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６．低次の行列式とその応用
1
行列式とは
行列式とは、正方行列の特徴を与える一つのスカラー
である。すなわち、行列式はスカラーに写す写像の一種
とみなすこともできる。
nn
nn
det : R  R
A( R ) det  A R 
n  n の行列に対する行列式を、
n 次の行列式という。
行列
A の行列式を
A
とも表す。
n
n
正方行列
det
スカラー（実数）
2
１次の行列式
定義（一次の行列式）
1 1 行列 A  a の行列式
A は次式で定義される。
A a
det( A)  a
3
2次の行列式
定義（２次の行列式）
a b 
A

c
d


とする。
このとき、 A の行列式 A は次式で定義される。
A  ad  bc
行列式は、次ぎのように書かれることもある。
det( A)  ad  bc
A の求め方
a b
c
d
乗算して符号が正
乗算して符号が負
A  ad  bc
4
2元１次連立方程式から２次の行列式へ
ax  by  k (1)

cx  dy  l (2)
a b   x  k 
c d   y   l 

   
消去法によって、 x, y を求める。
(1)  d  (2)  b
(2)  a  (1)  c
(ad  bc) x  (bd  bd ) y  kd  bl (ac  ac) x  (ad  bc) y  la  kc
 (ad  bc) x  kd  bl
 (ad  bc) y  al  kc
(ab  bc) の部分が共通に現れた。
このスカラーが0以外であれば、
一意に解が存在する。
a
b
c
d
 ad  bc
とすると都合が良い。
5
２元連立一次方程式の解
(ad  bc) x  kd  bl
似ている。
実は、 a を k に
c をl に
置き換えただけ。
y についても同様に考察できる。
よって、
k
b
a k
a b
l d
c l
 0 のとき、  x 
,y
c d
a b
a b
c
d
c
（この方法をクラメールの解法といいます。）
d
6
例題
2 x  3 y  5

4 x  y  2
解）
まず、行列で記述する。
 2 3  x   5 
 4 1   y    2

   
係数行列の行列式を求める。
2 3
4
1
 2 1  (3)  4  2  12  14  0
よって、解が一意に定まる。
1 5 3 1
1
x
 5  6  
14 2 1 14
14
1 2 5
1
24
12
y
  4  20   

14 4 2 14
14
7
7
練習
クラメールの方法を用いて次の連立方程式を解け。
（１）
м
x 1 + 2x 2
п
п
н
п
3x 1 + 4x 2
п
о
= 5
= 6
（２）
м
5x - 3y = 2
п
п
н
п
3x - 2y = - 1
п
о
8
3元１次連立方程式から３次の行列式へ？
 ax  by  cz  p

 dx  ey  fz  q
 gx  hy  iz  r

これを文字だけで解くことは大変です。
しかし、クラメールらによって一般的な解が
見つけられています。
行列式は、その解が表現できるように
定義されています。
高次元の行列式は、定義自体も複雑です。
まず、３次元の行列式の定義からみていきます。
9
３次の行列式の定義
定義（３次の行列式）
3次の正方行列
 a11
A   a21
 a31
a12
a22
a32
a13 
a23 
a33 
に対して、その行列式は、
a11
a12
a13
a21 a22
a23 
a31
a33
a32
a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32
 a11a23a32  a12 a21a33  a13a22 a31
と定義される。
10
３次の行列式の覚え方（サラスの方法）
a11
a12
a13
a21 a22
a23
a31
a33
a32
乗算して符号が正
乗算して符号が負
11
例
（１）
1 2 3
8 9 4  45  56  144  24  80  189  48
7 6 5
（２）
a b c
b c
c
a  abc  abc  abc  a 3  b3  c 3  3abc  a 3  b3  c 3
a b
12
練習
次の行列式の値を求めよ。
（１）
1 4 1
（２） 1
3 3 2
2 8 4
（３） 1
2
1
3
1 2
2
1
1
1
2
3
5
2
6
1
3
（４）
1
2 4
3
1 2
1 5 1
13
3元1次連立方程式に対するクラメールの解法
йa
щй щ
к 11 a12 a13 ъкx 1 ъ
кa
ък ъ
к 21 a 22 a 23 ъкx 2 ъ=
к
ък ъ
a
a
a
x
кл 31 32
33 ък
ыл 3 ъ
ы
йb щ
к1 ъ
к ъ
кb2 ъ
к ъ
кb3 ъ
кл ы
ъ
の連立方程式は、行列式
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23 № 0
a 31 a 32 a 33
のときに次のような解を持つ。
x1 =
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
b2 a 22 a 23
a 21 b2 a 23
a 21 a 22 b2
b3 a 32 a 33
a 31 b3 a 33
a 31 a 32 b3
a11 a12 a13
, x2 =
a11 a12 a13
,x3 =
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a 21 a 22 a 23
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
a 31 a 32 a 33
a 31 a 32 a 33
14
例
次の連立方程式をクラメールの方法で解く。
 x  2 y  3z  22

2 x  3 y  4 z  8
3x  5 y  z
 24

解）
まず係数行列の行列式を求める。
1 2
3
2 3 - 4 = 3 + (- 24) + 30 - (- 20) - 4 - 27 = 9 - 11 = - 2
3 5
1
№0
よって、解が一意に定まる。
15
各列ベクトルを定数項ベクトルと置き換えて、行列式を求める。
22
2
3
- 8 3 - 4 = 66 + (- 196) + (- 120) - (- 440) - (- 16) - (216) = - 6
24
1
5
1
22
3
2 - 8 - 4 = (- 8) + (- 264) + 144 - (- 96) - 44 - (- 72) = - 4
3
24
1 2
1
22
2 3 - 8 = 72 + (- 48) + 220 - (- 40) - 96 - 198 = - 10
3 5
24
よって、
- 6
x=
= 3,
- 2
- 4
y=
= 2,
- 2
- 10
z=
= 5
- 2
16
練習
クラメールの方法により、次の方程式を解け。
（１）
м
п
3x
п
п
п
н2x
п
п
п
2x
п
п
о
（２）
+ 2y
+ 4z
= 0
-y
+z
= 1
+y
+ 4z
= 2
3 x1  x2  3 x3

  x1  5 x2  2 x3
 x  x  3x
3
 1 2
1
1
2
17
ベクトル
定義（ベクトル）
“向き”と“大きさ”を持つ量をベクトルという。
大きさ
a
a
向き
低次元のベクトルは
矢印を用いて表現可能
18
空間ベクトル
定義（空間ベクトル）
空間中のベクトルを空間ベクトルという。
空間ベクトルは、３つのスカラーを用いて、
表現できる。
йa щ
кxъ
3
3 あるいは b = (bx , by , bz ) О R と表現できる。
к
ъ
a = кay ъО R
к ъ
клa z ы
ъ
3 ґ 1 行列（３次元ベクトル）あるいは
1ґ 3
z
ax
x
行列（３次元ベクトル）を空間ベクトルという。
az
a
ay
y
19
空間の単位ベクトル
応用の分野では、 x , y , z の軸方向の単位ベクトルを
i, j, k であらわす。
すなわち、
ж0ч
ц
ж1ц
ж0ц
ч
з
зз ч
з
ч
зз ч
зз ч
ч
ч
зз ч
ч
ч
ч
з
з
ч
ч
i = e 1 = з0ч
,
j
=
e
=
1
,
k
=
e
=
0
з
з
2
3
ч
ч
ч
з
зз ч
з
ч
ч
з
ч
з
ч
ч
ч
ч
з
зз0ч
з
0
1
ч
ч
ч
з
з
иш
иш
иш
ч
ч
ч
z
k
O
i
j
y
単位ベクトルは、座標の
基準となるベクトル
x
20
内積
ここでは、低次元空間における内積の定義を示す。
定義（３次元ベクトルの内積）
йb щ
йa щ
кx ъ
кxъ
к ъ
内積は、
3
a = ккay ъ
,
b
=
b
О
R
кy ъ
ъ
に対して、スカラー 同じ成分同士の
к ъ
к ъ
кbz ъ
клa z ы
ъ
кл ъ
積和であり、
ы
axbx + ayby + azbz
をベクトル a
a gb
n 次元ベクトル
に拡張できる。
とベクトル b の内積といい、
あるいは
(a , b )
内積は交換可
と表す。
このように内積の演算結果はスカラーになるので、
内積をスカラー積と呼ぶこともある。
21
転置による内積の表現
йb щ
йa щ
кx ъ
кxъ
к ъ
3
a = ккay ъ
,
b
=
кby ъО R
ъ
к ъ
к ъ
кbz ъ
клa z ы
ъ
кл ъ
ы
に対して、次が成り立つ。
t
a gb = ab
証明
t
ab = й
клa x
ay
йb щ
кx ъ
к ъ й
щ
щ= a gb
a z ъкby ъ= лa xbx + ayby + a zbz ы
ык ъ
кbz ъ
кл ъ
ы
QED
22
ベクトルのノルム
ベクトル
a
に対して、スカラー
a ga
をベクトル
a
のノルム（大きさ、長さ）といい、
a
という記号で表す。すなわち、
йa щ
кxъ
3
a = ккay ъ
О
R
ъ
к ъ
клaz ы
ъ
に対して、
a =
a x 2 + ay 2 + a z 2
である。
23
ベクトルのノルムの幾何学的関係
z
йa щ
кxъ
3
a = ккay ъ
О
R
ъ
к ъ
клaz ы
ъ
O
y
x
a =
a x 2 + ay 2 + a z 2
３平方の定理より、空間ベクトルのノルムは、
ベクトルの大きさを意味している。
24
内積の幾何学的関係
b
O
q
a
ベクトルの内積に関して次の関係が成り立つ。
a gb = a b cos q
a
q
b cos q
方向が同じベクトルは
スカラー同士の掛け算
になる。
25
直交ベクトル
定義（直交ベクトル）
２つのベクトル a , b
ОR
3
の内積が０、すなわち、
a gb = 0
であるとき、
２つのベクトルは直交しているという。
このとき、２つのベクトルのなす角度 q は
p
q=
2
である。
b
O
a
26
外積
３次元ベクトル同士では、
外積という演算が定義できる。
３次元空間は現実の空間であり、
応用上重要な演算である。
外積の演算結果はベクトルであり、
ベクトル積とも呼ばれる。
なお、外積が定義できるのは、
３次元ベクトル同士だけであるので注意すること。
27
定義（３次元ベクトルの外積）
йb щ
йa щ
кx ъ
кxъ
к ъ
3
a = ккay ъ
,
b
=
кby ъО R
ъ
к ъ
к ъ
кbz ъ
клa z ы
ъ
к ъ
л
ы
жay
зз
зз by
зз
зз a z
зз
зз b
зз z
зз a
зз x
зз b
x
зи
з
az ц
ч
ч
ч
bz ч
ч
ч
ч
ax ч
ч
ч
ч
=
ч
bx ч
ч
ч
ч
ay ч
ч
ч
ч
ч
by ч
ч
ш
ч
ч
をベクトル a
a
と表す。
に対して、ベクトル
жa b - a b ц
зз y z
z yч
ч
ч
зз
ч
ч
a
b
a
b
зз z x
x zч
ч
зз
ч
зиa xby - aybx ч
ч
ш
ч
外積は、
演算結果が
３次元ベクトル
とベクトル b の外積といい
外積は交換
ґ b
不可
28
3次の行列式を用いた外積の計算法
a = (ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) О R 3 に対して、外積は、
３次の行列式の記号を援用して
i
j
k
a Ч b = ax
ay
az
bx
by
bz
az
ax
ay
=
by
az
bz
i+
bz
bx
ax
j +
bx
ay
by
k
行列式はスカラーのであ
るので、これは行列式で
はない。しかし、記号的に
は覚えるのに便利である。
外積がベクトルであること
に注意して、この表現を
利用するとよい。
= (aybz - a zby )i + (a zbx - a xbz ) j + (a xby - a ybx )k
29
a = (ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) О R
３次の行列式の記号を援用して
i
j
k
a Ч b = ax
ay
az
bx
by
bz
az
ax
bz
bx
=
ay
az
by
bz
i+
j +
ax
ay
bx
by
k
3 に対して、外積は、
行列式はスカラーのであ
るので、これは行列式で
はない。しかし、記号的に
は覚えるのに便利である。
外積がベクトルであること
に注意して、この表現を
利用するとよい。
= (aybz - a zby )i + (a zbx - a xbz ) j + (a xby - a ybx )k
30
外積のノルム
b
q
a
ベクトルの外積に関して、次の式が成り立つ。
a ґ b = a b sin q
b
q
a
外積のノルムは
この平行4辺形の
面積である。
31
外積の幾何学的性質
aґ b
b
a
外積のベクトルは、右ねじの方向に、
ベクトル a とベクトル b で生成される
平面に直交する。
32
例題
外積を利用して、次の２つのベクトルと
直交するベクトルを求めよ。
й1 щ
йщ
къ
к4ъ
къ
къ
a = к2 ъ, b = к5ъ
къ
къ
к3ъ
к6ъ
кл ъ
кл ъ
ы
ы
解）
i j k
1 2 3 = (12 - 15)i + (12 - 6) j + (5 - 8)k = - 3i + 6 j - 3k
4 5 6
よって、
й- 3щ
к ъ
к ъ
к6 ъ
к ъ
к- 3ъ
кл ы
ъ
33
練習
２つのベクトルと直交するベクトルを求めよ。
（１）
a = (2,1, 3)
（２）a
= (1, - 1, - 1)
b = (4,1, 3)
a = (- 2, 0,1)
b = (4, 2, 0)
（３）
b = (- 1, 2, - 1)
34
例２
外積を利用して、次の３点を頂点とする３角形の
面積を求めよ。
A (2,1,1), B (3, - 1,1), C (4,1, - 1)
解）
й3 - 2 щ
к
ъ
uuur
к
ъ
A B = к- 1 - 1ъ=
к
ъ
к1 - 1 ъ
к
ъ
л
ы
й4 - 2 щ
ъ
uuur кк
ъ
A C = к 1 - 1 ъ=
к
ъ
к- 1 - 1ъ
к
ъ
л
ы
й1 щ
к ъ
к ъ
к- 2ъ
к ъ
к0 ъ
к ы
ъ
л
i
j
uuur uuur
AB ґ AC = 1 - 2
2
0
й2 щ
к ъ
к ъ
к0 ъ
к ъ
к- 2ъ
к ъ
л
ы
k
0 = 4i + 2 j - 4k
- 2
面積は、
1 uuur uuur
1 2
1
2
2
AB ґ AC =
4 + 2 + (- 4) =
36 = 3
2
2
2
と求められる。
35
練習
外積を利用して、次の３点を頂点とする３角形の
面積を求めよ。
（１）
A (1, 2,1), B (2,1, - 1), C (3, 4, 2)
（２） A (3, - 1, 2), B (2, - 2,1), C (3, 5, - 1)
36
外積の性質
外積は、次のような性質を満足する。
a, b, c О R
3
を３次元実数ベクトルとし、
k О R をスカラー（実数）とする。このとき、以下が
成り立つ。
交換したら
符号反転
（１） a ґ b = - b ґ a
（２）
（３）
(ka )ґ b = a ґ (kb ) = k (a ґ b )
a ґ (b + c ) = a ґ b + a ґ c
スカラーの
抜き出し
分配法則
37
平行６面体の体積とスカラー３重積
３次元の３つのベクトル a, b, c О R 3 に対して、
スカラー
(a ґ b, c ) = (a ґ b )gc
は、３つのベクトル a, b, c を辺とするような平行６面体の
体積に等しい。
このスカラーを求める演算をスカラー３重積と
いうこともある。
aґ b
c
b
と a ґ b のなす角度を
とすると、平行６面体の
高さは cos q と表せる。
c
q
a
38
行列式によるスカラー３重積の表現
йb щ
йa щ
йc щ
x
к
ъ
кxъ
кx ъ
к
ъ
кc ъО R 3
a = ккay ъ
,
b
=
b
,
c
=
кy ъ
に対して、
ъ
кy ъ
к
ъ
к ъ
к ъ
к
ъ
a
cz ъ
кл z ъ
к
b
z
ы
л
ы
кл ъ
ы
スカラー３重積は、
ax
ay
az
ax
bx
cx
(a ґ b, c ) = bx
by
bz = ay
by
cy
cx
cy
cz
bz
cz
az
と計算できる。
39
練習
次のベクトルで構成される平行６面体の体積を求めよ。
й2щ
й- 1щ
й0щ
къ
к ъ
къ
къ
к ъ
къ a ґ b
a = к1ъ, b = к 2 ъ, c = к2ъ
къ
к ъ
къ
к3ъ
к1 ъ
к1ъ
кл ъ
кл ъ
кл ъ
ы
ы
ы
c
b
a
40