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第１1回授業(12/11)の学習目標
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
第８章 分散分析 (ANOVA) の学習
分散分析の例からその目的を理解する
分散分析の各種のデザイン
Fisher の実験計画法の３原則とは？
作業仮説と帰無仮説の違い
帰無仮説棄却の意味と多重比較とは？
分散分析表とその作成方法
完全無作為化デザインANOVA の検定方
法と実習(実習の手前までで、終了）
例1 睡眠遮断実験データ






睡眠遮断実験データ
（Kirk, 1985)
要因ー睡眠遮断１要因
要因の水準ー４
12h, 24h, 36h, 48h
の睡眠遮断条件
サンプル数ー各水準に
８名づつ無作為割り付
け
従属変数ー手先の鈍感
さ
完全無作為化法
1
2
3
4
5
6
7
8
12h 24h 36h 48h
3
4
7
7
6
5
8
8
7
9
３
４
3
3
6
8
1
2
5 10
2
3
6 10
2
4
5
9
2
3
6 11
睡眠遮断実験の目的
実験の目的は、「手先の敏捷さ（鈍感さ）は、
睡眠遮断により影響を受ける（睡眠遮断の効
果あり）」という作業仮説を検討することであ
る。
 そのためには、どのような手順でデータを収
集する必要があるだろうか？
 完全無作為化法とは？

完全無作為化法とは？

当該実験での主要な因子（要因） １つの各水準に対
して、各被験者を無作為に割り付ける方法。うえの
例では、睡眠遮断要因が主要な因子である。
水準
観測値
Ａ１
・・・
Ａｐ
均質な被験者集団
完全無作為化法の特徴

完全無作為化法では、テキスト p.36 にある
ように、次のような特徴を持つ：
（１）反復
各水準ごと、複数の被験者（標本）が割
り付けられている。
（２）無作為化
被験者（標本）の、各水準への割り付け
は無作為（randomize) になされている。
実験計画におけるFisher の３原則
テキスト p.36 の下方に書いたように、一般に実
験計画法（狭義の分散分析）では、つぎの３つの原
則が重要である：
（１）反復
同一水準には２回以上の標本が必要
（２）無作為化
標本の各水準への割付は、無作為化
が必要
（３）局所管理
作業仮説と
統計的仮説（帰無仮説）の違い
実験の目的は、「手先の敏捷さ（鈍感さ）は、
睡眠遮断により影響を受ける（睡眠遮断の効
果がある）」という作業仮説を検討することで
ある。
 この場合の帰無仮説は、「手先の敏捷さ（鈍
感さ）は、睡眠遮断により影響を受けない（睡
眠遮断の効果はない）」というものである。

帰無仮説の棄却の意味
帰無仮説「手先の敏捷さ（鈍感さ）は、睡眠遮断によ
り影響を受けない（睡眠遮断の効果はない）」が棄
却された時（否定された時）、
 睡眠遮断の効果は（統計的に）有意であった、
と言う。
 このことは、手先の敏捷さ（鈍感さ）は、睡眠遮断に
より影響を受ける（睡眠遮断の効果がある）、という
ことである。また、このことは、うえの作業仮説が支
持されたことを意味する。

睡眠遮断の効果が有意とは？
o
(
手
先
の
鈍
感
度
平
均
）
o
o
１２ｈ
４つの水準のどこ
かに平均値の差
がある
o
２４ｈ
３６ｈ
４８ｈ
効果が有意な場合の多重比較
うえの例のように、効果が統計的に有意な場
合には、水準間のどこかに差があることになる
ので、
 つぎに、どこに差があるかを統計的に検定する
ことにより明らかにする必要がある。
 この検定は、多重比較（multiple comparison)
と呼ばれる（テキスト p.37 上部）。

標準的な分散分析表
テキスト p.36 の表８．２
変動因 平方和 自由度 平均
平方
F値
要因名
SSA
I-1
UA=
UA/UE
SSA /(I-1)
誤差
SSE
N-I
UE =
SSE/(N-I)
計
SST
N-1
ｐ値
p
例２ ミラーリエル錯視実験データ







ミラーリエル錯視実験
(１８年度計量心理学演習
受講者データ）
要因ー斜線分の長さ
要因数ー１
要因の水準ー３
サンプル数ー１２名
従属変数ー錯視量
（単位mm)
１要因反復測定デザイン
ANOVA
15mm
条件
１
２
.
.
.
１２
30mm
条件
45mm
条件
17.8 18.5 19.5
25.8 30.5 28.8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21.0 29.0 31.5
上記ミラーリエル錯視実験の目的
ミラーリエル錯視における斜線分の長さの効
果の有無を検討すること。
 問題
睡眠遮断実験とミラーリエル錯視実験の
違いは？
 ヒント => 両実験での一人の被験者が反応す
る条件（水準）は、それぞれ幾つか？

問題の解答
上記ミラーリエル錯視実験では、睡眠遮断実
験と異なり、同一被験者がすべての条件に反
応させられている。
 このようなデザインは、テキスト p.36 の中程
に書いたように、
反復測定分散分析
（repeated measures ANOVA)
と呼ばれる。

例３ 反応時間実験データ







反応時間実験データ
（１８年度修士２年
金田君データ）
1
要因ー反応形態と刺激の
中立性
要因数ー２
2
要因の水準ー反応形態３、
刺激の中立性２
…
サンプル数ー２５名
従属変数ー反応時間
２要因反復測定デザイン
25
ANOVA
A1
B1
A1
B2
A2
B1
A2
B2
A3
B1
A3
B2
240 218 437 439 485 567
197 195 267 382 366 363
…
…
…
…
…
…
256 301 411 416 407 480
例３の反応時間実験の目的
例３の反応時間実験の目的は、反応時間に
影響を及ぼすと考えられる反応形態と刺激の
中立性の２要因の（主）効果と、両要因の交
互作用（からみの効果）の有無を検討するこ
とである。
 すなわち、検討すべき効果は A, B, A×B
の３種類である。

完全無作為化デザイン
ANOVAの一般的計算手順（１）


テキスト p.36 の 表8.2 の分散分析表を完成す
るには、一般にテキスト p.37 下方の (8.1)式か
ら (8.3) 式の SST, SSA, SSE を計算しなけれ
ばならない。
ただし、SST の計算には、テキスト p.37 の末
尾に記したように、
SST = SSA + SSE
なる関係があることを利用し、(8.6) 式を用いれ
ばよい。
完全無作為化デザイン
ANOVAの一般的計算手順（２）

SST は、p.38 の (8.4) 式からつぎのように計算
する：
I
Ni
Ni
I
SST   yik2  N ( y )2   yik2  K ,
i 1 k 1
I
Ni
i 1 k 1
 y  ( y  y   y
2
ik
i 1 k 1
2
11
2
12
2
1N1
  y ),
2
INI
2
(
y

y



y



y
)
y
11
12
1N1
INI
K

.
N
N
2

完全無作為化デザイン
ANOVAの一般的計算手順（３）

一方、SSAは、p.38 の (8.5) 式からつぎのよう
に計算する。 y1 , y2 ,, yI  は、各水準の総和
である：
I
SSA   Ni ( yi )2  N ( y )2  M  K ,
i 1
y12 y22
yI2
M 

 
,
N1 N2
NI
2
(
y

y



y



y
)
y
1N1
INI
K 
 11 12
.
N
N
2

完全無作為化デザイン
ANOVAの一般的計算手順（４）


最後に、SSEは、(8.6) 式を用いて計算すれ
ばよい。
結局、SST、SSA、及びSSE を求めるには、
テキスト p.38 の下方にある手順に従って、
これらを求めればよい。
完全無作為化デザイン
ANOVA分散分析表の計算例（１）
水準
観測値
標本数
行合計
（各水準の和）
A1
47, 30, 85, 59, 15
5
y1•= 236
A2
79, 30, 44, 26, 57
5
y2•= 236
A3
48, 53, 35, 86, 63
5
y3•= 285
完全無作為化デザイン
ANOVA分散分析表の計算例（２）


うえの計算例（１）で、既にデータの各水準の和を求
めたので、順次 p.38 下方の計算手順に進む。
２．データの総和と修正項は：
y  (47  30  )  (79  30  )  (48  53  ),
 y1  y2  y3  236  236  285  757.
2

2
y
757
573049
K


 38203.27.
N 555
15
完全無作為化デザイン
ANOVA分散分析表の計算例（３）

3.データの各水準の和の二乗の計算と、それを各
水準のサンプル数で割った値、及び M は、
y12 y22
yI2 2362 2362 2852
M

 



,
N1 N2
NI
5
5
5
 (2362  2362  2852 ) / 5,
 (55696 55696 81225) / 5  38523.40.
完全無作為化デザイン
ANOVA分散分析表の計算例（４）

４．個々のデータの二乗値の計算と、その総和は、
I
Ni
2
2
2
2
2
2
y

47

30

85

59

15
 ik
i 1 k 1
 79  30  44  26  57
2
2
2
2
2
 482  532  352  862  632
 44745.00
完全無作為化デザイン
ANOVA分散分析表の計算例（５）

５．SST の計算は、
I
Ni
I
Ni
SST   yik2  N ( y )2   yik2  K ,
i 1 k 1
i 1 k 1
 44745.00  38203.27  6541.73

６．SSAの計算は、
I
SSA   Ni ( yi )2  N ( y )2  M  K ,
i 1
 38523.40  38203.27  320.13
完全無作為化デザイン
ANOVA分散分析表の計算例（６）

７．SSE は、
SSE  SST  SSA  6541.73 320.13  6221.6

８．表８．２の分散分析表の残りの部分は、
I 1  3 1  2, N  I  15  3  12
U A  SSA /(I 1)  320.13 / 2  160.07,
U E  SSE /( N  I )  6221.6 / 12  518.47,
F  U A / U E  160.07 / 518.47  0.31
帰無仮説と統計的検定

一般に CR-I デザインの帰無仮説は、
H0 : 1  2    I

上の例での帰無仮説は、データが斜線分の角度要
因で、３水準が 15°30°45°であるとすれば、
H0: 角度要因の効果はない
あるいは、
H0 : 1  2  3
帰無仮説の検定



上記具体例での帰無仮説の検定には、帰無仮説の
もとでは上記F値が２つの自由度 ν1=I-1=2、 ν2=NI=15-3=12 なる F 分布に従うことを用いて、岩原テ
キスト p.435- のF分布表で、対応する棄却点の値（
５％有意水準では）を読み取ると、3.88 となるので、
F(2, 12)=0.31<3.88 から、上記帰無仮説は（５％水
準で）採択される、と言える。
言い換えれば、上の例からは斜線分の角度要因の
効果はなかった、と言える。
分散分析の実習

岩原テキストの各自の学籍番号に対応する
位置から順に５個づつ合計１５個のデータを
取り出し、斜線分の３水準の錯視量データと
仮定して分散分析を行い、（斜線分の角度）
要因の効果の有無を検定せよ。