Transcript 復習パワポ

第１回勉強レポート：優秀レポートの基準
1) 指示を守っていること。
A4レポート用紙、左上をとじる、など。
2) 発展問題を解いていること。
授業の例と似ているものは除外。例 3x2など。
3) ベクトルをベクトルらしく書いていること。
太字または上に矢印
4) 「力」を列挙する問題で、力以外のものが含まれていないこと。
圧力、電力は力ではない。
1
運動方程式の例２：重力
2
基本ベクトルの復習
ex , e y , ez
x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトル（長さ１）。
もし軸が動かない場合は、座標で書くと、
z
e x  (1,0,0)
e y  (0,1,0)
ez
ex
e z  (0,0,1)
O
ey
y
x
参考：動く電車の中で基本ベクトルを考える場合は、
基本ベクトルは時間の関数になるので、
時間で微分して０にならない場合がある。
3
動径ベクトル
復習
r
位置ベクトルとも言う。
r  xex  ye y  zez
z
原点Ｏから物体までのベクトル。
r
ez
ex
x
P(x,y,z)
O
ey
y
r  x(1,0,0)  y(0,1,0)  z(0,0,1)  ( x, y, z)
4
動径ベクトルを微分する。
r  xex  ye y  zez
補充問題（前ではやりません）
e ,e ,e
基本ベクトル
が定数（動かない）の時、
x y z
動径ベクトルを微分して以下を示せ。
dr dx
dy
dz
 dx dy dz 
v   ex  e y  ez   , , 
dt dt
dt
dt
 dt dt dt 
2
2
2

dv d x
d y
dz
d x d y d z
a   2 ex  2 e y  2 e z   2 , 2 , 2 
dt dt
dt
dt
 dt dt dt 
2
ヒント：積の微分法
2
2

 fg   f g  fg
を使う。
5
運動方程式の例：重力場中
ma  F
質量x 加速度
＝力
例２：重力が質量mの質点に働いているなら、
z
下向けにmgの力を受ける。
mg
gは重力加速度。
y
g= 9.8 m/s2
x
ベクトルで書くと、  mgez
運動方程式は、
はz軸方向に
2
e
z
dr
上向けの長さ１の
m 2  mgez
ベクトル。
dt
成分で書くと、
tは時間
(0,0,1)
問題２ 例２の運動方程式の両辺を、x,y,z成分で書け。
微分方程式を解いて、運動を求めよ。（一般解を求めよ。）
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g 重力加速度
このページは試験に
出ません。
gravity 重力
参考
「gr」がつく単語は
重いものが多い。（例外もある）
grave 重大な、墓
grief 悲しみ
gray 灰色
grim 陰鬱な
2
d
r
例２の解答
m 2  mgez
z
dt
mg
y
成分で書くと、 r  ( x, y, z), e  (0,0,1) より x
z
2
d x
dx
m 2 0
x(t )  vx0t  x0
 vx0
dt
dt
d2y
dy
y(t )  vy0t  y0
m 2 0
 vy 0
dt
dt
2
d 2z
gt
dz
m 2  mg
 vz 0t  z0
 gt  vz 0 z(t )  
dt
2
dt
vx0 , vy 0 , vz 0 , x0 , y0 , z0 は定数。初期条件で決まる。
野球場でボールを打つ。初期速度は例えば１塁と２塁の
間のある方向。初速度の方向には等速、
z方向には重力が働き等加速度運動。
現実には空気抵抗、ボールの回転も影響する。
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例２の解答の前半：成分で表す。
d 2r
m 2  mgez
dt
2
2
2

dr
d x d y d z
  2 , 2 , 2 
2
dt  dt dt dt 
2
運動方程式は、
 d 2x d 2 y d 2z 
 m 2 , m 2 , m 2   mg(0,01)  (0,0,mg)
dt
dt 
 dt
2
2
2
d x
d y
d z
m 2  0, m 2  0, m 2  mg
dt
dt
dt
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例２：x方向の運動からわかること。
x方向の運動
d 2x
m 2 0
dt
d 2x
0
2
dt
質量mは0ではないため
dx
 vx 0
dt
x(t )  vx0t  x0
力を受けない方向には、等速度で進む。
・野球のボール場合には、空気抵抗があるので、
速度はだんだん小さくなる。
では、一定の力を受ける場合は？ → 次のページへ。
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z方向の運動からわかること。
d 2z
m 2  mg
dt
2
両辺をmで
割る
gt
z(t )  
 vz 0t  z0
2
d 2z
 g
2
dt
dz
 gt  vz 0
dt
右辺にマイナスがある理由
z座標は上向けにプラス。
重力は下向けに働く。
一定の力を受ける場合は、
・落下の速さ（速度の絶対値）がどんどん大きくなる。
・落下距離は、時間tの２次関数になる。
問題 原点から出発、初速度がx方向の時の
速度、動径ベクトルの各成分を求めよ。
さらに、xとzの式から時間tを消去して、zをxの関係として
表し、軌道が放物線になることを確認せよ。
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ネアンデルタール人とクロマニヨン人の話
・ネアンデルタール人の骨が発見された。
・肋骨に槍（やり）による傷跡。
斜め４５度から。
・ネアンデルタール人は森で生活。
近くまで行ってから、動物を槍で刺していた。
・一方、クロマニヨン人は、大平原で暮らしていた。
遠くの動物に槍を投げて刺す。
・ネアンデルタール人はクロマニヨン人に
殺されたのかも。
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補足
初期条件とは：
出発地点の位置rと速度vのこと。
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運動方程式からわかること
運動量、力積、運動エネルギー
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ma  F からわかること
運動量 p  mv を使って、
運動方程式
問題１：
運動方程式は
dp
F
と書けることを示せ。dt
運動量：
運動の勢いを現す。
教科書p.51-52
問題２：前問の結果より、
p  p   Fdt
t2
力積により
運動量が変化する。
2
1
t1
を示せ。
教科書p.55
問題３：運動方程式と速度ベクトルの内積を
とることにより、
P1
1
1
2
2
mv1  mv0   F  dr
P0
2
2
を示せ。
運動エネルギーの変化＝仕事
15
教科書p.20
問題１の解答
ma  F
運動量 p  mv
問題１
dp d (mv)

dt
dt
dv
 m
dt
 ma
 F
(1)
を使って、書き換える。
運動量：
運動の勢いを現す。
質量mは時間によらず
一定だとする。
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問題２の解答
前問より
dp
F
dt
微分の逆は積分
p   Fdt
時間t1, t2における運動量をp1, p2とすると、
p2  p1   Fdt
t2
力積により運動量が変化する。
t1
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運動量
momentum
p  mv
運動量
= 質量
x 速度
重い物ほど運動量が大きい。速いほど運動量が大きい。
衝突の時の勢いを表す。方向も示す。
dp
F
dt
力を受けると、運動量が変化する。
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力積（りきせき）

t2
t1
Fdt
impulse
力積＝力
x 時間
運動量の変化は力積に等しい。
p2  p1   Fdt
t2
t1
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仕事
F

d
r

work
・内積
F
仕事＝力 x 距離
dr
経路に沿った微小長さ。接線方向
dr
(微小=非常に小さい)
例：水平面上に物体があり、
水平から60度の角度で5Nの力を加えて
3m引っ張った場合、した仕事は、
5N x 3m x cos60°=7.5N・m
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運動エネルギー
kinetic energy
1 2
mv
2
1
2
運動エネルギー   質量 速度
2
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