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第７章：中層大気の不安定擾乱について
-不安な雲のうかび出て
ふたたび明るく晴れるのは-
一般流との相互作用から擾乱が生成するのであろうか
東向き擾乱 波数1、４日波
2日波
４日波
65km PV、２日
波、西向き
慣性不安定
Kelvin-Helmholz不安定
KH不安定で鉛直流が強いよう、
xは圏界面
慣性不安定によるシグナルのよう
７ー１：中層大気中の傾圧不安定で起こっているらしい例
1993年1月
（東西波数３の）２日波、南半球夏の中間圏界面付近の擾乱の
よう、Plumb et al. (1987, JAS)
１月
振動数
0.46hPa, 20S
高度
波数
アデレード（35S, 138E）でのレーダー観測（１点観
測）で、東方向、北方向の風の成分
西向き
伝播
Wu et al., 1996, J. Atmos. Sci. による、MLS
温度衛星データからの、s=3, 2-day wave、
西方伝播である。
2.15mｂ
温度
緯
度
0.46mｂ
時間
0.046mｂ
2日波シグナルの各高度での時間-緯度断面図 Wu et al.,
1996, J. Atmos. Sci. 92年12月-93年3月（南半球夏）、夏半
球で卓越し赤道域まで広がっている
温度振幅の緯度-高度断面図、DAY 502は１月終わり
Plumb(1983) はこの擾乱を傾圧不安定で説明：
境界条件：
大気擾乱の生成メカニズムの１つの傾圧不安定を線形不
安定論で考える。
南北には壁をおく事にする。剛体壁で南北風がないとす
れば擾乱について、
'
 0 hence '  0 at y  0,L
x
方程式は準地衡風方程式を用い、基本の場（高さと緯度の
関数）が擾乱を成長させるか？を議論してみる。
ここで
(



 ug
 vg
)q 0
t
x
y
の式をもちいる。ここで、
f 2  0 
q     f  y 
(
)
0 z N2 z
2
鉛直方向は、地表ではw=0にしよう。ただしPVの式はw
を含んでいないので、熱力学の式を変形する。
熱力学の式は
  p
 p
 p
( ( ))ug
( )  vg
( ) w0N 2(z)  0
t z 0
x z 0
y z 0
であった。これの線形での流線関数表現では、
これまでおこなってきたように、東西平均量（基本の場）と
それからのずれを考える。
 
 
 '  
( ( ))  u
( )
()  w0 fN2 (z)  0
t z
x z
x y z
擾乱についての線形方程式は以下のようになる。
この式でw=0とおいて、
(



u
)q'  v'
q 0
t
x
y
ここで、


f 2  0 
2
q  
(  
(
))
y
y
0 z N 2 z
 2u
f 2  0 u


(
)
y2 0 z N 2 z
f 2  0  '
2
q'   ' 
(
)
0 z N 2 z
 
 
 ' 
( (' ))  u
(' ) 
(u )  0
t z
x z
x z
である。 無限遠では
おこう。
が有限というような境界条件を
'
Ψ’を上の境界条件のもとに解くこと（例えば固有値問題
にする）になる。
５章の初めの議論では、下端での強制問題であった。
地球流体力学の見直し：準地衡風系における傾圧、順圧不安定の必要条件を示しておく。
線形的な波動擾乱について
 '  Re(y,z)expik(x  ct)
の形を仮定すれば、準地衡風方程式は
 2 
1 
  
(u  c)  2  k2  
(0
) q   0
0 z
z  y
y
ただし
f2
  である。下端の境界条件は地面があると、
N2

(u  c)
 u

  0 at z  0
z z
一方、上端の無限遠では
が有限の境界条件である。
南北には、壁的なものがあるとして、
がゼロとする。

 2
1 

1

2

k


(

)

q0
0
y 2
0 z
z
(u  c) y
上式に * をかける（擾乱の２次の量をつくる）

 2 2  * 

1 
2
0  2  k   (0 )  0
q  0
z
z
(u  c) y
y

*

部分積分をして変形すると

 *


2
( )  0 *  0k 2 
y y
y y


 
1 
2
 (*0 )  0 *  0
q  0
z
z
z z
(u c) y
0
鉛直と南北に積分し（ 式でdydzを省いてある ）、境界条件を使うと
2
2

 

 
 * 
1 
2
2



k



(

)


q 2


0
0
0
 


z 
z
z
(u  c) y
y

2 
  2

 

1 
2
2
2
 k  
   dy*0
  0
q
 0 

z 
z z  0
(u  c) y
y

下部境界条件

1
u

 at z  0
z
(u  c) z を代入して
  2 2 2  2 


1 u
1 
2
*



k




dy





q



0
0
0
 y

z 
(u  c) z z 0  (u  c) y

  2 2 2  2 


1 u
1 
*
2




k





dy




q

0
0
0
 y

z 
(u  c) z z 0  (u  c) y

となる。不安定の必要条件として（不安定なら c が復素になるから、そのときみたすべき式は）、
左辺は実だから上式の虚部は
 
0  2
u 0  2
ci 
q
2 

y
u

c
z u  c 2

これが不安定の必要条件である。不安定のとき

dy 0

z0
ci
はnot
zero だから［ ］内がゼロにならないといけない。
z＝０での境界条件が関係しないとき（内部jetの不安定と呼ばれる、中層大気の不安定）、基本場のPVの南北微分が符
号を変えることが、不安定の必要条件になっている。
気象学で学んだEadyの傾圧不安定の問題では、上端に壁があり、上端と地面が関与して不安定となっている（流体中で
は不安定の必要条件をみたしていない）。
Plumb(1983)による固有値問題での説明

 2u f 2  0 u
q   2 
(
)
y
y
0 z N 2 z
東西風の鉛直分布と
を示す。Potential Vorticity 勾配が符号を変える
（不安定の必要条件はみたしている）。
固有関数として、下図のような鉛直構造の波が不安定に
なっている。波長9400ｋｍ（波数３程度）、南北には5000ｋｍ
のsinモードを仮定してある。Geopotential振幅は80kmあた
りが最大になっている。熱フラックスの大きいところは、PV
の南北微分が符号を変えているところに対応している（ｃ
図）。
位相
Height場
温度
夏半球の中層大気の風分布とPV勾配
観測の別例：
Harris and Vincent, 1993, JGRでは赤道域 2N,157W, Chrismas島で２日波を解析している。かれらによると、このシグナル
は東西波数 s＝３のRossby-重力波と言っている。MFレーダーによる観測
時
間
南北風の２日あたりにシグナル
２日
最近の衛星観測から： Garcia et al., 2005, JAS
70km
2002, 1-2月, 40Sで夏、k=3, 2日のところに（西向きに
対応）温度シグナル、赤線はc=70m/s
北半球（40N）夏6-7月、2002年のスペ
クトル
鉛直緯度の温度構造、夏6-7月、2002
GCMの中の２日波
温度
UGAMP GCM (T21) の７月１日の東西平均風、Norton
and Thuburn, 1996, G. R. L.
約65km
（3000K),
85km(7000K
)で、波数３
の構造が見
える
南北風
波数３の擾乱の緯度-高度断面図、RG波のように、赤道で
南北風が大きい（b）、夏半球で振幅が大きい
北半球
２日波の赤道v振幅の時間変化、実線が波数３でdotted
が４
７—２ 慣性不安定に関わって
Hayashi et al., 1998, JGRから
経度
CLAESで観測された、4S-4Nでの波数1-6
成分の温度偏差、期間は冬期の
1992/12/14-20で、boxの部分にpancake構
造がみられる
緯度
左図に対応した、経度225E付近の温度
偏差の緯度高度図、鉛直方向にfilter
がかけてあり、見えやすいようにしてあ
る
赤道域の50kmあたりに鉛直波長10km程度のパンケーキ構造がみえる。これは、慣性不安定でつくら
れているようである。
中層大気の慣性不安定については、次回に詳
しい説明があるであろう。不安定の条件を雑に
述べると ー＞
u dU(y)
v
(
 f )v  0
 fu  0
t
dy
t
 2u dU
v  2u
dU
 f )  2  f ( f  )u  0
2 (
t
dy
t t
dy
dU
when f ( f  )  0, u may be unstable
dy
Limpasuvan et al., JAS, 2000
ここでの話しは：慣性不安定でtriggerされてい
るらしい、２日波について（力学モデルから）
t=0から波数１のforcingを与える
初期場
図のboldに挟まれた所が慣性不安定の条件
をみたす領域
dU
f(f 
20-30日
dy
) 0
25-35日


影はdQ/dy<0の領域（stratopauseあたりは
順圧的、夏半球の65km以高は傾圧性）、
boldは2日波の臨界ライン
U c 、臨界ラインで波と平均場が相互
0
作用を起こし得る（Eliassen-Palmの定理の
破れ）
２日波の南北風、波数４（左）、３（右）
慣性不安定でtriggerされているらしい２日波について（続）
0.3hPa
0.3hPa
南北風のスペクトル
波数４の時間変動、影はdQ/dy<0
U c 0
東風加速

初期の頃のEP-fluxの様子、慣性不安定の条件の領域
でEP-flux（主に
）が存在している
u'v'
波数４のEP-fluxとdivergence, 影はdQ/dy<0, bold
は波数４、２日波の臨界ライン
７−３：４日波について
Nimbus 4 and 5 のradianceから求めた s=1 波のシグ
ナル、上部成層圏南半球の冬(1971-1972) で東方伝
播（E）の４日あたりのところにシグナルが見える（７０S
あたり）、Venne and Stanford, J. Atmos. Sci., 1982
西方伝播
東方伝播
4日波の鉛直位相
（△印）、位相が
鉛直にたっている
ようである。
（stationary惑星
波のような鉛直伝
播性ではないよ
う）
1979年8月（南半球の冬）の平均東西風とPotential
Vorticity の緯度勾配、Hartmann, 1983, J. Atmos. Sci.
高度45kmあたりの70S近傍にpotential vorticity
gradientの負の領域がみえる。
順圧線形不安定で擾乱生成と言われているよう
解いてある
球面上の線形順圧渦度方程式で解かれてある（南北構
造のみ）
 '
 ' v' Z


0
t
 a 
 ˆ ( ) exp(i(m  t ))
s=1 固有関数の南北分布、70度あたりに振幅のピーク（実
線）がある。固有値として、周期が３日で成長率が５日の値
をもつ。このモードが観測された４日波に比較的近いと思
われる。Hartmann, 1983, J. Atmos. Sci.
 1 
ˆ m2ˆ  m Z
(m   )
(cos )  2  
ˆ  0
cos





cos

cos




  u (a cos ) 1  Ua1 sec h2(  0 ) B 1 
Z

 2
 2(   ) cos  3 sin 
 cos


 2
線形の固有値問題で使われた風（上）と渦度勾配（下）
U=180, φ0=60として、Bを変えたときの分布
振幅
衛星データからの4日波解析例（Lawrence and Randel, 1996, JGR）
高度場の振幅
影は負のpotential
vorticity gradient の領
域
u'v'

４日波
運動量輸送は主
に南北的、
平均東西風の様子、４日波の高度振幅、南北運動量フ
ラックス、EP-flux と発散、1977年9月
Manney and Randel, 1993, JAS による順圧傾圧
不安定の線形計算
基本場の様子
温度構造
U (y,z)
西風運動量、赤道向き
30
50
70
+が赤道方向に熱を
輸送、EPflux的には
下向き
波数１の不安定モード（周期４日、成長
率４日）
補足：Garcia et., 2005, JASの４日波
衛星データの解析
70km
東進４日波に対応した温度
波の振幅と位相の緯度高度
図、2004年1-2月（北半球冬
の解析）
東向き
波数１のスペクトル、東進4.3日に
ピーク、2004年1-2月
GCM中の４日波の様子
Watanabe et al., 2009, JGR
波数１、3日のところにシグナル、８月
８月（南半球の冬）の東西風、dQ/dy、４日
波の振幅（太い線）
４日波の振幅時間変化、特に８月に
大きな振幅
GCM中の４日波（続）
４日波の空間パターン、線はheight場、0.1hPa
重力波（左）、および惑星波動の加速（右）
東風加速
4日波による加速
７−４：成層圏不安定波らしきモノの別例
Nimbus 4 and 5 のradianceから求めた、波数 s =
2 波のシグナル。南半球の冬で東方伝播の12日
あたりのところにシグナルが見える（5０Sあたりで、 100m/s
前例と比較して中緯度より）。Venne and
Stanford, J. Atmos. Sci., 1982
中緯度モードを求めるための基本風
Hartmannから、U=180, φ 0 =60, Bを変化させ
たときの東西風、PV-gradient
振幅
東方伝播
u'v'
固有関数、U=180, φ 0 =45, B=8の場合の結果、周期は１７日

となっている。50Sあたりに振幅のピーク
1983南半球春の例：NMCデータの解析
平均東西風(2mb, 1983)の冬から春へ
の時間変化
波数２で東に伝播、周期が１０日程度の擾乱が
見える、Shiotani et al., Q. J. R. Met. Soc., 1990。
波数２の東方伝播
H
H
Height場の時間変化、7-17, Oct.1983, 10mb
波数２の波の振幅の緯度
-高度断面図、20 Oct.
1983, 不安定波かもしれ
ない？
dQ/dy, 但し
83/9/21-30の期間
７−５：Kelvin-Helmholtz不安定
式を変形すると、
1 dU
(N 2  ( )2 )
2


d
dG 1 d U
4 dz G  0
(U  c) 
G  k 2 (U  c)G 

2
dz 
dz  2 dz
(U  c)
KH不安定の積分定理
この節では、重力波と関係すると思われるKelvinHelmholtz不安定の線形的考え方、および観測例をのべ
ておく。図のような風の鉛直シアーが強いときに不安定
の条件を満たすことで擾乱が生成されると考えられてい
る。
のようになる。

複素共役のG*を上式にかけて、鉛直方向に積分、さ
らに部分積分で境界条件としてw=0を用いれば、
2
dG
1 d 2U 2
 dz (U  c) dz   dz 2 dz2 G  k 2  dz (U  c)G 2
1 dU
(N 2  ( )2 )
4 dz (U  c*)G 2  0
  dz
2
U c
Lindzen, JGR, 1974から
のようになる。
積分定理からKH不安定の必要条件を導いておこう。ブ
シネスク流体での水平鉛直の２次元線形方程式は、鉛
直流にたいして、

虚数の部分をとりだすと、


1 dU
(N 2  ( )2 ) 
 dG 2 2
2
4 dz G 2  0
ici dz
 k  dzG   dz

2
dz
U

c






d 2U
2


2
d w
N
 
 dz
 k 2 w  0
2
2
dz
(U  c)
(U  c)





2
ここで、Uは高さ依存の基本風、cは複素の位相速度、kは水
平波数である。

Howard, 1961, JFMに従ってこの式を変形する
として、
d 
dG
(U  c)  (....)G  0 の形に変形する

dz 
dz 

不安定ならば、ci > 0であるので、
w  (U c) G
1/2

（不安定な擾乱を仮定して、cは複素数として、U-c は０ではな
い）
Ri 
N2
 1/ 4
dU 2
(
)
dz
でないと、上式の〔 〕内が０にならない。これがKH

不安定の必要条件である。
K-H不安定によって生成されたらしい重力波の観測（中緯度対流圏）
Ferretti et al. (1988, Met. Atmos. Phys.)
00GMT/11/Apr, 1979, Aprilの地表、850mb, 300mbの大
きな場の様子
0235, 11/Apr, 1979でのレーダーエコー
地表圧力偏差パターン（タイプB）の時間変化、波的に
みえる（00/11/Apr、１時間ごと）
２００ｋｍ水平スケールで３時間くらいの周期の波とされ
ている。
固有値問題も解いてある
ミズーリ
u0 (z)

位相速度


w
 U )  w  
t
x
ik(U  c)
whenU  c,    large
(
成長率

基本場の状態（10ｋｍくらいの高度でRiの小さいと
ころあり）、0211 11/Apr
固有解の鉛直構造、鉛直変位（左）と鉛直速度（右）
の振幅（上）と位相（下）
K-H不安定で起きているらしい擾乱の観測例
赤道レーダ( 0.2S, 100.32E)で観測されたK-H不安定、
Yamamoto et. al., GRL, 2003, 熱帯圏界面、2001年11月。不安
定の条件は満たしているらしい。上から鉛直流、東西、shear,
Ri、せまい範囲でシグナルが強い、ゆっくり時間的にゆれてい
る＜ーケルビン波の存在のよう、Xは圏界面
東西風
w
シアー
圏界面
Ri
Nov.2001の平均
11月