Transcript 超平面

超立方体の展開図
Cabri 研究会 2012年1月9日
生越 茂樹
§1. 4次元立体の 3次元への投影
P ( x , y , z ,u ) の 超 平 面 u = 0 へ の
直 投 影 を Q ( X , Y , Z ,U ) と す る と ,
ìï X =
ï
ï
ïY =
ï
í
ïZ =
ï
ï
ïU =
ïî
x
y
z
0
P( x, y, z, u ) の , 原 点 か ら 超 平 面 u = 1 上
へ の 中 心 投 影 を Q ( X , Y , Z ,U ) と す る と ,
ìï
ï X
ï
ï
ï
ï
ï
ï Y
ï
í
ï
ï
ï
ï Z
ï
ï
ï
ïU
ïïî
=
x
u
=
y
u
=
z
u
= 1
超平面 u=t による断面が分かれば，1/t倍の相似変換により，中心投影が作成できる.
超平面u=t による断面を
利用した中心投影の作図
4次 元 物 体 V の 超 平 面 u = t に よ る 3次 元 断 面 を T ，
原点を 中心と し た 1 / t 倍の相似変換を f と する と ，
T の f に よ る 像 T 'の 通 過 領 域 が , V の 中 心 投 影 と な る .
§1-1. 超直方体の定義
３ 次 元 空 間 V内 の 直 方 体 を , 4 次 元 空 間 内 で V に 直 交 す る 方 向 に 平 行 移 動 し て
で き る 立体を 超直方体と 定め る ． 以下, V に 直交する 辺やベク ト ルは 点線で ，
V内 の 辺 や ベ ク ト ル は 実 線 で 表 す ． ま た 平 行 移 動 す る 前 の 頂 点 は 大 文 字 の
A , B ,C L で ， こ れ ら を 平 行 移 動 し た 点 は 小 文 字 の a,b,c, L で 表 す ．
1 辺 が 1 の 超 立 方 体 (T esseract) の 頂 点 は , 例 え ば , 次 の 座 標 で 与 え ら れ る .
A (0,0,0,0), B (1,0,0,0),C (1,1,0,0),D (0,1,0,0),E (0,0,1,0), F(1,0,1,0),G (1,1,1,0),H (0,1,1,0)
a(0,0,0,1), b(1,0,0,1), c(1,1,0,1), d(0 ,1,0,1), e(0,0,1,1), f(1,0,1,1), g(1,1,1,1), h(0,1,1,1)
¿Question?
超直方体の頂点，辺，面，
胞（超表面上の立体)の数は?
直 方 体 の 頂 点 , 辺 , 面 の 数 を v ( vertex ), e (edge ), f (face ) と す る と ， 超 直 方 体 の
頂点の 数V は,
V = v ´ 2 = 8 ´ 2 = 16 個
辺の 数E は,
E = e ´ 2 + v = 12 ´ 2 + 8 = 32 本
面の数F は，
F = f ´ 2 + e = 6 ´ 2 + 12 = 24 枚
胞の 数C は,
C = f + 2 = 6 + 2 = 8室 . ま た は C = 2 室 ´ 4 = 8室
胞 (cell) は , 超 直 方 体 の ４ つ の 軸 に 関 し 2 室 ず つ で き る . 例 え ば ,
0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1,
0 £ z £ 1,
0£ u£ 1
の 場 合 は ，超 表 面 u = 0 と u = 1 上 に , 次 の 3 次 元 立 体 ( 胞 ) が で き る ．
0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1,
0£ z£ 1
§1-2. 超直方体の中心投影
超 直 方 体 S ( u1 £ u £ u 2 ) の 超 平 面 u = t ( u1 £ t £ u 2 )
に よ る 断 面 T は , 3 次 元 の 直 方 体 で ， t に よ ら な い .　こ の 直方 体を , 原点中心の 相 似変換:
X = x / t, Y = y / t, Z = z / t
で 移 し た 直 方 体 を Tt ' と す る と ， Tt ' の 通 過 領 域
Kが S の 中 心 投 影 と な る . Kは 多 面 体 と な り ，
特 別 な 場 合 に は ， Tui ' が Tu j ' の 内 部 に 含 ま れ る .
超直方体の投影.cg3
§2. 4次元空間内の回転
4 次 元 空 間 の 回 転 で は ， 平 面 を 軸 と し た 回 転 と な る . （ 軸 と な る 平 面 上 の 点 は 動 か な い ．)
xy 平 面 上 の ( –
zu 平 面 が 軸 の ) q の 回 転 を 表 す 行 列 は ,
æco s q
ç
ç
ç sin q
ç
R ( q ) = çç
ç 0
ç
ç
çè 0
- sin q
0
cos q
0
0
1
0
0
0ö
÷
÷
÷
0÷
÷
÷
÷
0÷
÷
÷
÷
÷
1ø
uuur uuur uuur uuur
O A , O B, O C , O D が , 4 次 元 空 間 で 正 規 直 交 基 底 を な す 時 ，
平 面 O A B 上 の (–
平 面 OCDが 軸 の ) q の 回 転 を 表 す 行 列 は ,
æc os q
ç
ç
ç sin q
ç
R ( q ) = P çç
ç 0
ç
ç
çè 0
ただし ，
P =
- sin q
0
cos q
0
0
1
0
0
uur uur uur
0ö
÷
÷
÷
0÷
÷
÷
P
÷
0÷
÷
÷
÷
1÷
ø
uur
(O A , O B , O C , O D )
1
§3. 超立方体の標準的な展開図
1辺 2の 超 立 方 体 V 「
-1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1, -1 £ z £ 1, 1 £ u £ 3」 上 の 頂 点 を , A (1, - 1, - 1,1),
B (1,1, - 1,1), a(1, - 1, - 1,3), b(1,1, - 1,3) L と す る ． yz 平 面 を 軸 と す る 回 転 を 表 す 行 列 R ( q ) は ,
さ ら に「
fq
æcos q 0 0 - sin q ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç 0
÷
1
0
0
ç
÷
÷
R ( q ) = çç
÷
ç 0
0 1
0 ÷
÷
ç
÷
ç
÷
çè sin q 0 0
co s q ÷
ø
uur
uur uuur
uuur
O P = R (q ) O P - O A + O A 」 と 定 め る と ， f q は
( )
(
)
°
平 面 A B D の 周 り の q の 回 転 を 表 す ．特 に q = - 9 0 の 時 は ,
æ0 ö æ2 ö
æ2 ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
÷
÷
÷
ç ÷ ç ÷
uur
uur
uuur
uur
uuur çç 0 ÷
ç0 ÷ ç0 ÷
ç ÷
ç ÷
fq
° ç
ç
ç ÷
÷
÷
R ( q ) A a = R ( - 9 0 ) çç ÷
=
,
\
O
a
=
O
A
+
A
a
¾
¾
®
O
A
+
÷
÷
÷
ç
ç0 ÷
÷
0
ç0 ÷
ç
ç ÷
÷
÷
ç ÷
ç
ç
ç ÷
ç ÷
ç ÷
÷
÷
÷
çè 2 ø÷ èç 0 ø÷
èç 0 ø÷
[u=1の上への中心投影]
即 ち u 軸 方 向 へ の 平 行 移 動 が , x 軸 方 向 へ の 平 行 移 動 に 変 わ る ． b,c, L に 関 し て も 同 様 だ か ら ,
胞 「 x = 1, - 1 £ y £ 1, - 1 £ z £ 1, 1 £ u £ 3 」 は 「 1 £ x £ 3, - 1 £ y £ 1, - 1 £ z £ 1, u = 1」 に 移 る .
こ の 様 な 回 転 の 繰 り 返 し で , Vの 全 て の 胞 を , 超 平 面 u = 1 上 に 展 開 で き る .
( 以 下 3. 5 ま で は ， こ の 様 に し て 作 成 し た 展 開 図 を ， 様 々 な 投 影 法 で 見 た だ け .)
超直方体の展開図.ggb
§3-1. 超平面u=1上への中心投影
1 辺 の 長 さ は ２ の 超 立 方 体 で ， 胞 A B C D E F G H は u = 1 上 に ， 胞 abcdefgh は u = 3 上 に あ る ．
中 心 投 影 に よ り ， 後 者 は 前 者 を 「 O を 中 心 に 1/3 倍 に 拡 大 し た 図 形 」 と な る ． こ れ を 展 開 す る と ， 胞 A BCD EFG H に 含 ま れ る 胞 が 外 に 出 て き て 「 十 字 架 」 が 出 来 る ．
展開（中心投影)cg3
§3-2. 超平面u=0上への直投影
「 ( x , y , z , u ) ® ( x , y , z )」 で 投 影 . 中 心 投 影 と 似 て い る が ， 元 の 超 立 方 体 の
胞 は 重 な っ て 一 個 し か 見 え な い ．入 れ 子 細 工 を 見 て い る 感 じ が す る .
展開（u=0への直投影)cg3
§3-3. 超平面z=0上への直投影
「 ( x , y , z , u ) ® ( x , y , u )」 で 投 影 ． u 軸 は ， z 軸 を 代 用 ． こ の 展 開 は
「 u = 1 の 上 へ の 展 開 」 な の で ， 投 影 図 は 平 面 u = 1 上 に , 2次 元 的 に 広 が る ．
展開（ｚ=0への直投影)cg3
§3-4. 超立方体の「標準的な直投影」
q= 0
°
q = 30
°
[対角線Ogがz軸方向になる様に回転]
頂 点 A が 原 点 で ， 辺 が x , y , z , u軸 上 に 有 る 単 位 立 方 体 の
A か ら 最 も 遠 い 点 は g(1,1,1,1) で ， A g は 対 角 線 の 1 つ と な る .
こ の 立 方 体 を ,A g が E (0,0,1,0) を 通 る よ う に 平 面 O gE 上 で
回 転 さ せ , 超 平 面 z= 0 上 に 直 投 影 す る と , 1 辺 が 3 /2 の 菱 形
1 2 面 体 に な る .　こ れ が 「 立 方 体 の 標 準 的 な 直 投 影 」 と な る .
「 対角線と 垂直な 超平面に直投影し た 像」 と 同じ ．
q = 60
°
§3-5.「標準的な直投影」で見た展開図
超 直 方 体 V の 展 開 を , 「 対 角 線 と 垂 直 な 超 平 面 に 直 投 影 」 し て 見 る ． 1　つ の 胞 を 回 転 し て 「 外 」 へ 出 し て も ，
し ばら く の 間は, 残っ た 胞と 重な り 合っ て 見え る ．
菱形12面体の展開.cg3
§4. その他の展開図
標 準 的 な 展 開 図 以 外 に も 様 々 な 展 開 図 が あ る ． 下 は そ の 一 例.
様々な展開図.cg3
(1~8 は 「 高 次 元 図 形 サ イ エ ン ス , 京 都 大 学 出 版 会 」 よ り 抜 粋 . 9,10 は 自 作 . )
M athem atica で 作 成 し た 展 開 図 か ら 2 つ の 例 を 挙 げ る . ( 他 の 例 は フ ァ イ ル を ご 覧 く だ さ い .)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
§4-1. 「展開図8」の中心投影
一 度 に 1 室 ず つ 回 転 し た ら 標 準 的 な 展 開 図 に な る ． 以 下 の 図 は ， u=1 上 の 胞 A B C D E FG H 以 外 の 7 室 を
4 室 と 3 室 に 分 け ， 前 者 を ま ず 平 面 A B FE に 関 し て 回 転 ， 後 者 を 平 面 A B C D に 関 し 回 転 し て 作 成 し た .
展開図８.nb
§4-2. 「展開図8」のz=0の上への直投影
「 u = 1 の 上 へ の 展 開 」 な の で ， 投 影 図 は 平 面 u = 1 上 に , 2次 元 的 に 広 が る ．
§4-3. 「展開図7」の中心投影
u=1 上 の 胞 A B C D E FG H 以 外 の 7 室 を , 3 室 と 2 室 と 2 室 に 分 け ，3 室 を ま ず 平 面 A B C D に 関 し て 回 転 ，
2 つ の 2 室 は 平 面 C D H G と 平 面 B D FG に 関 し 回 転 し て 作 成 し た .
展開図7.nb
§4-4. 「展開図7」のz=0の上への直投影
「 u = 1 の 上 へ の 展 開 」 な の で ， 投 影 図 は 平 面 u = 1 上 に , 2次 元 的 に 広 が る ．
まとめ
超直方体の２つの胞は，1つの平面を共有する．
この平面を軸とする回転を繰り返す事によって，
超直方体を，超平面上に展開できる．超角錐，
正多胞体などの超多面体でも，同様に展開可能．
展開の過程は，投影法によって全く違って見える．
また，最終的な展開図形も，色々な形がある．