Transcript 3.超球面

4次元立体の投影
-超球面，超直方体，超４面体-
Cabri 研究会 2011年12月4日
生越 茂樹
§1. 3次元立体の ２次元への投影
P ( x , y , z ) の xy 平 面 へ の
直 投 影 を Q ( X , Y , Z) と す る と ,
ìï X = x
ï
ïï
íY = y
ï
ïZ = 0
ïïî
P( x, y, z) の , 原 点 か ら 平 面 z = 1 の 上
へ の 中 心 投 影 を Q (X , Y , Z )と す る と ,
ìï
x
ï X =
ï
ï
z
ï
ï
y
í
ï Y =
ï
z
ï
ï
ï Z = 1
ïî
§1-1. 単位球の中心投影
z = t と 球 の 交円の 中 心投影は 円 Ct
C t の 包 絡 線 が 単 位 球 の 中 心 投 影 K.
こ の 包 絡 線 は 2次 曲 線 で ， 球 に 外 接
する 円錐と z = 1 の交線と 一致する ．
3次元球面の投影.cg3
[ K の 式 ] 球 の 中 心 を A ( a , b , c ), 円 錐 と の 接 点 を B ,
B の 中 心 投 影 を C ( X , Y ,1) と す る と ,
uuur uuur
uuur uuur
「 O A ·O C = O B·O C = ± O B ´ O C 」 よ り
( a , b , c（)· X , Y ,1) = ±
2
2
2
2
2
2
a + b + c - 1· X + Y + 1
2
2
2
2
2
–
( aX + bY + c ) = ( a + b + c - 1 )( X + Y + 1)
–
(1 - b - c ) X + (1 - a - c )Y +
2
2
2
2
2
2
2
2
+ 2 abX Y + 2 acX + 2 bcY + 1 - a - b = 0
平面z=t による断面を
利用した中心投影の作図
3次 元 物 体 V の 平 面 z = t に よ る 2次 元 断 面 を T ，
原点を 中心と し た 1 / t 倍の相似変換を f と する と ，
T の f に よ る 像 T 'の 通 過 領 域 が , V の 中 心 投 影 と な る .
§1-2. 直方体の中心投影
底 面 が z= 1 と 平 行 な 直 方 体 の と き ，
底面と 上面の中心投影は長方形，
直 方 体 の 中 心 投 影 は ， 長 方 形 2個 と
(側 面 を 投 影 し た )台 形 が 4 個 ． 特 別 な
場 合 に は , 長 方 形 の 1 つ が も う 1　つ の
長方形に含ま れる.
一般の直方体のと き は， ど の
四角形も 台形や長方形にな ら な い．
し かし 直方体の平行な 辺の像の
延 長 は 1 点 (消 点 )で 交 わ る .
直方体1.cg3, 直方体2.cg3
§2. 4次元立体の 3次元への投影
P ( x , y , z ,u ) の 超 平 面 u = 0 へ の
直 投 影 を Q ( X , Y , Z ,U ) と す る と ,
ìï X =
ï
ï
ïY =
ï
í
ïZ =
ï
ï
ïU =
ïî
x
y
z
0
P( x, y, z, u ) の , 原 点 か ら 超 平 面 u = 1 上
へ の 中 心 投 影 を Q ( X , Y , Z ,U ) と す る と ,
ìï
ï X
ï
ï
ï
ï
ï
ï Y
ï
í
ï
ï
ï
ï Z
ï
ï
ï
ïU
ïïî
=
x
u
=
y
u
=
z
u
= 1
§3.超球面
§3.1 単位超球の中心投影
T’
Sの中心投影K
2
2
2
2
単 位 超 球 S : ( x - a ) + ( y - b ) + ( z - c ) + ( u - d ) = 1.
S の 超 平 面 u = t に よ る 断 面 を Tと す る と ，
2
2
超球面の投影.cg3
2
2
T : ( x - a ) + ( y - b) + ( z - c ) =1 - (t - d ) .
超球面の投影.nb
T の 中 心 は , 定 点 A ( a , b , c ). こ の 球 を 原 点 中 心 の 相 似 変 換 :
X = x / t, Y = y / t, Z = z / t
で 移 し た 球 を T ' と す る と ， T 'の 通 過 領 域 K が S の 中 心 投 影 と な る . K は 2 次 曲 面 で ，
超 球 に 外 接 す る 超 円 錐 と u = 1 の 断 面 と 一 致 す る ． 3次 元 の 場 合 と 同 様 に し て ，
2
2
2
2
2
2
2
2
K : ( aX + bY + cZ + d ) = ( a + b + c + d - 1) ( X + Y + Z + 1)
超平面u=t による断面を
利用した中心投影の作図
4次 元 物 体 V の 超 平 面 u = t に よ る 3次 元 断 面 を T ，
原点を 中心と し た 1 / t 倍の相似変換を f と する と ，
T の f に よ る 像 T 'の 通 過 領 域 が , V の 中 心 投 影 と な る .
§4. 超直方体
§4-1. 超直方体の定義
３ 次 元 空 間 V 内 の 直 方 体 を , 4次 元 空 間 内 で V に 直 交 す る 方 向 に 平 行 移 動 し て
で き る 立 体 を 超 直 方 体 と 定 め る ． 以 下, Vに 属 さ な い 辺 や ベ ク ト ル は 点 線 で ，
V内 の 辺 や ベ ク ト ル は 実 線 で 表 す ． ま た 平 行 移 動 す る 前 の 頂 点 は 大 文 字 の
A , B ,C L で ， こ れ ら を 平 行 移 動 し た 点 は 小 文 字 の a,b,c, L で 表 す ．
1 辺 が 1 の 超 立 方 体 (T esseract) は , 例 え ば 次 の よ う な 座 標 で 与 え ら れ る .
A (0,0,0,0), B (1,0,0,0),C (1,1,0,0),D (0,1, 0,0),E (0,0,1,0), F (1,0,1,0),G (1,1,1,0),H (0,1,1,0)
a(0,0,0,1), b(1,0,0,1), c(1,1,0,1), d(0 ,1,0,1), e(0,0,1,1), f(1,0,1,1), g(1,1,1,1), h(0,1,1,1)
¿Question?
超直方体の頂点，辺，面，
胞（超表面上の立体)の数は?
直 方 体 の 頂 点 , 辺 , 面 の 数 を v ( vertex ), e (edge ), f (face ) と す る と ， 超 直 方 体 の
頂点の 数V は,
V = v ´ 2 = 8 ´ 2 = 16 個
辺の 数E は,
E = e ´ 2 + v = 12 ´ 2 + 8 = 32 本
面の数F は，
F = f ´ 2 + e = 6 ´ 2 + 12 = 24 枚
胞の 数C は,
C = 4 ´ 2 = 8室
胞 (cell) は , 超 直 方 体 の ４ つ の 軸 に 関 し 2 室 ず つ で き る . 例 え ば ,
0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1,
0 £ z £ 1,
0£ u£ 1
の 場 合 は ，超 表 面 u = 0 と u = 1 上 に , 次 の 3 次 元 立 体 ( 胞 ) が で き る ．
0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1,
0£ z£ 1
§4-2. 超直方体の中心投影
面
超 直 方 体 S ( u1 £ u £ u 2 ) の 超 平 面 u = t ( u1 £ t £ u 2 )
に よ る 断 面 T は , 3 次 元 の 直 方 体 で ， t に よ ら な い .　こ の 直方 体を , 原点中心の 相 似変換:
X = x / t, Y = y / t, Z = z / t
で 移 し た 直 方 体 を Tt ' と す る と ， Tt ' の 通 過 領 域
Kが S の 中 心 投 影 と な る . Kは 多 面 体 と な り ，
特 別 な 場 合 に は ， Tui ' が Tu j ' の 内 部 に 含 ま れ る .
超直方体の射影.cg3
§5. 超4面体
§5-1. 超4面体の定義
-
定義.cg3
３ 次 元 空 間 V 内 の 三 角 錐 の 頂 点 と , 4次 元 空 間 内 で V に な い 点 と を 結 ん で き る
立 体 を 超 4面 体 と 定 め る ．
【 例 1 】 A ,B ,C ,D が 超 平 面 u = 0 上 に あ る 1 辺 が 3 2 の 超 正 4 面 体 .
A (2
2 ,0,0,0), B ( -
2,-
6 ,0,0), C ( -
2 , 6 ,0,0), D (0 ,0,4,0), a(0,0,1, 15 )
【 例 2 】 A ,B ,C ,D が 超 平 面 x + y + z + u = 2 上 に あ る 1 辺 が 2 2 の 超 正 4 面 体 A (2,0,0,0), B (0,2,0,0), C (0,0,2,0), D (0 ,0,0,2), a(1 - τ ,1 - τ , 1 - τ , 1 - τ )
(τ
は黄金比)
¿Question?
超4面体の頂点，辺，面，
胞（超表面上の立体)の数は?
4 面 体 の 頂 点 , 辺 , 面 の 数 を v ( vertex ), e (edge ), f (face ) と す る と ， 超 4 面 体 の
頂点の数V は,
V = v＋1 = 4+ 1 = 5 個
辺の 数E は,
E = e + v = 6 + 4 = 10 本
面の数F は，
F = f + e = 4 + 6 = 10 枚
胞の 数C は,
C = f + 1 = 4 + 1 = 5室
胞 (cell) は , 具 体 的 に は , A -B C D , a-A B C , a-A B D , a-A C D , a-B C D の 5 室
§3-2. 超4面体の(u=1上への)中心投影
[1]B,C,Dのz成分が0の時，u=tによる断面の直投影
[1] u = 1上 の 四 面 体 A -B C D と u ¹ 1上 の 1 点 a を 結 ん で 出 来 る
超 四 面 体 を Vと す る ． t が au と 1 を m : n に 内 分 す る 時 ，
超 平 面 u = t と 線 分 aA の 交 点 を (x,y,z) 空 間 へ 直 投 影 し た
点 S は , a の 直 投 影 ( a 123 ) と A を m : n に 内 分 し た 点 と な る .
故 に , V の u = t に よ る 断 面 T は , 点 a 123を 中 心 に A -B C D を
m / ( m + n ) 倍 に 拡 大 し た 四 面 体 P -Q R S と な る . [2] こ の 四 面 体 を , 原 点 中 心 の 相 似 変 換 :
X = x / t , Y = y / t , Z = z / t L (*)
で 移 し た 四 面 体 を P '-Q 'R 'S ', 点 a 123の u = 1上 へ の 中 心 投 影 を
a' と す る と , P '- Q 'R 'S 'は , a'を 中 心 に m / ( m + n ·a u ) 倍 に 拡 大
し た 四面体と な る ．
[2]断面の直投影を中心投影した四角すいの
頂点は，線分a’A, b’B,c’C, d’D上にある．
[3]t を 変 化 さ せ た 時 , P '-Q 'R 'S 'の 通 過 領 域 が V の 中 心 投 影 .
５胞体の切断と射影.cg3
[3]超四面体の中心投影
まとめ
中心投影では，形は歪むが，全体像が
見える．(例．超球面と外接3次元空間)
u=t による断面が容易に求まる場合は，Cabri3Dでも, 投影を, かなりの程度 見る事が可能．