Transcript プラズマ工学 九州工業大学電気工学科 趙孟佑 No.2 ~プラズマ振動

プラズマ工学
九州工業大学電気工学科
趙孟佑
No.4
〜衝突〜
参考書：真壁利明、プラズマエレクトロニクス、培風館
1
衝突断面積
面積 A
分子の断面積
分子密度n
x+dx
x
電子
典型値 ~10-20m2
速度 v
x=0
上に示された体積中の分子の数
分子によって覆われる面積
dx進む間に衝突する確率
Nn  nAdx
Nn  nAdx
Nn nAdx

 n dx
A
A
2
衝突
電子ビーム
x
• 電子が同一の速度vでビームを構成していると仮定
• 分子と衝突すると、速度vを失ってビームから離脱する
• dx進む間のビームを構成する電子の数の変化は
dNe  Nen dx
一個の電子が衝突する確率
3
衝突
電子ビーム
x
• x=0で電子の数をＮ0とすると
dNe
 Nen
dx
Ne  No exp n x 
4
衝突断面積
Ne  No exp n x 
• σは衝突断面積と呼ばれる
• 代表値として、水素原子の円軌道半径
(ボーア半径）a0=5.29x10-11mを考える
 a02  8.79 1021 m2
電子と原子・分子の衝突の場合、
大体、10-20m2（Åの2乗）と考えて間違いはない。
5
平均自由行程
• 自由行程：ある衝突をしてから、次の衝突
をするまでに空間を飛行する距離
Nen dx
自由行程がxからx+dxである確率
N0

Nen dx
自由行程の平均（期待）値 mfp   x
N0
0


N0 exp n xdx 1
Nen dx
mfp   x
 n  x

N0
N0
n
0
0
λmfpを平均自由行程と呼ぶ
1
mfp 
n
6
平均自由行程
• 電子ビームが散乱されずに残る数
 x 
Ne  No exp  

 mfp 
こういう式でかけるものをポアッソン過程と呼ぶ
1
0.8
e
N /N
0
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5 2
x/
2.5
3
3.5
7
衝突周波数
• 平均自由行程を進むと1回は衝突する
• 衝突と衝突の間の平均時間：衝突時間
 col 
mfp
v

1
n v
単位時間に衝突を起こす回数:衝突周波数
col 
1
 col

v
mfp
 n v
  nv
8
運動量保存
m1
v1
m1
m2
v2
v1’
m2
v2’
before collision
after collision
• 衝突している時間（10-16s秒程度）に、外力が働かない
• 粒子の全運動量は保存される
• 質量中心の速度の運動エネルギーが保存される
9
運動量保存
m1
v1
m1
m2
v2
v1’
m2
v2’
after collision
before collision
r
r
r'
r'
m
v

m
v

m
v

m
v
1 1
2 2
1 1
2 2
運動量保存
1
1
1
1 2
2
2
2
Ek  m1v1  m2v2  (m1  m2 )vg  vr
エネルギー
2
2
2
2
r
r
不変
r m1v1  m2v2
変化
v

g
質量中心速度
m1  m2
vg は衝突前後で変わらない
r r r
v
相対速度
r  v1  v2
もし、変わるものがあるとす
m1m2

ると、相対速度vrだけが変わる
換算質量
m1  m2
10
弾性 or 非弾性
衝突前のエネルギー
衝突後のエネルギー
1 2 1 '2
vr  vr  E
2
2
E  0 弾性衝突
E  0 非弾性衝突
質量中心系
(運動エネルギーが内部エネルギーになる)
E  0 非弾性衝突
(内部エネルギーが運動エネルギーになる)
11
微分断面積
この面積への立体角
j
B
A
dW  sinqdqdj
q
質量中心系
衝突断面積 Q
粒子が dWの立体角中に散乱される確率
 d (q,j )dW
 d (q,j ) 微分断面積
Q
12
運動量移行断面積
A
全衝突断面積
運動量移行断面積
運動量変化
運動量変化の割合
運動量を失う距離
B
j
q
Q=  d (q,j )dW  

0

2
0
 d (q,j )sinqdqdj
Qm = (1 cosq )d (q,j)dW
p  p  pcosq  p(1 cosq )
p
 (1 cosq )
p
1
粒子Aが粒子Bに運動量を与える
nnQm
13
弾性衝突によるエネルギー移行
m1
m2
m2
m1 v1’
v1
v2’
before collision
after collision
Momentum: m1v1  m1v1'  m2v'2
1 2 1 '2 1
'2
Energy: E = m1v1  m1v 1  m2v 2
2
2
2
m2 '
'
v1  v2 - v1
m1
2m1
'
v2 
v1
m1  m2
14
弾性衝突によるエネルギー移行
m1
m2
m2
m1 v1’
v1
v2’
before collision
m2のエネルギー変化
after collision
1
4m1m2 1
'2
2
E  m2v 2 
m
v
1 1
2
2
2
m1  m2 
エネルギー変化の割合
E m1
For m2  m1,

E m2
E
4m1m2

E m1  m2 2
質量差が大きいとき、僅かなエネルギーしかm1からm2に渡されない
15
平衡に達する時間
• プラズマを作った直後は、通常は電子の方が重い
粒子（原子、分子、イオン）よりも温度（粒子一
個一個の平均運動エネルギー）が高い
• 平衡
– 電子と重粒子が同じ温度をもつ
• 平均の並進運動のエネルギー=(3/2)κT
– 各々の粒子は同様の運動エネルギーをもつ
• 1回の衝突で電子(m1)から重粒子(m2)に僅かなエネ
ルギーしか渡らない
• 電子は m2/m1 回重粒子にぶつからないと両者の温
度は等しくならない (m2/m1 > 1000)
平衡に達する時間：
1 E m2 1
m2
 eq 


 E m1  m1nhQve
16
クーロン衝突（荷電粒子間衝突）
電子
散乱角
正イオン
(静止と見做せる）
距離r0でのクーロン力 F 
e2
4 or02
r
イオンの周辺に居る時間 T  0
v
17
クーロン衝突
運動量変化＝力x時間
(mv) = FT 
e2
4or0v
もし、電子が90o曲げられるとすると、
(mv)  mv
mv 
変形して、
e2
4or0v
e2
r0 
4o mv2
等しくおいて
4
e
Cross section:  ei  r02 
16o2 m2v4
ne4
Collision frequency: ei  nv 
2 3
16o2 m
v
18
クーロン衝突
4
e
衝突断面積  ei   r02 
16o2 m2v4
ne4
衝突周波数 ei  n v 
16o2 m2v3
マクスウェル分布をしているとすると、電子の速度は
v
 Te
me
で近似できる。
19
クーロン衝突
ei 
e4
16 Te 
2
o
2
90度曲げられる大きな散乱だけを考慮
したが、実際には、小角度散乱が多数
あるので、それの補正をする
ei 
e4
16 Te 
2
o
2
ln 
Coulomb logarithm
大体10程度
20
クーロン衝突
ei 
e4
16 Te 
2
o
2
  12n3d
ln は大体 10
ln 
n:プラズマ密度
λD:デバイ長
From Chen
21
クーロン衝突
electron
イオンの存在を知らない
散乱なし
electron
小角度散乱
d
electron
ion
 r 
F  exp 
 d 
大角度散乱
22