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行列式と連立方程式
2008年作成
担当：本間 聡
連絡先 Email: [email protected]
行列（matrix）と行列式（determinant）

例）

行列（matrix）
 a11 a12 a13 


 a21 a22 a23 
a a

a
 31 32 33 
掛ける方向
 a11 a12 a13  b1   a11b1  a12b2  a13b3 

  

 a21 a22 a23  b2    a21b1  a22b2  a23b3 
a a
 b   a b  a b  a b 
a
 31 32 33  3   31 1 32 2 33 3 
行列式(determinant)
例）
赤の矢印で書けた値は正、青の矢印で掛けた値は負にして足す
Ax
Bx
Ay
 Ax By  Ay Bx
By
Ax Ay Az
Ax ByCz  Ay BzCx  Az BxCy
Bx By Bz 
 Ax BzCy  Ay BxCz  Az ByCx
Cx C y Cz
行列式とベクトルの外積の計算

ベクトルの外積
A  Axi  Ay j  Azk
A  B  ( Ay Bz  Az By )i  ( Az Bx  Ax Bz ) j
B  Bxi  By j  Bzk
i
A  B  Ax
Bx
j
Ay
By
 ( Ax By  Ay Bx )k
k
i Ay Bz  j Az Bx  k Ax By
Az 
 i Az By  j Ax Bz  k Ay Bx
Bz

A B  A B i   A B  A B  j

 A B  A B k
y
z
z
y
x
Ay

By
z
y
Az
Az
i
Bz
Bz
y
x
x
z
x
Ax
Ax
j
Bx
Bx
Ay
j
By
行列式の特徴

行と列を入れ替えても値は変わらない
i Ax
j Ay
k Az
Bx
i Ay Bz  Ax Byk  Bx j Az
By 
 i By Az  Ax j Bz  Bx Ayk
Bz

A B  A B i   A B  A B  j

 A B  A B k
y
z
z
y
x
z
y
Ay

By
Az
Az
i
Bz
Bz
i
 Ax
Bx
j
Ay
By
k
Az
Bz
y
x
x
z
x
Ax
Ax
j
Bx
Bx
Ay
j
By
行列式の特徴２

同じ行もしくは同じ列がある場合、行列式は0と
なる。
Ax
Ay
Az
Ax
Ay
Az
Bx
Ax Ay Bz  Ax By Az  Bx Ay Az
By 
 Ax By Az  Ax Ay Bz  Bx Ay Az
Bz
0
行列式と連立方程式１

以下の連立方程式を解きなさい
a11x1  a12x2  b1
a21x1  a22x2  b2
・・・(1)
行列で書くと
・・・(2)
まず、x2を消して
式(1)×a22
式(2)×a12
引き算
a22a11x1  a22a12x2  a22b1
a12a21x1  a12a22x2  a12b2
a22a11  a12a21x1  a22b1  a12b2
 a11 a12  x1   b1 

    
 a21 a22  x2   b2 
したがって
a22b1  a12b2
x1 
a22a11  a12a21
同様に
a11b2  a21b2
x2 
a22a11  a12a21
行列式と連立方程式2

先の結果より
a22b1  a12b2
x1 
a22a11  a12a21
a11b2  a21b2
x2 
a22a11  a12a21
行列式を使って表現すると
b1
b2
x1 
a11
a21
a12
a22
a12
a22
a11
a21
x2 
a11
a21
b1
b2
a12
a22
行列式と連立方程式3

これまでの結果をまとめると
 a11 a12  x1   b1 

    
 a21 a22  x2   b2 
上記のの行列で表現される連立方程式のx1およびx2の解は
b1
b2
x1 
a11
a21
a12
a22
a12
a22
a11
a21
x2 
a11
a21
b1
b2
a12
a22
練習問題

以下の連立方程式を解き、xおよびIを求めなさい
(1)
5x1  3x2  25
2x1  5x2  29
(２)
 R1  R2  R2  I a  V 

    
R3  Ib  V 
 R1
行列式と連立方程式4

先と同様に3行3列の行列で表現される方程式も計算
することができる
行列で書くと
a11x1  a12x2  a13x3  b1 ・・・(1)
a21x1  a22x2  a23x3  b2 ・・・(2)
a31x1  a32x2  a33x3  b3 ・・・(3)
手順： a23×式(1)－a13×式(2)
a33×式(2)－a23×式(3)
 a11 a12 a13  x1   b1 

   
 a21 a22 a23  x2    b2 
a a
 x   b 
a
 31 32 33  3   3 
・・・(4)
・・・(5) を計算して、両辺を引く（x3の項を消す）。
同様に、式(4),(5)より、x2の項を消す。
行列式と連立方程式5
a11a23  a21a13x1  a12a23  a22a13x2  b1a23  b2a13
a21a33  a31a23x1  a22a33  a32a23x2  b2a33  b3a23
式（４）に
式（５）に
・・・（４）
・・・（５）
a22a33  a32a23を掛け
a12a23  a22a13を掛け、両辺を引く
a11a23  a21a13a22a33  a32a23  a21a33  a31a23a12a23  a22a13x1
 a22a33  a32a23 b1a23  b2a13   a12a23  a22a13 b2a33  b3a23 
整理すると
a12a23b3  a22b1a33  b2a13a32  b1a23a32  b2a12a33  a22a13b3
x1 
a11a22a33  a21a32a13  a31a12a23  a11a32a23  a21a12a33  a31a22a13
行列式と連立方程式5
 a11 a12 a13  x1   b1 

   
 a21 a22 a23  x2    b2 
a a
 x   b 
a
 31 32 33  3   3 
で与えられる方程式のx1の解は
b1
b2
b3
x1 
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a13
a23
a33
同様に
クラーメルの公式
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
x2 
det A
a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
x3 
det A