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原子核物理学
第４講 原子核の液滴模型
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液滴模型
 電子散乱などから得られた原子核の電荷密度は次の特徴をもつ
 表面が明瞭である（原子核表面で密度が急速に減少）
 内部の密度は原子核に依らずに一定（密度の飽和性）
 Fermi の分布関数でよく記述できる
 原子核の液滴模型




原子核の最初の模型
原子核を非圧縮性流体（密度の飽和性から）と考える
原子核全体の性質を記述する模型
量子流体であるので，通常の流体の液滴とは異なる
⇒ 核子は Fermi 粒子であり，Pauli 原理がはたらく
原子核内では，核子間距離が大きく核子の衝突は稀である
通常の流体では，粒子間の距離が近く粒子の衝突が頻繁
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核子間距離
 原子核の結合エネルギーは核子数（質量数 A）にほぼ比例する
⇒ 核子は限られた個数の核子とだけ相互作用する（核力の飽和性）
全ての核子と相互作用するのであれば，結合エネルギーは A2 に比例する
 原子核の半径は
 原子核を球として，１個の核子が占める体積は
１個の核子が占める体積を球と仮定すると，その半径は
核子間距離は球の半径の２倍程度
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核子間距離と原子核の結合エネルギー
 原子核は自己束縛（量子）多体系
 原子核は
 大きな正の運動エネルギー
 大きな負のポテンシャルエネルギー
のバランスによって結合している
 粒子を狭い空間に閉じ込めると運動エネルギー
は増大する
 核力の到達距離は 1.5 fm 程度であるので，核
子間距離が広がるとポテンシャルエネルギーは
急速に減少する
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原子核の結合エネルギー
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結合エネルギーの特徴
1. 結合エネルギー B(A,Z) は質量数 A に比例する。
核子あたりの結合エネルギーは，ほぼ一定。
2. 核子あたりの結合エネルギーは A = 60 付近で最大になる。
A = 60 以降は単調に減少する。
3. 質量数 A を固定して，陽子数 Z 依存性をみると，Z の２次曲線で近似で
きる。
4. ３．をさらに詳しく見ると，質量数 A が奇数のときは１つの２次曲線で表
されるの対して，偶数のときは２つの２次曲線で表される。
陽子数が偶数の原子核は奇数の原子核に比べて結合エネルギーがや
や大きい。
5. 質量数が小さい領域では，陽子数と中性子数が同数ずつ（Z = N）もつ
傾向がある。質量数が大きい領域でも同様な傾向があるようである。
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半経験的質量公式
Weizsaecker の質量公式
β安定線へ
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１．体積エネルギー項
 流体の凝集エネルギーは流体の量に比例する
 原子核のエネルギーの場合には，最も粗い近似で，核子の数，すなわち，
質量数に比例する
結合エネルギーの飽和性
 核子のあいだにはたらく核力は平均して引力である
そのため，エネルギー E1 には負号をつけてある
結合エネルギーには正で寄与する ⇒ 結合を強める
 他の項（対エネルギー項を除いて）は全て逆符号で結合エネルギーに寄
与する ⇒ 結合を弱める
 体積エネルギー項によって，原子核は束縛系として存在できる
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２．表面エネルギー項
 液滴の表面には表面張力がはたらく
 単位面積あたりの表面張力を
とすると，
半径が R の球状液滴の表面エネルギーは，表面張力と球の表面積の
積で与えられる：
液滴の体積が質量数に比例すると考えると
 表面エネルギーは原子核のエネルギーを増加させるので，結合エネル
ギーを減少させる
 核子は，そのまわりの核子から引力を受けている
しかし，表面にある核子は，内部にある核子からだけ引力を受ける
表面効果として，エネルギーを増加させる表面エネルギー項が現れる
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３．Coulomb エネルギー項
 半径 R の球に電荷 Ze が一様に分布していると考える
 積分の前の因子は Z 個の陽子から２個を取り出す組み合わせの数
積分を実行して
 Z ( Z – 1 ) を Z2 で近似
 Coulomb エネルギーは原子核のエネルギーを増加させる
⇒ 原子核の結合エネルギーを減少させる
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４．対称エネルギー項
陽子数が 1 から 20 までの安定な原子核
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 Coulomb 相互作用を除くと，原子核は同数の陽子と中性子をもとうとす
る傾向がある
⇒
 中性子数と陽子数の比 N / Z が同じでも，
核子数が２倍になれば対称エネルギーも２倍になるはず
 この式は，Z = N のまわりに N – Z について展開して，最低次の２次の
項だけをとったもの
原子核の質量の実験データは，N – Z に比例する項はないことを示す
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５．対エネルギー項
 原子核は同種の核子を偶数個も
とうとする性質がある
 A = 奇数 の原子核の質量は１つ
の２次曲線で近似される
 A = 偶数 の原子核の質量は２つ
の２次曲線で近似される
 従って，次の３つの場合に応じて
1. Z = 偶数， N = 偶数
2. Z + N = 奇数
3. Z = 奇数， N = 奇数
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対エネルギー項の質量数依存性
 原子核の質量の実験値から，
対エネルギーが求められる
⇒ 右図
 実験値を次の関数で近似的に表
す（右図の曲線）
 これとは異なる関数型を用いるこ
ともある
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β安定線
 質量数が等しい原子核の中で，結合エネルギーが最大の原子核
⇒ 下図の曲線（黒い四角は安定同位体）
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結合エネルギーの内訳
 質量数の増加とともに，表面の効果は減少
 質量数（陽子数）の増加とともに，Coulomb エネルギー項は増大
 対称エネルギー項は小さく見えるが，この項は本来「非対称エネルギー」
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原子核の結合エネルギー
安定な原子核
全ての原子核
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殻効果
 半経験的質量公式は，
全体として実験値をよく再現する
 しかし，詳細に比較すると，特徴
的な違いが見られる
 質量数が小さい領域
 質量数が
A = 90, 140, 210 の領域
 実験値 － 質量公式 の値を，
横軸に「陽子数」，「中性子数」を
とって表すと（右図），違いが顕著
に見える
⇒ 魔法数
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核物質
 対称核物質
核子あたりの結合エネルギー（ Coulomb エネルギーを無視する）
 中性子物質（中性子星）
核子あたりの結合エネルギー
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