Transcript 第11回・モンテカルロ法

統計解析
第１１回
本日
・乱数を検証する
・モンテカルロ法でπを求める
乱数と数数
数 整数，実数，有理数，無理数
円周率，・・・
･･･,-3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, ･･･
0.001, 0.1, 0.2, 1.0, 100.0,･･･
1.41421356･･･
3.141592653589793･･･
分かるかな？
２，４，６，□，１０，１２，･･･
1, 10, 100, 1000, □, 100000, ･･･
１，□，４，６，１０，１２，･･･
これらはある規則で並んでいる
乱数とは
乱数：なんの脈絡もない数の並び
規則性なし，
周期性なし
但し，整数，実数，等であっても良い
ルーレットで出る数字の並び
サイコロを振って出る目の数の並び
など・・
乱数の発生法
・サイコロ，ルーレット等を利用
・プログラム
・エクセルなどを使用
RAND関数を用いて
=RAND()
と指定する
実は・・・
乱数：完全な乱数は得られていない？
コンピュータ，エクセルなど
計算で求められている
非常に周期の長い数の並び
疑似乱数
実際の乱数
参考資料【１００個の乱数（０から１までの実数）】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0.397
0.857
0.475
0.046
0.046
0.626
0.054
0.640
0.480
0.856
2
0.069
0.176
0.446
0.243
0.716
0.025
0.528
0.527
0.379
0.932
3
0.886
0.510
0.203
0.093
0.015
0.745
0.339
0.171
0.609
0.391
4
0.145
0.224
0.840
0.464
0.508
0.307
0.731
0.960
0.869
0.959
5
0.783
0.739
0.060
0.239
0.014
0.158
0.141
0.609
0.534
0.737
6
0.847
0.522
0.182
0.616
0.885
0.948
0.288
0.173
0.105
0.069
7
0.921
0.755
0.075
0.896
0.786
0.488
0.179
0.232
0.809
0.112
8
0.824
0.353
0.457
0.937
0.188
0.466
0.420
0.530
0.667
0.506
9
0.107
0.533
0.987
0.904
0.184
0.796
0.332
0.676
0.445
0.261
10
0.822
0.251
0.837
0.574
0.634
0.423
0.922
0.369
0.643
0.847
※MS-EXCELによって作られた
乱数の発生と検証
・０〜１までの乱数の平均は？
0.5ですね。
・ ０〜１までの乱数の標準偏差は？
0.25ですね。
課題１
１．１列目において，１〜１０の範囲の
整数の乱数を１０００個作れ
２．次の統計量を求めよ
(1) 平均値
(2) 標準偏差
(3) 0.5以上，未満の個数
円周率：π
円
円周の長さ＝２πｒ
半径：ｒ
円の面積＝πｒ2
準備
１．針（と言っても仮想的なもの）
２．半径１の円
ｒ＝１
思考実験
円に針を落とす
・円内に刺さる
・円外に刺さる
思考実験つづき
ｙ
１
・
・
・
・
・
・
１
・
・
・
・
ｘ
針の本数が沢山になると
長さ２
針がまんべんなく
刺さる
円の面積／■の面積
＝円内の本数／ ■内の本数
数式で表せば
長さ２
円内の本数：ｎ
■内の本数：Ｎ
r
2
2
2
n

N
4n
4n
  2 
r N N
！針の本数の比を出して，４倍すればよい！
Monte Carlo Simulation
y
第１象限だけで考える
1 r
1 n
 2  
4 2
4 N
4n
 
N
2
x
Monte Carlo Simulation
y
では針を落とそう！？
針が刺さった場所は，
(x,y) 座標上である
さらに，
0 x 1
x
0 y 1
Monte Carlo Simulation
x,y 座標に乱数を使えばよい！
y
例えば
x 座標を奇数列
y 座標を偶数列
例えば，
x
(x,y) (0.966,0.402)
Monte Carlo Simulation
ではシミュレーション
円の内と外の見分け方
y
１
・
・
・１
・
円の半径はｒ＝１
・
円周上は全て原点から１
原点から各針の距離は
・
１
x
x y
2
2
Monte Carlo Simulation
円の内と外の見分け方
y
１
x  y  1 ならば円の中
2
x  y 1
2
・
・
・１
・
2
・
2
ならば円の外
例，９列，１０列目では，
・
0.152  0.427  0.205  1
x
∴円の中！･･･カウント１
2
１
2
課題２
モンテカルロシミュレーションにより
円周率πを求めよ。
但し，乱数は２０００個発生のこと
但し，乱数は次の通り
１列目の乱数をｘ座標，
２列目の乱数をｙ座標