇妙な集合
【非線形漸化式】 f：x  [0,1]  (3/2) (1-|2x-1|)  R1
【質問】発散しない初期値の集合
Λ = {x [0,1] : limn→∞ xn [0,1] }
はどんな形になるか？
【ヒント】区間の像の関係
0
f : [1,∞]  [0, - ∞]
f : [0, - ∞]  [0, - ∞]
から，一度でも１よりも大きくなると軌道は発散してしまう．
1
解答
【質問】発散しない初期値の集合
Λ = {x [0,1] : limn→∞ xn [0,1] }
はどんな形になるか？
【解答】xn [0,1] か否かは，合成関数fnで判別できる．
閉区間を３等分にして，中央の開区間を取り除く操作
を全ての閉区間で無限回再帰的に反復してできる集合
（Cantor集合）となる．
【Cantor集合】
I0
①コンパクト集合（有界かつ閉集合）
どの段階でも閉集合であり，極限も閉集合
②完全非連結（内点を持たない）
I00
I1
I01 I11
000 001 011 010
110 111 101 100
どの段階でも区間の左と右は離れている
③完全（非可算集合）
区間を表す記号は，[0,1] 上の２進数と1:1対応する
I10
L
自己相似集合
【自己相似集合；self affine set】自身の縮小像の和集合で自身を構成できる集合
【例】単位線分は最も単純な自己相似集合である．
=
【例】単位正方形は最も単純な自己相似集合である．
=
【例】Cantor集合は自己相似集合である．
=
複雑な自己相似集合
【自己相似集合】自身の４つの縮小像の和集合で“羊歯” の絵が作られている．
位相次元と非整数次元
【例】単位線分の位相次元は１である．
=
1
○
=
1/2 + 1/2
【例】単位正方形の位相次元は２である．
=
1
=
×
1/2 + 1/2
1
=
○
(½)2 + (½)2 + (½)2 + (½)2
+ 1/2 + 1/2
【例】 Cantor集合の位相次元は？
=
1
=
(1/3)D + (1/3) D
1
=
2(1/3) D
0
=
log2 - D log3
D
=
log2/log3
レポート問題３
【問題３】以下の過程の極限における自己相似集合の非整数次元を求めよ．
レポート提出方法
○問題１～問題２をレポート用紙(A4)に回答せよ．
○レポートを，
理科系修士棟B523
(締め切り：２４日 金曜日午後５時)
へ提出せよ．(期限外は認めず，直ちに零点となる)
○レポートは，締め切り後の１週間の間，カオス研で返却する．
(返却されなかったレポートは，廃棄するので注意せよ)