Transcript 6.制約なしの関数の最大化問題

制約なしの関数の最大化問題
• 経済学では関数を最大、ないしは、最小にす
る問題が、いたるところで出る。
• 例 費用の最小化や利潤の最大化
• 予算制約下のような制約付最大化問題は、
次章
一変数関数の最大化
• f(x) (一実変数の実数値関数)の最大化。
• f(x)の最小化は、-f(x)の最大化
• 問題がうまく出来ていれば、微分して0とおけ
ば、求める解が出る。
• 以下では、少し細かく見る
最大化の必要条件
f
 x  が aで 微 分 可 能
f 'a   0  f
f
 x  が aで 極 大
 x  が  a , b で 微 分 可 能
f '  x *  0  f
極小化も 同じ
 x が x *で 極 大
 f
 x が x *で
極大化の十分条件
f
x
x*
を含む  a , b 
で二階連続微分可能
二次式で近似
f  x *  f '  x *  x - x * 
f "  x *
2
 x - x *
2
平均値の定理による評価
  x   0,1 
f  x   f  x *  f ' x *  x - x * 
f "   x x  1 -  x  x * 
2
 x - x *
2
  x   0,1 
f  x   f  x *  f ' x *  x - x * 
f "   x x  1 -  x  x * 
2
f ' x *  0 で
f " x *  0
f " x 
x
なら
が連続なので
を十分 x *
に近く取れば
f "   x  1 -   x *   0
   0, x   x * -  , x *     f
x 
f
 x *
 x - x *
2
最大化の十分条件についての命題
• 「 f(x)が x*を含む開区間で二階連続微分可能
のとき、 f’(x*) 0, f”(x*) 0ならば、 x*のある近
傍があって、f(x)は x*で、その近傍での最大を
取る 」
• f(x)は x*で、極大をとる
• 局所的な最大だが局大でなく極大
• 微分して0で二階微分が負が極大の十分条件
• 微分して0で二階微分が正が極小の十分条件
• 存在するのは近傍だが、多くの問題は、大域的
に行儀のいい性質を持つ
凹関数
f
x
開区間で定義された二階連続微分可能な関数
f "  x   0 がその開区間で成立すれば
f ' x   0
x
で一意の最大をとる
このような関数は「厳密な凹関数」
凹関数の定義
   0,1   f   x   1 -   y    f  x    1 - 
f   x  1 - 
 f  x   1 - 
 f  y
 y
 f  y
x
 x  1 -   y
y
二階微分可能であれば f”(x) 0
   0,1   f   x   1 -   y    f  x    1 - 
厳密な凹関数
 f  y
凸関数と凹関数
   0,1   f   x   1 -   y       f  x    1 - 
 f  y
(厳密な)凸関数
線形関数やアフィン関数は凸関数かつ凹関数
凸関数の例
x , ex p  x 
2
凹関数の例
x , ln  x 
準凹関数
関数に最大値を取るあるだけならば、準凹関数で十分
準凹関数の定義
   0,1   f   x   1 -   y   m in  f  x  , f
f   x  1 - 
m in  f  x  , f
 y 
 y
 y 
x
 x  1 -   y
y
端っこの小さいほうより大きければよく、一様に膨らんでいる
必要はない
準凹関数の注意点
• 単調関数は、すべて準凹関数
• ある区間で二階連続微分可能なら
f’(x)=0  f”(x)<0が十分条件
• 凹関数は準凹関数
• 経済学的には、序数性に対応
• 凹関数の和は、凹関数だが、準凹関数の和
は、準凹関数とは限らない。
[0,∞]上の連続微分関数の最大化の必要条件
ケース 1
x   0,   , f '  x   0
ケース 2
x  0, f '  x   0
ケース 1 またはケース と
xf '  x   0, f '  x   0
は同値
例 競争企業の利潤最大化
単一の財を生産する企業
x
生産量
C x
p
価格
総費用(関数)
  x   px - C  x 
利潤(関数)
価格を一定として、最大化の必要(一階の)条件(FOC)
微分して0
 ' x   p - C ' x   0  p  C ' x 
価格=限界費用
極大化の十分条件(二階の条件)
  x   px - C  x 
 '  x   p - C '  x   0 FOC
二階微分が負
 " x   -C " x   0  C " x   0
限界費用は逓増
供給関数
利潤を最大にする生産量を価格の関数とすると、供給関数
x  pp 
価格=限界費用(FOC)
p  C ' x  p 
両辺を微分
1  C " x  p  x ' p   x ' p  
1
C " x  p 
二階の条件が満たされ、限界費用が逓増すれば正
供給曲線は、右上がり
例
独占企業の利潤最大化
一つの財市場に一つしか企業が無いとする。
p
p 価格
D  p
需要関数
厳密に減少的
逆関数が存在
P  D  p   p
D  P  x   x
P x
逆需要関数
C x
総費用(関数)
 x  P x x - C x
利潤(関数)
P  x  x  R  x  収入関数
 x  R x - C x
利潤(関数)
利潤最大化の必要条件
微分して0
 ' x   R ' x  - C ' x   0  R ' x   C ' x 
限界収入=限界費用
R ' x   C ' x 
限界収入=限界費用
P x x  R x
 P  x  x  '  xP '  x   P  x   C '  x   0
限界費用が厳密に正
D  P  x   x  D ' P  x  P ' x   1


1
1

xP '  x   P  x   D  p 
 p  p 1
pD '  p 
D ' p 

D  p



0





1
1

xP '  x   P  x   D  p 
 p  p 1
pD '  p 
D ' p 

D  p

-
-
pD '  p 
D  p
pD '  p 
D  p


0



1

dD  p 
D  p
dp
p
需要の弾力性
需要の変化率÷価格の変化率
-
pD '  p 
D  p
1
需要の弾力性が1以下
価格を1%上げると需要の減少は1%以下
売上は増え、需要が減るので費用も減る
必ず儲かる
利潤を最大化しているとき価格を上げると、需要が、1%以上減り、
収入が減る
二階の条件
 x  P x x - C x
微分して0
 ' x   P ' x  x  P  x  - C ' x   0
もう一階微分して負
 "  x   xP "  x   2 P '  x  - C "  x   0
一階の条件
 "  x   xP "  x   2 P '  x  - C "  x   0
C "  x   0, P '  x   0, P "  x   0
が十分条件
限界費用逓増、需要関数が右下がりで凹
p
「ぼこ」 としている需要曲線
はもっともらしくない
限界費用一定として価格について最大化する
  p   p - c D  p
利潤
微分して0
  p - c  D  p  '   p - c  D '  p   D  p   0
もう一階微分して負
  p - c  D  p  "    p - c  D '  p   D  p  '
  p - c  D " p   2D ' p   0
FOCを代入
-
D  p
D ' p 
D " p   2D ' p   0
FOC
-
D  p
D ' p 
D " p   2D ' p   0
D ' p 
d  1 
,

  2
dp  D  p  
D  p
2



D
"
p
D
'
p
 
 
d
1


2


2
3
2 

dp  D  p    D  p 
D  p

2

D ' p   D  p 

D " p   2D ' p  
3 
 D ' p 

D  p 

D ' p   0
 1 
0

2 
dp  D  p  
d
2




 1 
  0
2 

dp  D  p  
d
2
例
d
dp
dp
-
D ' p 
利潤関数が準凹関数
ln D  p  
d
D  p
需要関数の逆数が凸関数ならば、
2
D ' p 
D  p
ln D  p  
D " p 
D  p
D " p   2D ' p   0
で大丈夫
-
D ' p 
D  p
2
2
0
d
2
dp
2
ln D  p  
D " p 
D  p
-
D ' p 
D  p
2
2
0
需要関数が対数凹関数
例
D  p   Ae
- p
Caplin and Nalebuff "Aggregation and Imperfect
competion: on the existence of equilibrium",
Econometirca, 1991
費用関数が凸で、需要が微分可能とは限らないとき
Mizuno "On the existence of a unique equilibrium for
models of product differentiation", International
Journal of Industrial Organization, 2003
2変数の関数の極大化
f  x , y  :  x , y  で xと yに つ い て 偏 微 分 可 能
f  x , y 
x
 0,
f  x , y 
x
f  x , y 
y
 0が 極 大 化 の 必 要 条 件
 0, で な い と き は yを 変 え な い で
xを 少 し 動 か す と 大 き く も 小 さ く も な る
極大化の十分条件
動く 方向が各軸方向と は限ら な いので
 f x, y
2
x
2
 f x, y
2
 0と
y
2
0
で は不十分
各 軸 方 向 で  x , y か ら 離 れ る と 減 少 す る と し て も
他の方向で は増加する か も し れな い。
x  r cos  
y  r sin  


で
2
z  r co s  4

展開すると
 x4  y4 - 6x2 y2

2
2
x

y
z

0

 x , y    0, 0 
 x , y    0, 0 
x軸とy軸上では(0,0)で最小、45度線上では最大
鞍点(saddle point)
x  r cos  

y  r sin  

で
2
z  r co s  2
展開すると
z x -y
2
x軸で (0,0)で最小とy軸上では最大
2

一般の方向での極大
    f  x    x - x  , y    y - y  
 1
 f  x   u, y   v 
 x , y で
 x, y 
f が極大
 0
x, y
任意(すべて)の  x , y    x , y に対して
    が0で極大
 0
 x  1 -   x
任意(すべて)の
 

 x, y    x , y 
に対して
が0で極大
    f  x    x - x  , y    y - y  
 f  x   u, y   v 
    f  x   u , y   v 
 '  
 0
 f x  x   u, y   v 
 0
u  f y  x   u, y   v 
 fx  x, y u  fy  x, y v  0
 fx  x, y   fy  x, y   0
 0
u
 ' 

 0
 fx  x   u, y   v 
 0
u  fy  x   u, y   v 
 0
v
 fx  x , y u  fy  x , y  v  0
 "  
 0
 f xx  x   u , y   v 
 2 f xy  x   u , y   v 
u
 0
2
uv  f yy  x   u , y   v 
 0
 f xx  x , y  u  2 f xy  x , y  uv  f yy  x , y  v  0
2
w h en
2
 x , y    x , y    u , v    0, 0 
 u , v    1, 0  ,  u , v    0,1 
f xx  x , y   0, f yy  x , y   0
v
 0
2
f xx  x , y  u  2 f xy  x , y  uv  f yy  x , y  v  0
2
2
v  0, f x x  x , y   0
 u 
f xy  x , y   u 
f yy  x , y  
2
 x , y  v     2
  0
 
f xx  x , y   v 
f xx  x , y  
 v 
2
 f xx
判別式が負
2
 f xy  x , y  
f yy  x , y 
0
 2
 - 4
f xx  x , y 
 f xx  x , y  
 f xy  x , y   f xx  x , y  f yy  x , y 
2
多変数の関数の最大化
最大化の必要条件
f  x1 , x 2 , ..., x n 
n(実)変数の実関数
f  x    x1 , x 2 , ..., x n   x
最大化の必要条件(一階の条件 )
f  x  連続微分可能
 x1 , x 2 , ..., x n  
(端ではない)
一つのiについて、
 f  x1 , x 2 , ..., x n 
 xi
x の一つの近傍が定義域に含まれる
0
xiを大きくするか小さくすれば
f(x)は大きくも小さくもなる
一つのiについて、
 f  x1 , x 2 , ..., x n 
 xi
xiを大きくするか小さくすれば
0
f(x)は大きくも小さくもなる
対偶をとる、
 x1 , x 2 , ..., x n 
 f  x1 , x 2 , ..., x n 
 xi

で f(x)が極大(極小)
f  x 
 xi
 0, i  1, ..., n
グラディエント・ベクトルと





f x  





f  x  

 x1 
f  x  

x2 


f  x  

 x n 
最大化(最小化)の必要条件
f x  0
例 利潤最大化
  K , L   pK L - rK - w L


  0,   0,     1
コッブ・ダグラス生産関数による利潤
利潤最大化の一階の条件(微分して0)
  K , L 
K
  K , L 
L
  pK
 -1


 -1
 -1

L - r  0   pK
  pK L

L r
- w  0   pK L
 -1
w
 pK
 -1


 -1
 pK L
L r
w
対数を取る
ln   ln p - 1 -   ln K   ln L  ln r
ln   ln p   ln K - 1 -   ln L  ln w
連立方程式を解く
ln K 
1 -    ln r - ln      ln w - ln   - ln
  - 1 -   1 -  
ln L 
1 -    ln r - ln 
- ln p     ln w - ln  - ln p 
1- - 
  ln r - ln     1 - 
-
p
  ln w - ln   - ln
  - 1 -   1 -  
  ln r - ln  - ln p   1 - 
1- - 
p
  ln w - ln 
- ln p 
ln K  ln L  -
1 -    ln r - ln 
- ln p     ln w - ln  - ln p 
1- - 
  ln r - ln  - ln p    1 - 
  ln w - ln 
1- - 
元にもどす
 r 
K 


p


 r 
L

 p 
-
-
1- 
1-  - 
 w 



p



1-  - 
 w 


 p
-
-

1-  - 
1- 
1-  - 
共にrとwの減少関数
- ln p 
ln   ln p - 1 -   ln K   ln L  ln r
ln   ln p   ln K - 1 -   ln L  ln w
rで偏微分する
- 1 - 


1 K
K r
1 K
K r
1 L

- 1 - 
L r
1 L

L r

1
r
0
連立方程式を解く
1 K
K r
1 L
L r


1- 
1
  - 1 - 
 1 -  

1
  - 1 - 
 1 -  
r
1
1- 
r
1- - 
r
-
1
-

1- -  r
- 1 - 


1 K
K r
1 K
K r
1 L

- 1 - 

L r
1 L
L r

1
r
0
全微分式に書く
- 1 - 

1
K

1
dK  
K
1
dL 
dr
L
dK -  1 - 

1
dL 
L
r
dw
w
ロチェスター・ハットを使う
- 1 -   Kˆ   Lˆ  rˆ
 Kˆ - 1 -   Lˆ  wˆ
- 1 -   Kˆ   Lˆ  rˆ
 Kˆ - 1 -   Lˆ  wˆ
行列で書くと
 - 1 - 




  Kˆ
 
- 1 -    Lˆ


  rˆ 
 

wˆ
  
逆転する
 Kˆ

 Lˆ

  - 1 - 



 



- 1 -   
 - 1 - 


1 -  -   -
1


-1
 rˆ 
 
 wˆ 
  rˆ 
  1 -   rˆ   wˆ 
1
   

-  1 -     wˆ 
1 -  -    rˆ   1 -   wˆ 
-
  K , L   pK L - rK - w L


   1
  
例
2
3
  K , L 
K
  pK
  K,L
 -1

L - r,
2
K
2
    - 1  pK
 -2

L 0
Kについて二階の条件を満たし
Lについても同様に二階の条件を満たす
  K , L   pK L - rK - w L


   1
例
  
2
3
K  L  x
1


3
3
  K , L   px -  r  w  x  px  x -  r  w  


4
x  r  w
3
xを大きくするとΠはいくらでも大きくなり、最大値をとらない。
極大化の十分条件(二階の条件)
• 極大化の十分条件については、少しややこしい
• 変数が一つの座標軸の方向のみに動くわけでは
ない
 f x
2
 xi
2
0
では十分ではない
一般の方向での極大
     f   x  1 -   x 

 f  x1   1 -   x 1 , ...,  x n  1 -   x n

 1
x
x で
f が極大
 0
任意(すべて)の x に対して
    が0で極大
 x  1 -   x
x
 0
一階の条件 (必要条件)
     f   x  1 -   x 

 f  x1   1 -   x 1 , ...,  x n  1 -   x n

で 微分して0で 評価して0
 '   

df   x1   1 -   x1 ,  x 2   1 -   x 2 , ...,  x n  1 -   x n 
d
f
 x1
 x1 - x1  
f
x2
 x 2 - x 2   ... 
  f   x  1 -   x 
T
x - x
f
xn
 xn - xn 
 '   
f
 x1
 x1 - x1  
f
x2
 x 2 - x 2   ... 
  f   x  1 -   x 
T
f
xn
 x - x     f   x  1 -   x  ,  x - x  
が   0 で任意の xに対して0
f  x 
 x1

f  x 
x2
 ... 
f  x   0
 xn - xn 
f  x 
xn
0
二階の条件 (十分条件)
f
 '   
 x1 - x1  
 x1
f
x2
 x 2 - x 2   ... 
f
xn
 xn - xn 
で もう一回微分して負
 x
1
 "   
 f
2
 x1
2
 x1 - x1 
 f
2

 x 2  x1
 1 -   x 1 , ...,  x n  1 -   x n
 f
2
2

 x1  x 2
 x1 - x1   x 2 - x 2   ... 
 x 2 - x 2   x1 - x1  
 f
2
x2
2
 x2 - x2 

 f
2
 x1  x n
が独立変数
 x1 - x1   x n - x n 
 f
2
2
 ... 
x2xn
 x2 - x2   xn - xn 
 .....
 f
2


 x n  x1
 x n - x n   x1 - x1  
 
 f
2
n
n
i 1
j 1
 xi  x j
 f
2
xn x2
 x n - x n   x 2 - x 2   ... 
 xi - xi   x j - x j 
 f
2
xn
2
 xn - xn 
2
極大の十分条件は0で 任意の
 "   
 
 f
2
n
n
i 1
j 1





F 





 xi  x j
x
について
 xi - xi   x j - x j   0
 f
 f
 x1
 x1  x 2
2
2
2
 f
2
 f
 x 2  x1
x2
 f
2
 f
 x n  x1
xn x2
2
2
2
行列で書く
 "     x - x  F  x - x   0
T


 x1  x n

2
 f 

x2 xn 


2
 f 

2
xn 
 f
2
ヘッセ行列





F 





 f
 f
 x1
 x1  x 2
2
2
2
 f
2
 f
 x 2  x1
x2
 f
2
 f
 x n  x1
xn x2
2
2
2


 x1  x n

2
 f 

x2 xn 


2
 f 

2
xn 
 f
2
グラディエント・ベクトルのヤコビ行列
 f
2
fが二回連続微分可能
 xi  x j
 f
2

 x j  xi
ヘッセ行列は対称
二次形式
A
:n次(n行n列)の実対称行列
x
:n次元の実ベクトル
T
x Ax
2次形式

なので実数(1次元)になる
正定符号
A
:n次(n行n列)の対称行列
x Ax  0
T
A
が任意の x
が正定符号
 0 について成立
負定符号
A
:n次(n行n列)の対称行列
x Ax  0
T
A
が任意の
が負定符号
x  0 について成立
半正(半負)定符号
A
:n次(n行n列)の対称行列
x A x     0 が任意の x について成立
T
A
が半正(半負)定符号
極大の十分条件は0で 任意の
x
について
 "     x - x  F  x - x   0
T
ヘッセ行列で F が負定符号
二回連続微分の関数fのグラディエントが定義
域の内点 x で、0で、そのヘッセ行列がそこで
負定符号ならば、 f は、 x で極大を取る
二変数のときの負定符号の条件
f  x, y 
の極大の必要条件
 f
f xx 
x
2
f yy 
0
  f 


 xy 
2
f xx f yy  f xy
 f
2
2
2
y
2
0
2
軸方向の効果がクロスの効果より大きい
二次形式と固有値
A
:n次(n行n列)の実対称行列
-1
A  T T
 1

0

 


 0
1 , ...,  n
0 

0
, T  0


n 
0
2
0
実数
T
実行列にでき
T
-1
T
T
-1
A  T T  T T
T
T
x Ax
T
-1
T
T
2次形式
x Ax  x T  Tx  Tx   Tx 
T
T
T
T
x Ax  x T  Tx  Tx   Tx 
T
T
T
T
 y1 


y2

Tx  y  




 yn 
 1

0

 


 0
0 

0



n 
0
2
0
x Ax  Tx   Tx 
T
T
 y  y  1 y1  ...   n y n
T
2
2
x Ax  Tx   Tx 
T
T
 y  y  1 y1  ...   n y n
T
2
2
1 , ...,  n がすべて非負(非正)のときには、二次
形式は、必ず非負(非正)
A
は、半正(半負)定符号
x Ax  Tx   Tx 
T
T
 y  y  1 y1  ...   n y n
T
2
T 0
2
x  0  y  Tx  0
 x  0  Tx  y  0 
1 , ...,  n がすべて負(正)のときには、二次形式
は、必ず負(正)
A
は、負 (正)定符号
固有方程式
1 , ...,  n
実は
Ax   x
は固有値(以下で説明)
が0でない解を持つとき、

は A の固有値
x
は 対応する固有ベクトル
Ax   x
が0でない解を持つ
 A -  I  x  0 が0でない解を持つ
 A -  I  が正則
x  A - I
 A -  I  が特異
A - I 
a11 - 
a12
a1 n
a 21
a 22 - 
a2n
a n1
al 2
a nn - 
0
-1
00
a11 - 
a12
a1 n
a 21
a 22 - 
a2n
a n1
al 2
a nn - 
A - I 

のn次方程式
a11 - 
a12
a1 n
a 21
a 22 - 
a2n
a n1
al 2
a nn - 
a 22 - 
a 21
- a12
an2
a nn - 
a 33 - 
a13
a1 n
a 23 - 
a2n
al 3
a nn - 
a n1
a3n
  a11 -    a 22 -  
...
an3
小行列式分解

a2n
 a11 -  
0
a nn - 
 .....
A - I 
a11 - 
a12
a1 n
a 21
a 22 - 
a2n
a n1
al 2
a nn - 

0
のn次方程式
重根を含むとn個の根
-1
A  T T  T T
T
の  の対角上の 1 , ...,  n
に一致
ジョルダン標準形
A
:n次(n行n列)の実行列(対称とは限らない)
固有方程式が重根を持たない
ジョルダン標準形
-1
A  T T
 1

0

 


 0
1 , ...,  n
T
-1
T
T
0
2
0
0 

0
, T  0


n 
実数とは限らない
は成立しない
ジョルダン標準形について
• 線形代数の入門書の最後に出てくる
• 一人で勉強していたら、だいたいこの前で落
ちる
• 講義でも、ちゃんと付いている人は少ない
• 固有方程式に重根がある場合はややこし
い・・・本を見てわかればいい。
例 二次行列の固有値と固有ベクトル
a
A
b
b

c
固有方程式
A - I 
a-
b
b
c-
 a -  c -   - b
  -  a  c     ac - b
2
2
0
2
 -  a  c     ac - b
2
2
0
根の公式
 
 a  c  - 4  ac - b
a  c 
2
2

a  c  a - c
2
2
 4b
2
2

 
a  c  a  c
2
- 4  ac - b
2

2

a  c  a - c
2
 4b
2
2
aとcの符号が違う
ac 
a - c
＋の根と－の根がある。
正定符号でも負定符号でもない
2
 4b
2
 
a  c  a  c
2
- 4  ac - b
2

2

a  c  a - c
2
 4b
2
2
正定符号の場合(2根とも正)
a  0, c  0
ac 
a - c
ac - b  0
2
2
 4b
2
 
a  c  a  c
2
- 4  ac - b
2

2

a  c  a - c
2
 4b
2
2
負定符号の場合(2根とも負)
a  0, c  0
ac 
a - c
2
 4b
ac - b  0
2
ヘッセ行列では
f xx  0
f yy  0
f xx f yy  f xy
2
2
多変数の凹関数と準凹関数
凹関数の定義
0    1  f   x  1 -   y    f  x   1 - 
 f  x   1 - 
 f y 
f   x  1 -   y 
f y
f x
y
x
 x  1 -   y
 f y 
凸関数の定義
0    1  f   x  1 -   y    f  x   1 - 
 f y 
直感的には一様にへこんでいるが
直線(平面)部分があっもいい
厳密な凹(凸)関数の定義
0    1  f   x  1 -   y       f  x   1 - 
直感的には一様に膨らんでいるか
へこんでいて
直線(平面)部分は無い
 f y 
(厳密な)準凹関数の定義
0    1  f   x   1 -   y      m in  f  x  , f  y  
(厳密な)準凸関数の定義
0    1  f   x   1 -   y      m ax  f  x  , f  y  
凸関数凹関数とヘッセ行列
連続微分可能な関数 f
f が厳密な凸関数
f のヘッセ行列が正定符号
f が厳密な凹関数
f のヘッセ行列が負定符号
準凹(凸)関数と凹(凸)関数の関係
f が凸関数
f が 凹関数
f が準凸関数
f が準凹関数
凸集合
凸集合の定義
x  A , y  A , 0    1   x  1 -   y  A
凸集合の例
凸集合でない例
線分の両端が入っているが
真ん中は入っていない
準凹関数の最大化
f が準凹関数
 x : f  x      y  が任意のyについて凸集合
f が準凹関数
f が厳密な準
凹関数
最大値をとるxの集合は凸集合
最大値をとるxの集合は一点