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卒論中間発表 2001/12/21
赤道の波動力学の基礎
北海道大学理学部 地球科学科 4年
山田 由貴子
1.はじめに
•
•
地球流体の基本的な波動を理解したい
赤道波動は赤道域の流体現象を扱う上で必要
発表
• 図による赤道波動の紹介
- 赤道域における波のふるまい
- 他の領域の波動との関係
手法
• Matsuno(1966)に基づき、方程式を解析的に扱う
• 赤道波の固有モードを図示する
2.モデル
浅水方程式系に対して
• 線形化、赤道β面近似
• 重力波の速度 gH 、赤道ロスビー変形半
径 c を用いたスケーリング
u
yv
0
t
x
v
yu
0
t
y
u
v
0
t
x
y
(1)
3.分散関係式の導出
(u, v, ) のそれぞれに u( x, y, t ) u( y)eit ikx
を代入し、
v のみの式を求める。
d 2v 2
k
2
2
k
y
v 0
dy2
(v, ) , (v, u) の関係式は
1
yv k
2
i( k )
1
kyv
i( 2 k 2 )
u
2
v 0 ( y )
境界条件
を定めると、分散関係式は、
dv
dy
dv
dy
3 (k 2 2n 1) k 0 (n 0,1,2,)
(2)
(3)
(4)
となり、解は、
1
y2
2
v( y) Ce
Hn ( y)
と与えられる。 H n (y) は n 次のエルミート多項式である。
4.分散関係
分散関係式 (4) は、 の 3 次方程式である。この解はカルダ
ノの公式から求まる。
近似的に解くと、
• k
• k
n1,n2 k 2 2n 1
n3 k (k 2 2n 1)
この解の形はそれぞれ中緯度の慣性重力波、ロスビー波
の形に似ている。
参照 : 中緯度における分散関係
慣性重力波
ロスビー波
f02 c2 (k 2 l 2 )
k (k 2 l 2 )
5.分散関係 – 特殊な場合
• n 0 の波
分散関係式は、( k )( 2 k 2 1) 0であるが、
3 つの解のうち、 (2) 式より、 k の解はない。
解は 0 1 k 2 k 22 1
0 2 k 2 k 22 1
• n 1 の波
(1)式で v 0 とおいた時の分散関係式 ( k )( k ) 0
より、 u , は
1
y
u Ce
u Ce
2
2
1
y2
2
( k )
( k )
k の解は境界条件 (3)式を満たさない。
解は
1 k
これは(4)式で、n 1 とした時に相当する。
6.分散関係の図
•
混合ロスビー重力波(点線)
n 0 の西進する波
•
•
•
n=3
n=2
k 1/
2
慣性重力波の性質
n=1
k 1/
2
ロスビー波の性質
n=0
n=-1
ケルビン波
他の東進する慣性重力波と異なり、
最小の振動数は 0
1/√2
7. u, v, の漸化式
(2)式にエルミート多項式の昇降関係式
dHn ( y) dy 2nHn1 ( y)
Hn1 ( y) 2 yHn ( y) 2nHn1 ( y)
2
を代入すると,u, v, の漸化式が求まる.n exp(1 2 y )Hn ( y)
とする。
• n 1 v
i(nl2 k 2 )n
u 1 2 (nl k )n1 n(nl k )n1
1
2
(
k
)
n
(
k
)
nl
nl
n 1
nl
n1
• n 0 v
• n 1
2i(nl k )0
1
u
1
0l
0
v
u 0
1 0
H n (y) の形
H 0 ( y) 1
H1 ( y) 2 y
H 2 ( y) 4 y 2 2
8.東向き慣性重力波
n 1
n2
風の収束発散によって、波は伝播する。
9.西向き慣性重力波
n 1
n2
10.ロスビー波
n 1
n2
地衡流平衡が成り立っている。
渦度の変化によって波は伝播する。
11. n 0 東向き慣性重力波
12. n 0 混合ロスビー重力波
南北方向では慣性重力波の性質、東西方向の波の
伝播のメカニズムはロスビー波的である。
13.n 1 ケルビン波
境界に補足される波. ここでは,赤道が境界の役割を
果たしている.東西に重力波的性質を持っている.
14. まとめ
赤道モード波の作図を行った
•
n 1 3 つの解は、慣性重力波、ロスビー波と対応。
• n 0 分散関係式の近似解 は適用できない。解は2 つ求ま
り、東進する慣性重力波、混合ロスビー重力波に対応。
• n 1 赤道ケルビン波と呼ばれる波が得られる。
(v 0)
謝辞
作図には、地球流体電脳倶楽部 dcl-5.2 を用いた。
参考文献
Matsuno T.,1966: Quiasi-Geostrophic Motion in the Equatonal Area ,J.Met.Soc.Japan,44,25-43.
小倉義光, 1978:気象力学通論,東京大学出版会
A. 重力波
南北に境界をおく。(水路)
B. エルミート多項式
H2(y)
H0(y)
H1(y)
添え字は南北の節の数に対応。