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Rossby 波動が関係する成層圏平均東西風の変動例
第５章：Rossby 波動について
1978
冬季
1979
東西平均の温度の時間変化（突然
昇温と呼ばれるー＞８章）
東風
西風
西風
東風
１９７９年２月２６日の東西平均風
北半球冬
１月の平均東西風
この現象に中高緯度の惑星波動（planetary波）が重
要、β効果から引き起こされる線形波動の振る舞い
や性質について述べておく。
中・高緯度帯の大規模運動についての近似方程式を記述しておく。その式を適用した、成層圏での波の鉛直伝播の話
し。さらに、全球にひろがるRossby 波の自由振動などを述べる。
５—１：準地衡風方程式について
いま中・高緯度を見るため sin
- 線形的なRossby波を取り出すための準備 -

をある緯度のまわりに展開（赤道
beta 平面近似と同じやり方）

2cos0
sin )0 2sin 0 
a

a
2sin  2sin 0 2(
(1)
2sin   f  y
これを以下のように表す (2)

第２項の大きさは1000kmのスケールでは 10-11x106m=10-5 1/s

惑星スケールの擾乱について、中・高緯度においては地衡風近似が観測的に成り立つ
から第０近似の式として
 f vg 
(3)


x
(4)
f ug 


y
これは定常の式である —＞ 時間発展的にはどうなるか？ ということで、次の


orderに進む
大規模な運動についての鉛直移流の項については w が小さいとしてその項を落とす。すると第１次近似として次の式にな
る。ここで時間微分、移流項およびβ - 項の u, v については地衡風とし、f 項には次のorderの量を考慮する
(5)




ug  ug
ug  vg
ug  f v1  y vg  

t
x
y
x 1
(6)




vg  ug
vg  vg
vg  f u1  y ug  

t
x
y
y 1

１の添え字 は第１次近似（地衡風からのずれ、この項があると地衡風が少しずつ運動する）の量。運動が水平的なのでそ
れを表すものとして渦度の鉛直成分の方程式を導く。渦度の鉛直成分（地衡風成分のみ）は
   vg   ug
x
y
(7)
(6)のｘ-微分から(5)のｙ-部分を引く。地衡風の水平発散はゼロ（(3), (4) から）であることを考慮すれば、






  ug   vg   f ( u1  v1)  vg  0
t
x
y
x
y
(8)
ここで渦度に地衡風近似を使えば（ (3) , (4) ）
(9)

 
1
2
f
第０近似では水平速度は地衡風で非発散であった。１次のオーダーの u1 , v1 に対応した連続の式は



1 
u1 
v1  (
w0 )  0
x
y
 z
(10)
である。ここでw にはゼロの添え字をつけた。それを考慮すると(8)の準（完全には地衡風の定常状態ではなく時間変化す

るのでこの様な名前がついたのだろう）地衡風の渦度方程式は



1 
  ug   vg   f ( w0 )  vg  0
t
x
y
 z
(11)
ここで密度（圧力）は H のスケール・ハイトで変化している。

次に準地衡風方程式での熱力学の方程式は以下のよう
 
 
 
  ug
  vg
  N 2w0  0
t z
x z
y z
(12)
ここで温度の水平移流の速度の所に地衡風を用いた。 (11)と(12)を一つにまとめると準地衡風近似におけるPotential
Vorticity 方程式が得られる。



 1
f   
 ug
 vg )( 2
(
))   vg  0
t
x
y f
 z N 2 z
(13)
(
(14)
(




f2   

 ug
 vg
)(2 
( 2
))  
0
t
x
y
 z N z
x
この様に、準地衡風近似の方程式は１つの変数のみの時間発展の式で表される。また(3)と(4)から流線関数を導入する。

vg 
(1５)


x
,
ug 


y
β はコリオリ項の南北微分からでたことを思い出すと(14)はさらに

(16)
q  2  f  y 
f2   
(
)
 z N 2 z
とすると（準地衡風近似でのポテンシャル・渦度）

(17)
  u   v  )q  0
g
g
t
x
y
(
Rossbyモードの保存的な時間発展の式になる

この方程式を、この章では惑星波動の鉛直・南北の伝播性を、７章の一部では中層大気の傾圧不安定や順圧不安定の問
題に適用してみよう。
５−２：惑星波（Planetary wave）の鉛直伝播
成層圏大規模擾乱の冬と夏の違い
中・高緯度中層大気の大規模な渦の
様子：図は１０hPaの水平断面図（等
圧面高度）を示す。地球規模の波動
的擾乱（惑星波、Planetary wave 又
はロスビー波、Rossby wave ）をみるこ
とが出来る。下に対流圏高低気圧の
図をのせている。それに比べ、この図
では水平スケールが大きいことにきず
かれるであろう。なぜ？ これが惑星
波の鉛直伝播の問題。
高
低
右に夏の場を示して
おこう、ほぼ丸いパ
ターン
図：７月平均の10hPa の
温度分布 ー＞
500hPa, 1964 Nov 20の高度場
図：１９７９年１
月２６日、
10hPaの
Height図
惑星波動（Planetary wave）鉛直伝播の１つの見方
冬の成層圏では東西方向に一様ではない渦がみられ、夏には東西方向にほ
ぼ一様な風のみである。成層圏平均東西風の緯度−高度断面図では、冬と夏
では東西風の向きが異なる。すなわち夏では東風、冬では西風である。冬と夏
の、東西方向に一様でない大規模擾乱の振舞いの違いについては、Charney
とDrazinによってはじめて示された(JGR, 1961)。
西風
東風
線形の議論：基本流として”一定”の東西風のみが吹いていると仮定する。もし東西風が高さの関数であれば、特別の場
合を除き解析的に解くのは難しい（高さの１次関数のときは合流型超幾何関数で表される）。一般には東西風は高さ及び
南北方向にも変化している。そのときには球面の効果を考慮した準地衡風の方程式が必要であろう。この問題については
Matusno(1970) を参照 −＞ あとで結果を示す
ということで、一定の東西風 u0 が吹いているときの線形準地衡風の方程式は以下のよう、また、ここでN2は一定と仮定、
(18)



f 2  0 


f2   

(
)  f  y)  0
 u0 )(2 
( 2 ))     0 <- (  ug  vg )(2 
t
x
y
0 z N 2 z
t
x
 z N z
x
(
-
東西、南北に波の仮定をおこない、東西に位相速度 c で動くとし、また鉛直方向には密度の効果を考慮して流線関数を

以下の様に仮定する。
(19)
 (x, y, z, t)   (z)exp(i(kx  ly  kct)  z / 2H)
この様に仮定すると鉛直の構造を決める方程式は以下の様になる。
(20)
d 2
 m2   0
2
dz
ここで
(21)
m2 

N 2  
1
 (k 2  l 2 )
2 
2
f
u

c
4H
 0

である。m2 が正ならば波として鉛直に伝播が可能である。m2 が負ならば鉛直方向に指数

関数の形になり伝播は不可能。
(21)をみてきづくことは k , l が大きいと負になることである。水平のスケールが小さい（あま
り小さくなると準地衡風の近似が使えなくなる、１０００ｋｍくらいの水平スケールまではいいよ
う）と鉛直方向に伝播しない。対流圏中・高緯度の大規模擾乱の方がスケールが小さい。こ
れは数千ｋｍの擾乱が自励的に対流圏に生成することと矛盾しないだろう。伝播でエネル
ギーが逃げたら不安定になりにくいであろうから。
周期
定常惑星波の生成として思いつくのは山岳による強制であろう。このとき位相速度はゼロで
ある（海陸の熱の違いによる時も同様）。このとき(21)は
(22)
2
N
m  2
f
2

2
2 
1

 (k  l )



2
u
 0

4H
この式から東風のときm2 は負となり鉛直に伝播不可。これが夏の成層圏において定常惑
星波がほとんどない理由である。また上式から西風があまり強くても伝わらない。この臨界
速度をRossby critical velocityと呼ぶ。式で表すと
(23)
波数

Uc 
k
2
 l
2

2
f
1
2
2
N 4H
陰の部分が鉛直伝播可
ここで β = 1.6 x 10 -11 s-1 m-1 , Lx = 2π / k = 28000 km , Ly = 2 π / l =10000km , f = 10 -4 s-1, N = 2x10-2 ,
H = 7 km と選ぶと Uc = 28 ms-1 、南北巾１００００ｋｍの南北にstanding modeならば Uc = 58ms-1と大きい。
これまでは β-平面の一定東西風での議論であった。球面上の準地衡風近似の方程式を使った鉛直、南北伝播の議論
をみておこう（cf. Matsuno, 1970）。
球面上で東西一様な東西風（南北と鉛直の関数とする）があるときの線形の準地衡風方程式は（Adrews et al., 1987,
Middle Atmosphere Dynamicsから）：

u 
1 q

)q'
v' 0
f  2sin 
t acos 
a 
1

1  '
f 2 cos
f 2a2 'z 
v'
' q' 2  2 
( 2 ' ) 
( 2 )z 
facos 
fa cos  cos f
 N 
(u cos)  a f 2
q
 2cos  
  ( 2 uz )z ': geopotentialdisturbance

 acos   N
(
有効的なβ
定常な（c=0）惑星波動として（上式で時間微分の項をおと
す）
'  e z / 2 H Re (, z)eis
のような形を仮定する（東西方向には波形、鉛直南北
の波の構造を決めたい）
N2が一定のときは以下の式になる、
f2
cos
f2
( 2  )  2 zz  n2 s   0
2
a cos f
N
n : 屈折率と呼ばれる
q
s2
f2
2
ns
 2

2
u =0は特異点
au a cos  4 N 2 H 2
計算に使われた東西風緯度-高度図
有効βの分布図
振幅
位相
q

波数１
緯度
波数0に対する屈
折率の二乗
波数３
定常な惑星波動
の臨界層
n2 0 
q
f2
s2
2


n

s
au
4N 2 H 2
a 2 cos2 
観測で見積もられ、計算に使われた波に関しての下部境界
(500hPa)条件、モデル下端で擾乱を強制する
水平分布の計算例（Matsuno,1970, J. Atmos. Sci.）：500hPaでの高度場偏差（これを境界条件として与える、100m間隔）ー
＞ 30kmでの高度分布（波数＝１－３を足してある）、アリューシャン高気圧が見える。右下は観測による高度場。200m間
隔で1967年の1月の状況、
境界条件としての500hPa高度場偏差、
60Nでの波数１成分の振幅と位相
左を強制することで、図のような線形波の
response
観測による、1967年1月
波数１と２の鉛直、南北の伝播性、１の方が上層まで伝播
している。
波の振幅
位相
左の振幅・位相に対応した波数１惑星波動のエ
ネルギーフラックス、上方および赤道方向に波が
伝わっている。
(v' ',
w' ')

対応：
異なる
表現
準地衡風近似で、定常惑星波動の場合は、
v' '  Uu'v'

w' '  Uf
R
v'T'
HN2
近年、東風運動量的な流れである Eliassen-Palm
フラックスによる表現が多い、惑星波動の場合、
(u'v',
f
R
v'T' /N 2 )
H
平均東西風、左が南半球で右が北半球、上
図が１月で下図が７月
波数１、上が波の振幅(decameters)、下が波の位相。
左７月（南半球）、右が１月（北半球）
西風
振幅
西風
東風
位相
30hPa以上は Nimbus 5（ Jan. 1973からDec. 1974）, 6（ Jul. 1975からJun. 1978） 衛星データ
近年の衛星観測例：Garcia et al.,
JAS, 2005
赤道中間圏（西風）ま
で penetration
SABERで得られた2002 June-July（夏）
の平均温度、右の惑星波動の解析とは
季節が異なる
14K
120km
中間圏界面
0.01mb
1mb
成層圏界面
14km
1/25-2/24, 2002：定常惑星波動（波数＝１）
に伴う温度の振幅と位相
５−３：球面上の自由振動について
前節は惑星波動の強制問題（対流圏で生成された波が鉛直に伝播する問題）をあつかった。この節では等温静止大気
の自由振動のはなし
地球上の自由振動なので、地表面で鉛直流ゼロが自然な選択であろう
等価深さ（鉛直構造）が決まる（どんな構造になるか？）
高度座標での境界条件は
w*  0
at
z*  0
d
w* 
z  0
dt *
のように書かれるであろう。
d
d
gz* 
0
dt
dt
Geopotentialで書き換えると
全微分
d
は log-p 座標で線形的に（平均の風がないとする）
dt
d 



w

dt
t
z


 w
 0
t
z
であろうから、

がlog-pでの下部境界条件となる。等温静止大気では
d
RT

dz
H

なので、上の式は

RT
 w
0
H
t
一方、熱力学の式は log-p 座標では
だったので、２つの式から
w

を消すと、

 
(
)  N 2w  0
t z
 
(
)

RT

t

z

0
2
t
N
H
N2 
等温大気のとき
gR
であるので、上の式を変形して、
cp H
 
   t ( z ) RT
gR
t
RT / g
 0
cpH

t
となる。上式の時間微分を落とすと、




t
(
)
z
1
cpH
 0
R

についての境界条件としては、
  R   0
z
cpH
これが Geopotential に関する自由振動にたいする下部境界条件である

この境界条件から自由振動の鉛直方向の解は変数分離形
  (,,t)(z)
として、上の境界条件の式に対応するものとして大気の中も
(z)  exp(
R
z)
cpH

のような形をもつであろう。これはあきらかに外部波である（鉛直には伝播しない形）。鉛直方向の方程式は１章の赤道波と
同様に
2 
1 
N2




2
z
だから、計算すると
ここで、
N2 
gR
を用いて、
cp H
H z
gh
R 2
1 R
N2
(
) 

cp H
H cp H
gh
R
1
1


cp H H
h
書き直すと、
h
cp
RT
H  H  
cv
g
gh
 RT
これが自由振動の等価深さである。浅水波としたときの速度
は音速に等しい。等価深さとしての
h は おおよ

そ１０kmとなる。スケールハイトと比較して、 （比熱比）だけ、大きくなる。
その時の変数分離した形で地球の回転を考慮した球面上の式を書くと，

u

 2sin  v  
t
acos
v

 2sin  u  
t
a

1 u
1

 gh(

(cos v))  0
t
acos  acos 
h は自由振動の時の等価深さである．
この式をいつものように（球だから経度をつかう）

exp(is  2it)
のように分離すると，南北の構造を決めるLaplaceの潮汐方程式がでてくる。

として，
  sin 
s ( 2  2 )
  (1 2 ) 
1
s2 
(2a)2




0

2
2
2
2 
 
 ( 2  2 ) 1 2 
gh
(   )      


これが長周期波動に関する球面上の式である。
２章で示した式との違いは、東西波数sの部分と１項の
2
が異なる。
等価深さ
振動数
s=1（東西波数１）の、等価深
さ h（横軸） と振動数との関係
図。
周期
東進慣性重力波
5日
図の(a), (b)はh>0のときで、
(c),(d)はh<0を示す。左図は
東に伝わる波で右図は西に
伝わる波である。東に伝わる
波はKelvin波とか慣性重力波
と書いてある。西に伝わる波
は惑星波とかRossby-重力波
とか慣性重力波と書いてある。
図(b)の○印のドット入りは
あとの例にある自由振動の５
日wave（惑星波のところ）、
h=10kmに対応している。
南北に高次のRossby波に
対応しては、波の周期がゆっ
くりになっている。Rossby波の
分散式で
惑星波

c 
k 2  l2 
2
f
1
(m2 
)
2
N
4H 2
南北波数が大きくなれば、
ｃ は小さくなり、周期は
ゆっくりなるであろう。
⊗は１日潮汐の第１モードを示す（１３章）
５−４：現実大気中でのRossby波の自由振動
前節でみたように、自由振動は外部波の１つで、なめらか
な固体境界を満たす振動である．境界条件を考慮すると、
R
(z)  exp( の形なので、鉛直方向には指数関数
z)
的に大きくなる。 cpH
赤道対称
Hirooka(1992, Tenki)：s=1, 周期=5日の成層圏 1hPa で
の自由Rossby波、西に伝播しているようす。
Maddenにより解析された周期５日の自由Rossby波、
s=1で赤道対称な基本モード（海面気圧高度場）の
水平構造、右は鉛直分布。破線は理論的な鉛直構
造、それよりゆっくり振幅が増大している。
この５日波が南極大陸で励起され
ているという話しがある、Cheong
and Kimura(1997, JAS)：500mbで、
軸が南北に傾いている（自由振動
の解では南北に位相軸は傾かな
い）。また、Miyoshi and
Hirooka(1999, JAS）では、湿潤過
程のheatingの重要性を指摘してい
る。
衛星観測結果：5day波の全球鉛直構造
equinox seasonの5day波
平均東西風、boldは高度偏差最大
Lawrence and Randel, 1996, JGR
1977 Oct. 温度
西向き
約81kmでの温度スペクトルの緯度分布
高度の振幅と位相
位相
〜100km
近年の衛星観測結果か
ら：5day wave
SABER data, 2002年
の春での5 day 赤道
対称Rossby normal
modeの温度分布
Garcia, 2005, JAS
Sonnermann et al., JGR 2008
水蒸気変動に見られる準５日波
（normal modeらしい）
マイクロ波をもちいた観測とLIMAモ
デルとの比較
74km
2003年May/Juneでの観測された水蒸気変動、
ALOMAR(69N, 16E), Norway, マイクロ波
5/1
2003
7/1
モデルの水蒸気変動の時間緯度断面図
極中間圏雲(Polar Mesospheric Cloud)変動
に見られる準５日波
CIPS, 中間圏の氷エアロのミーspacecraft上の、雲imageと
粒子サイズ測器
Merkel et al., JASTP 2009
Cloud Imaging and Particle Size Instrument on
the Aeronomy of Ice in the Mesosphere
spacecraft
2007年の夏、それぞれの緯度における、solstice期
のzonal dayly頻度変化、5日程度の変動
経度180度での、雲アルベードの変化の
時間変動
PMCアルベードの波数ー振動数スペクト
ル解析、正の振動数が、西向き伝播をし
めす、波数 s=1で５日あたりに強いシグナ
ルが見える
１０日波について
データ解析による、10day wave（自由振動）の構造、1981,
Apr.の1hPa高度偏差、50m間隔
東西波数１で南北に基本的な３つのモードの理
論的な構造分布図、10日波＝図の(1,2)モード
は反対称モードの最も簡単な南北構造をもつ。
振幅の時間的な変化の様子
赤道角運動量（Equatorial Atmospheric Angular
Momentum, EAAM）に現れる１０日波
Feldstein, JAS, 2006, 565-581
風の寄与
質量トルク
EAAMの位相（NCEP/NCAR
冬期dataから）
EAAMのtendencyに線形回帰した地表面気
圧ー＞赤道に関して反対称に近い構造
EAAM vectorの約10-day の変動にs=1 反対称Rossby
normal modeが対応しているらしい
グリニッジにおける赤道角運動量の位相
ー＞１０日程度の振動
＜ー地表面気圧の変化によるマスバランスの違いで変
動をもたらしているよう。
観測で求められた、16day wave自由振動、赤道に関して
対称モードである。Hirooka and Hirota, 1985, J. Atmos.
Sci. 冬半球の方にシグナルが見える（非対称的）。下は
４月の振幅変動（対称的）
線形計算
に用いら
れた冬の
基本風
90km
u(y,z)

赤道対称的
1980年
計算で求められた（Salby, 1981, J. Atmos. Sci.）１６日波
の緯度-高度図、冬の極に大きな振幅をもっていて、構
造がいびつになっている。
補足：対流圏の赤道Rossby波
Dima, Wallace, and Kraucunas, 2005, Dima and
Wallace, 2007, JAS：
東西に周期的な、定常のforcing
年平均の降水量（影、mm/day）と150hPaの高度（線）および
水平風ー＞赤道Rossby波的構造がみえる
n=1赤道Rossby波的
Kelvin波的
10S-5N平均の、eddy成分の高度（色）と東西、鉛直速度（矢、
10m/sと1cm/s）、ERA-40 data
定常応答の解、Matsuno, 1966, JMSJ