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運動方程式からわかること
運動量、力積、運動エネルギー
1
ma  F からわかること
運動量 p  mv を使って、
運動方程式
問題１：
運動方程式は
dp
F
dt
と書けることを示せ。
運動量：
運動の勢いを現す。
教科書p.51-52
問題２：前問の結果より、
p2  p1   Fdt
t2
力積により
運動量が変化する。
t1
を示せ。
教科書p.55
問題３：運動方程式と速度ベクトルの内積を
とることにより、
P1
1
1
2
2
mv1  mv0   F  dr
P0
2
2
を示せ。
運動エネルギーの変化＝仕事
2
教科書p.20
問題１の解答
ma  F
運動量 p  mv
問題１
dp d (mv)

dt
dt
dv
 m
dt
 ma
 F
(1)
を使って、書き換える。
運動量：
運動の勢いを現す。
質量mは時間によらず
一定だとする。
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問題２の解答
前問より
dp
F
dt
微分の逆は積分
p   Fdt
時間t1, t2における運動量をp1, p2とすると、
p2  p1   Fdt
t2
力積により運動量が変化する。
t1
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ma  F (1)
(1)の両辺と v の内積を取ると、ma  v  F  v
問題３の解答
左辺は、
右辺は、
よって
(2)
dv
d 1 2
ma  v  m  v   mv 
dt
dt  2

dr
F v  F
dt
d 1 2
dr
 mv   F
dt  2
dt

5
dv
d 1 2
v   v 
dt
dt  2 
解答の補足
v  vx  vy  vz
2
2
2
2
の証明
右辺から出発する。
2
2
2
dv
dv dvx
dvz
y



dt
dt
dt
dt
2
合成関数の微分
2
2
df df dy

dt dy dt
を右辺第1項に使う。
dvx
dvx dvx
dvx

 2vx
dt
dvx dt
dt
dvy
 dvx
d 2
dvz 
v  2 vx
 vy
 vz

dt
dt
dt 
 dt
dv
 2v 
dt
他の項も同様
6
解答続き d  1 2 
dr
 mv   F 
dt  2
dt

1 2
dr
mv   F  dt   F  dr
2
dt
点P0から点P1への変化は、
P1
1
1
2
2
mv1  mv0   F  dr
P0
2
2
運動エネルギーの変化＝仕事
7
運動量
momentum
p  mv
運動量
= 質量
x 速度
重い物ほど運動量が大きい。速いほど運動量が大きい。
衝突の時の勢いを表す。方向も示す。
dp
F
dt
力を受けると、運動量が変化する。
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力積（りきせき）

t2
t1
Fdt
impulse
力積＝力
x 時間
運動量の変化は力積に等しい。
p2  p1   Fdt
t2
t1
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仕事
F

d
r

work
・内積
F
仕事＝力 x 距離
dr
経路に沿った微小長さ。接線方向
dr
(微小=非常に小さい)
例：水平面上に物体があり、
水平から60度の角度で5Nの力を加えて
3m引っ張った場合、した仕事は、
5N x 3m x cos60°=7.5N・m
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運動エネルギー
kinetic energy
1 2
mv
2
1
2
運動エネルギー   質量 速度
2
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単位の話
ma  F
SI (MKS)単位系
International System of Units
Le Système International d'Unités
力学では、次の３つを使う。
時間 s(秒）
長さ m(メートル）
質量 kg(キログラム)
参考：SIではない単位の例
長さ：マイル、フィート
面積：アール、ヘクタール
体積：ガロン
質量：ポンド
熱量：カロリー
secondの略
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ma  F
単位の問題
下記の単位をSI単位系で書け。理由も書くこと。
問題１
動径ベクトル
問題２
速度と加速度
問題３
力の単位、N(ニュートン）
ヒント：運動方程式を使う。
問題４
運動量
問題５
運動エネルギー
p  mv
1 2
mv
2
の単位、Ｊ（ジュール）
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問題１の解答
動径ベクトルは、位置を表す。
r  xex  ye y  zez
 x(1,0,0)  y(0,1,0)  z(0,0,1)
 ( x, y, z)
長さなので、単位はm(メートル）。
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問題２の解答
速度は、
dr
r(t  t )  r(t )
v   lim
dt t 0
t
より、距離の単位÷時間の単位になるので、
m/s (メートル毎秒）
加速度は、
dv
v(t  t )  v(t )
a   lim
dt t 0
t
より、速度の単位÷時間の単位になる。
m/s2
(メートル毎秒毎秒）
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問題３の解答
力の単位 N (ニュートン）は、
ma  F
より
質量の単位 x 加速度の単位
= kg ・m/s2
読み方：キログラム、メートル毎秒毎秒
注意：質量mの単位をm(メートル）と書く人が
たまにいるが、ma = Fのmはmass(質量m)の略。
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問題４の解答
運動量の単位は、
p  mv
より、
kg ・m/s
読み方は、キログラム、メートル毎秒
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問題の解答
問題５
運動エネルギー
1
2
1 2
mv
2
は単なる数なので、単位はない。
mv2
の単位は、
質量の単位 x 速度の単位の２乗
= kg・(m/s)2 = kg・m2/s2
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偏微分、
gradベクトル、
-> ポテンシャル
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偏微分：２変数以上の関数で、１つの変数について微分する
教科書p.376
p( x, y)
 q( x, y)
x

x
：xについて微分する。(ｙを一定とみる）
「偏微分（へんびぶん）」と呼ぶ。
図形的には、z=p(x,y)の関数を、
y一定の断面で見た時の、傾き
z
問題：関数z=p(x,y)=xyを図示せよ。
また
p( x, y)
を求めよ。
x
y
x
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偏微分の記号

f
x
読み方はいろいろある。
・ラウンドディー
・パーシャルディー
・ディー
英語では、
・rounded d
・partial d
・d
英語なら、rounded f over rounded x
partial derivative of f with respect to x
日本語なら、ラウンドx 分の ラウンドf
fのxに関する偏微分
または ディーf, ディーｘ
（これだと普通の微分と同じ読み方になるので、
ラウンドの方がよい。）
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偏微分の記号の書き方

f
x
数字の６（ろく）をそのまま書かないこと。
左右ひっくり返して書く。
アルファベットのd(ディー）ではない。
ギリシャ文字のδ（デルタ）ではない。
ギリシャ文字のσ（シグマ）ではない。
ミニワーク
f
偏微分の記号に注意しながら、
をアンケート用紙の
x
上部に大きくはっきり３つ書いて下さい。
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２変数関数のグラフの書き方
z  p( x, y)  x  y
2
2
z
x,y,zの表を作る。
x y
0 0
0 1
1 1
など。
z
0
1
2
x
1
1
y
xとyの値を与えた時に、zの値をプロットする。
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偏微分の例
p( x, y)  x y  sin x cos y
3
xについての偏微分
2
（yは定数だと思って微分する。）
p( x, y)
2 2
 3x y  cos x cos y
x
yについての偏微分 （xは定数だと思って微分する。）
p( x, y)
3
 x  2 y  sin x  ( sin y)
y
 2x y  sin x sin y
3
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