Transcript プラズマ基礎数学 図子 秀樹

2007
プラズマ基礎数学
図子 秀樹
講義内容
1. Collision Processes (4-17,18)
1-1) collision dynamics and “quasi-collision potential filed”
1-2) Derivation of Fokker Planck equation
2. Conservation laws in global physical quantities (4-24,25)
2-1) particle density, momentum, energy, charge density
2-2) derivation of conservation laws
3. Maxwell equations (5-1,2)
3-1) derivation of 1st set of Maxwell equations
3-2) derivation of 2nd set of Maxwell equations
4. Analysis of fluctuating signals in plasma (5-8,9)
4-1) digital data acquisition of analog signals and FFT methods
4-2) Physical meaning of frequency domain
1
Plasma
• Definition of “plasma”=>
• Nature of “plasma” =>
• Description of “plasma”
element ?
interaction between elements ?
transfer information among element ?
2
1. Collision Processes
• 1-1) interaction between plasma particles
Rutherford formula
equation of motion
effective cross section
• 1-2) Kinetic description for plasma
Fokker Planck eq.
3
“衝突”
関連するkey wordを３つ考えよ
• 運動量の保存、エネルギーの保存、向き、方
向、弾性衝突、非弾性衝突、反発（係数）、衝
突の平均自由行程、衝突断面積、衝突周波
数（時間）
4
In burning plasma, we have to consider
two types of collisions
1) Coulomb collision
2) Nuclear fusion Collision
5
Characteristics in Coulomb
Collisions (Arzimovich’s view)
Which one is a trajectory of the test charged particle
in a plasma?
“Collisional Transport in Magnetized Plasma”
Halendar, Sigmar 2002
6
Spizter’s view
trajectory in velocity space
( 1962 Phys. of Fully Ionized Gases )
(a) Initial
(b) After Nth
collisions
(c) After 10Nth
collisions
Do you find rules to describe <DVx> and <DVz>?
7
Wesson’s view
V
1) Collisions between
test particle and field particles
2) Test particle: ions or electrons
V||
V
3) Field particles: ions and electrons
V||
V
V||
8
Neutral Beam Injection
Ebeam~0.1-0.3 MeV
H+
9
WWW MPI
s 
Te increase leads to enhanced
3/ 2
scattered spectrum
Te
ne
Wcrit  14.8Te(keV)
Wcrit Wcrit
Kurimoto, Zushi 1997
10
プラズマ中の衝突をどう記述するか
• 衝突過程を運動方程式に組み入れることが
できるか？
• その場合の相互作用は何か？
• 繰り返し衝突する過程をどう記述するか？
• たくさんの粒子との衝突をどう表すか？
• そのとき相互作用はどう記述するのか？
11
Collision dynamics in Coulomb field
Initial velocity v
2f
Impact parameter
Scattering angle
Coulomb field
Landau’s text
12
Energy & Angular momentum
M  mr  ,
m 2
2


E  r  r  U(r),
2
Ze2
U(r)  
40r
2


13
M  mr  ,
m 2
2


E  r  r  U(r),
2
2
Ze
U(r)  
40r
2


 

2
M / r dr
2m[E  U(r)]  M / r
  2   ,
b
,
2
14
Exercise I
due date; 23 April till noon
• 1. Derive Rutherford scattering formula
1
hints:
E  mv2 , M  bmv
2
• 2. Conversion from two body collision
equations into one particle motion in a central
field
hints: conversion from v1,v2 into
relative velocity and velocity of
center of mass
15
Coulomb collision cross section
e  Ze
mv

40b

2 cot 
 2
2
=90 scattering,
2
Ze
b90 
2
40mv
• Scattering cross section ~b902
Z2e4
 90 
6402E2
16
Collision in shielded Coulomb field
1) Total target ions
Nt arget  nvdt2bdb
2) Limit in b
bmax  Debye
17
Dominant Collision in Momentum change
p||  mv  mv cos  nvt 2bdb
 p|| 
 

2

  nmv 1  cos 2  2bdb
 2 

 t 


Integration from bmin to Debye
length


D
 2bdb 
dp
2
 2nmv  
2 
dt
 b  
0
 1   b  
  90  
  b
2 cot  
 2  b90
D
 2nmv2 90
  b 2 




ln 1 
  b90  



 D 

ln   ln
 b90 
0
1
v
 4ln  90 nmv  2  3
v
v
2
18
Dominant Collision in Momentum change


dp
2 v
 4ln  90 nmv
dt
v
2 4
Ze
2
 4n
ln mv
2
2 1
2
640  mv 
2


2 4
Z e n ln  v

2
3
80 m v

v
3
v
  b
2 cot  
 2  b90
 D 

ln   ln
 b90 
Z2e4
 90 
6402E219
• １個の荷電粒子が標的粒子の作る静電場で“運動
量”を微少に変化する。
• これを“衝突”と定義する。
• 単位時間内の運動量変化量は
“有効場における”運動方程式として表現でき
その値は微小散乱の集積効果を表す。
• 衝突間の運動量変化量は入射粒子の速度の２乗に
反比例する。
• 初期運動方向の運動量ベクトルの変化率は、速度
の３乗に反比例し、初期運動方向を向く。
20
一般化
• 質量mi、電荷ei、速度viの入射粒子が質量mj、
電荷Ｚej、速度vjの標的粒子と衝突する。
２体問題のみを取り扱い、３個同時に衝突
することはないと仮定する。
• 中心力場での換算質量mを持つ粒子の散乱
で表現
• 標的粒子は既知の分布関数f(vj)に従う。
• テスト粒子の分布関数の発展を記述したい！
21
Generalization of momentum eq.
Taking into account v-4 dependence of 90 ,


dpij
vij
 Aij 3
dt
vij

 
Z2e4 ln 
v i j  v i  v j , Ai j 
2
40 mi j
m
1
ij
m i  m j 1  mi / m j


mi m j
mi
Characteristics of “Force”
1)
2)
3)
22
Similarity to electro-static force


dpij
vij
 Aij 3
dt
vij
r  x  x' , q1 at x, q' at x'


dp1
 q1E
dt
  q' r 

E  
3
 40 r 

 (x' ) r 3
dx '

3
40 r
 1

 (x' )

dV' 
 


 40 r

  (r)
 (r) 
1
4

 (r' )
r
d3r'
23
Generalization of momentum eq.
Taking into account v-4 dependence of 90 ,


dpij
vij
 Aij 3
dt
vij

 
Z2e4 ln 
v i j  v i  v j , Ai j 
2
40 mi j
m
1
ij
m i  m j 1  mi / m j


mi m j
mi
Introduce a potential H in velocity space
dpi
dt
 mi Av H
i; test particles, j: field particles
j
 mi  f j ( v j ) 3
H  1  
d vj,
 m j  vi j
e4Z2 ln 
A
40 2mi 2
24
Wesson’s view
V
V||
Parallel Motion in Velocity space
Can be interpreted by a potential H.
V
V||
Motion in the Perpendicular direction ?
V
V||
25
dpi
dt

dvi
dt
 mi A v H
j
Test particle; i
vi

 A v H
 
vij  vi  v j
j
 mi  f j ( v j ) 3
H  1  
d vj,
 m j  vi j
vj
Field particles; j
26
Potential H for field particles
with Maxwell distribution
2


nj
v
j


f j (v j ) 
exp
3/ 2
3
2 

2  vth j  2vth j 
 mi 

H( vi )  1  
 mj 

f j (v j ) 3 
  d vj,
vi  v j
Assume the isotropic distribution function fj(vj) in velocity space
Use the spherical coordinates
Vi is set to Z-axis.
27
1) Volume element d3v in velocity space
2


3
2
d
v

v
d

v
sin

d

dr

d

sin

d

v


 
 dv
2)



f j (v j )
  
vi  v j
3)
4)
0

 0
f j (v j ) 3 
f j (v j ) 2
d
v

2 dcos    v j dvj
 
j
vi  v j
vi  v j



f j (v j ) 3 
  d vj 
vi  v j
0


f j (v j )
vi 2  2vi v j cos  v j2
1
 dcos 
1
vi 2  2vi v j cos  v j
2 

2
v
f (v j )dvj
2  j
0
1


2
2 
 1
2
 2  v j f ( v j )dv j  
v

2
v
v
cos


v
i
i
j
j 
v
v
 i j
0
1 


1
 2  v j2f ( v j )dv j
 vi  v j  vi  v j
v
v
i j
0



28



f
(
v

mi  j j ) 3 

H( vi )  1     d v j
 m j  vi  v j


 mi   1 v i 2


 1  4
v
f
(
v
)
dv

v
f
(
v
)
dv
j
j
j
j
j
j

 vi 0

m
j
v

 
i



 mi   vi / 2vth j
H  1  n j
vi
 mj 
x
2
2

exp

y
dy; error function


 
0
29
Exercise II
due date; 23 April till noon
1)

fj (vj ) 3
mi 


H  1 
d vj,


mj 
vi j



vi



 2v th j 


m

,
i 
H( v i )  
1

n
j


m
vi
j 

2 x
2
x 
exp(

y
)dy; Error function


0
2)

dvi
dt

n je4 Zi 2 Z j2 ln   mi  ( vi / 2vth j)
1  
 Av H  
2
2
2
 mj 
20 mi
2
v
j
th
j


(x) 
 (x)  x ' (x)
2x2
30
Potential H for field particles
with Maxwell distribution
  Q 1
 E  dS     (r' )dV',
E   ,
 (r) 
1
 (r' )
40  r
d3r'
S
0
0 V
 r

1 r
2
E(r) 

(
r
'
)
4

r
'
dr'
3 
40 r 0
 mi  f j ( v j ) 3
H  1  
d vj,
 m j  vi j
31

dvi
dt

 Av H
j
 mi  f j ( v j ) 3
H  1  
d vj,
 m j  vi j
 vi 


 mi   2vth j 
H(vi )  1  
,
vi
 mj 
x 
2

Test particle; i
vi
 
vij  vi  v j
vj
Field particles; j
x
2
exp(

y
)dy; Error function

0
32
まとめ
• テスト粒子の小角散乱衝突過程による速度
空間での摩擦力（初期速度の方向の減速）は
分布電荷の作る場におけるテスト電荷のクー
ロン力による運動と同様に考えることができ
る。
• 初期速度と垂直方向の衝突過程は同様に考
えられるか？ どのようなpotentialで？
33