Transcript 四分領域
第１日目第２時限の学習目標 基本的な１変量統計量（その２）につい て学ぶ。 尺度水準と適切な統計量との関連を整理 する。 ２変量データを手にした時の分布の特徴 の記述方法について学ぶ。 基本的な２変量統計量ー１ カイ２乗統計量につ いて学ぶ。 基本的な１変量統計量ー２ (a) 中央値、四分領域 中央値ーデータを小さい順に並べたとき、中央 （５０パーセント点）にくる値のこと。 第１四分位数ーデータを小さい順から大きい順に 並べたとき、下から４分の１（２５パーセント 点）にくる値のこと。 第３四分位数ーデータを小さい順から大きい順に 並べたとき、下から４分の３（７５パーセント 点）にくる値のこと。 四分領域ーデータを小さい順に並べたとき、第３ 四分位数と第１四分位数の差の半分の値のこと。 基本的な１変量統計量ー２ (b) 四分位数と四分領域 Q の関係 Q = (Q3-Q1)/2 ２５％ ２５％ Q1 ２５％ Mdn ２５％ Q3 基本的な１変量統計量ー２ (c) 中央値 (Median) の求め方 中央値の求め方は、「心理統計学 a」のテキストの p.17 の (4.1) 式の通りである。すなわち、 N Mdn lm h cum(lm ) / f m , (4.1) 2 • ここで、lm は、中央値のある階級の下限点、 • h は、階級の幅、 • cum (lm) は、中央値のある階級より１つ手前までの 累積度数、 • fm は、中央値のある階級の度数 基本的な１変量統計量ー２ (d)第１四分位数 の求め方 第１四分位数の求め方は、「心理統計学 a」のテキス トの p.17 の (4.2) 式の通りである。すなわち、 N Q1 lQ1 h cum(lQ1 ) / fQ1 , (4.2) 4 • ここで、lQ1 は、第１四分位数のある階級の下限点、 • h は、階級の幅、 • cum (lQ1) は、第１四分位数のある階級より１つ手前 までの累積度数、 • fQ1 は、第１四分位数のある階級の度数 基本的な１変量統計量ー２ (e) 第３四分位数 の求め方 第３四分位数の求め方は、「心理統計学 a」のテキス トの p.17 の (4.3) 式の通りである。すなわち、 Q3 lQ3 3N h cum(lQ3 ) / fQ3 , (4.3) 4 • ここで、lQ3 は、第３四分位数のある階級の下限点、 • h は、階級の幅、 • cum (lQ3) は、第３四分位数のある階級より１つ手前 までの累積度数、 • fQ3 は、第３四分位数のある階級の度数 基本的な１変量統計量ー２ (f) 四分領域の求め方 これらにより、中央値 (Mdn)、第１四分位数 (Q1)、第３四分位数 (Q3) が求まったならば、テ キスト p.16 の下方の公式により、 Q3 Q1 Q 2 として、四分領域 (Q) を求めればよい。 基本的な１変量統計量ー２ (g) 最頻値（mode） 最頻値ー得ら れる確率が最 も高い値、も しくは得えら れる頻度の最 も多い値。 右の図では、 ２つの山のう ちの右側に対 応するｘの値 (mode と mode x 基本的な１変量統計量ー２ (h) 中央値、四分領域、最頻値の性質 中央値、四分領域は、順序情報以上の尺度レベ ルのデータでは計算可能である。なぜ？ 最頻値は、名義尺度、順序尺度、間隔尺度、比 率尺度のいずれのレベルのデータでも計算可能 である。なぜ？ 基本的な１変量統計量ー２ まとめ これまでに学 んだ基本的な １変量統計量 の代表的な幾 つかを尺度水 準との関連で まとめると右 の図のように なる。 順序尺度 間隔尺 度・比率 尺度 平均 代表値 中央値 (Mdn) ばらつき 四分位数 標準偏差 (Q) （分散） ２変量データを手にした時の 分布の特徴の記述－１ 何らかの目的で N 対の対データ（２変量デー タ） 1 1 2 2 N N ( x , y ), ( x , y ),, ( x , y ) を手にしたとする。 サンプル数 N がある程度以上大きい場合、簡 単にデータの全体像をつかむためには、データ が原則的に名義尺度レベルの場合はまず分割表 を、順序尺度レベル以上であれば散布図を描け ばよい。 ２変量データを手にした時の 分布の特徴の記述－２ 分割表とは、例 えば５１４名の 被験者を（行と 列の）２つの属 性を用いて、右 のように分類し たものである。 厳しす 適当 ぎ もっと 厳しく 男 ２７ ２７５ ７５ 女 ３ １２４ １０ データの内容ー１ 上記データは、新入生に対する永平寺 参禅時の５１４名の学生に対する、参 禅後の調査データを２つの属性で分類 したものである。 属性の１つは学生の性別（男子、女子 ）であり、他方は永平寺の雲水による 坐禅指導の評価（厳しすぎた、適当、 もっと厳しく）である。 データの内容ー２ もとのデータは、上記２変量の対（ｘ、ｙ）が 、 （性別、座禅指導の評価）、 から成る、一対のデータ、５１４名分である。 （２，２）、（２，３）、（１， ２）、… 、（１，２） これらを、うえの表のようにまとめたものは、 分割表または、クロス表と呼ばれる 。 分割表（又はクロス表）の作り方 データ （２，２）、（２，３）、（１，２）、… 、（１，２） 1.厳し 過ぎた 1.男子 学生 2.女子 学生 計 2. 適当 3.もっと 厳しく 計 演習（２） 次の２０対（２０名）の２変量データセットの１つ を用いて、２×２分割表を作成せよ。ここで、（x、 y）変量のうち、前者は性別を後者は向性（外向、内 向）を表すものとする： （データセット１）： （１，１）、（２，２）、（１，２）、（ １，１）、（２，１）、 （１，１）、（２，１）、（２，１）、（ １，１）、（２，２）、 （１，２）、（１，２）、（１，１）、（ 演習（２）の続き （データセット２）： （２，１）、（２，２）、（２，１）、（ １，１）、（２，１）、 （１，１）、（２，２）、（２，１）、（ １，２）、（１，２）、 （１，２）、（１，２）、（１，２）、（ １，２）、（２，１）、 （２，２）、（２，２）、（１，２）、（ １，２）、（２，１） ２変量データを手にした時の 分布の特徴の記述－３ 散布図とは、例えば、 千野のホームページ の講義ノートの中の 「データ解析/基礎と 応用」の １．２．３ 節 「はずれ値の相 関係数への影響」の 項にあるような図で ある。 ２変量データを手にした時の 分布の特徴の記述－４ データが名義尺度レベルの場合には、 うえで紹介した分割表（クロス表）を もとに、２変量間の連関を表すための 以下のような多くの指標がある。 それらは、例えば、統計学辞典（東洋 経済、１９８９、pp.341-343）を見る と、以下のように各種の指標がこれま でに提案されていることがわかる： ２変量データを手にした時の 分布の特徴の記述－５ それらは、 （１）カイ２乗統計量系指標（ピアソンのカイ２ 乗統計量、 クラメールのV、チュプロウの T、ピアソン の一致係 数 C、尤度比カイ２乗統計量） （２）予測関連指標（グッドマン・クラスカルの 予測関連 指数） （３）その他、ヘイズの不確実性係数、コーエン ２変量データを手にした時の 分布の特徴の記述－６ 一方、データが順序尺度レベルの場合には、２ 変量間の順位相関・関連係数を表すための以下 のような多くの指標がある。例えば統計学辞典 （東洋経済、１９８９、pp.338-340） 。 それらは、 （１）ケンドールの順位相関係数 （２）スピアマンの順位相関係数 （３）ソマーズの関連指数、その他 である。 ２変量データを手にした時の 分布の特徴の記述－７ 最後に、データが間隔尺度レベルの場合には、 ２変量間の相関関係を表すための以下のような 指標がある。例えば統計学辞典（東洋経済、１ ９８９、pp.334-337） を見ると、 それらは、 （１）共分散 （２）ピアソンの（偏差積率）相関係数 （３）偏相関係数、重相関係数、偏回帰係数、 その他 である。 ２変量データを手にした時の 分布の特徴の記述－８ この授業では、これらのうち、 （１）名義尺度レベルの対データの場合の代 表的な連関の関連性の検討のための統計量であ るピアソンのカイ２乗統計量と、 （２）間隔尺度レベル以上の対データの場合 の代表的な２変量間の関連性の指標である共分 散及び相関係数 についてのみ、簡単に触れる。