Transcript 準凹関数
制約なしの関数の最大化問題
• 経済学では関数を最大、ないしは、最小にす
る問題が、いたるところで出る。
• 例 費用の最小化や利潤の最大化
• 予算制約下のような制約付最大化問題は、
次章
一変数関数の最大化
• f(x) (一実変数の実数値関数)の最大化。
• f(x)の最小化は、-f(x)の最大化
• 問題がうまく出来ていれば、微分して0とおけ
ば、求める解が出る。
• 以下では、少し細かく見る
最大化の必要条件
f x がaで微分可能
f ' a 0 f x がaで極大
f x がa, bで微分可能
f ' x * 0 f x がx *で極大 f x がx *で
極小化も同じ
極大化の十分条件
f x
x * を含む a, b で二階連続微分可能
二次式で近似
f x * f ' x * x - x *
f " x *
2
x - x *
2
平均値の定理による評価
x 0,1
f x f x * f ' x * x - x *
f " x x 1 - x x *
2
x - x *
2
x 0,1
f x f x * f ' x * x - x *
f " x x 1 - x x *
2
f ' x * 0 で
f " x * 0
なら
f " x が連続なので
x を十分 x * に近く取れば
f " x 1 - x * 0
0, x x * - , x * f x f x *
x - x *
2
最大化の十分条件についての命題
• 「 f(x)が x*を含む開区間で二階連続微分可能
のとき、 f’(x*) 0, f”(x*) 0ならば、 x*のある近
傍があって、f(x)は x*で、その近傍での最大を
取る 」
• f(x)は x*で、極大をとる
• 局所的な最大だが局大でなく極大
• 微分して0で二階微分が負が極大の十分条件
• 微分して0で二階微分が正が極小の十分条件
• 存在するのは近傍だが、多くの問題は、大域的
に行儀のいい性質を持つ
凹関数
f x 開区間で定義された二階連続微分可能な関数
f " x 0 がその開区間で成立すれば
f ' x 0
x
で一意の最大をとる
このような関数は「厳密な凹関数」
凹関数の定義
0,1 f x 1 - y f x 1 - f y
f x 1 - y
f x 1 - f y
x x 1 - y y
二階微分可能であれば f”(x) 0
0,1 f x 1 - y f x 1 - f y
厳密な凹関数
凸関数と凹関数
0,1 f x 1 - y f x 1 - f y
(厳密な)凸関数
線形関数やアフィン関数は凸関数かつ凹関数
凸関数の例
x2 ,exp x
凹関数の例
x , ln x
準凹関数
関数に最大値を取るあるだけならば、準凹関数で十分
準凹関数の定義
0,1 f x 1 - y min f x , f y
f x 1 - y
min f x , f y
x x 1 - y y
端っこの小さいほうより大きければよく、一様に膨らんでいる
必要はない
準凹関数の注意点
• 単調関数は、すべて準凹関数
• ある区間で二階連続微分可能なら
f’(x)=0 f”(x)<0が十分条件
• 凹関数は準凹関数
• 経済学的には、序数性に対応
• 凹関数の和は、凹関数だが、準凹関数の和
は、準凹関数とは限らない。
[0,∞]上の連続微分関数の最大化の必要条件
ケース 1
x 0, , f ' x 0
ケース 2
x 0, f ' x 0
ケース 1 またはケース と
xf ' x 0, f ' x 0
は同値
例 競争企業の利潤最大化
単一の財を生産する企業
x
生産量
C x
p
価格
総費用(関数)
x px - C x
利潤(関数)
価格を一定として、最大化の必要(一階の)条件(FOC)
微分して0
' x p - C ' x 0 p C ' x
価格=限界費用
極大化の十分条件(二階の条件)
x px - C x
' x p - C ' x 0 FOC
二階微分が負
" x -C " x 0 C " x 0
限界費用は逓増
供給関数
利潤を最大にする生産量を価格の関数とすると、供給関数
x pp
価格=限界費用(FOC)
p C ' x p
両辺を微分
1
1 C " x p x ' p x ' p
C " x p
二階の条件が満たされ、限界費用が逓増すれば正
供給曲線は、右上がり
例
独占企業の利潤最大化
一つの財市場に一つしか企業が無いとする。
p
p
価格
D p
需要関数
厳密に減少的
逆関数が存在
P D p p
D P x x
P x
逆需要関数
C x
総費用(関数)
x P x x - C x
利潤(関数)
P x x R x 収入関数
x R x - C x 利潤(関数)
利潤最大化の必要条件
微分して0
' x R ' x - C ' x 0 R ' x C ' x
限界収入=限界費用
R ' x C ' x
限界収入=限界費用
P x x R x
P x x ' xP ' x P x C ' x 0
限界費用が厳密に正
D P x x D ' P x P ' x 1
1
1
0
xP ' x P x D p
p p 1
pD ' p
D ' p
D p
1
1
0
xP ' x P x D p
p p 1
pD ' p
D ' p
D p
pD ' p
1
D p
dD p
pD ' p
D p
dp
D p
p
需要の弾力性
需要の変化率÷価格の変化率
pD ' p
1
D p
需要の弾力性が1以下
価格を1%上げると需要の減少は1%以下
売上は増え、需要が減るので費用も減る
必ず儲かる
利潤を最大化しているとき価格を上げると、需要が、1%以上減り、
収入が減る
二階の条件
x P x x - C x
微分して0
' x P ' x x P x - C ' x 0
もう一階微分して負
" x xP" x 2P ' x - C " x 0
一階の条件
" x xP" x 2P ' x - C " x 0
C " x 0, P ' x 0, P " x 0 が十分条件
限界費用逓増、需要関数が右下がりで凹
p
「ぼこ」 としている需要曲線
はもっともらしくない
限界費用一定として価格について最大化する
p p - c D p
利潤
微分して0
p - c D p ' p - c D ' p D p 0
もう一階微分して負
p - c D p " p - c D ' p D p '
p - c D " p 2D ' p 0
FOCを代入
-
D p
D ' p
D " p 2D ' p 0
FOC
-
D p
D ' p
D " p 2D ' p 0
D ' p
d 1
,
2
dp D p
D p
2
D
"
p
D
'
p
d
1
2
2
3
2
dp D p D p
D p
2
D ' p D p
D " p 2 D ' p
3
D p D ' p
D ' p 0
d2 1
0
2
dp D p
d2 1
0
2
dp D p
例
-
D p
D ' p
需要関数の逆数が凸関数ならば、
利潤関数が準凹関数
D ' p
d
ln D p
dp
D p
2
D " p D ' p
d
ln D p
0
2
2
dp
D p D p
D " p 2D ' p 0
で大丈夫
D " p D ' p
d
ln D p
0
2
2
dp
D p D p
2
2
需要関数が対数凹関数
例
D p Ae
- p
Caplin and Nalebuff "Aggregation and Imperfect
competion: on the existence of equilibrium",
Econometirca, 1991
費用関数が凸で、需要が微分可能とは限らないとき
Mizuno "On the existence of a unique equilibrium for
models of product differentiation", International
Journal of Industrial Organization, 2003
2変数の関数の極大化
f x, y : x , y でxとyについて偏微分可能
f x , y
f x , y
0,
0が極大化の必要条件
x
y
f x , y
0,でないときはyを変えないで
x
xを少し動かすと大きくも小さくもなる
極大化の十分条件
動く方向が各軸方向とは限らないので
2 f x , y
2 f x , y
0と
0
2
2
x
y
では不十分
各軸方向で x , y から離れると減少するとしても
他の方向では増加するかもしれない。
x r cos
y r sin
で
z r 2 cos 4
展開すると
x4 y 4 - 6 x2 y 2
x2 y 2
z
0
x, y 0, 0
x, y 0, 0
x軸とy軸上では(0,0)で最小、45度線上では最大
鞍点(saddle point)
x r cos
y r sin
で
z r cos 2
2
展開すると
z x2 - y 2
x軸で (0,0)で最小とy軸上では最大
一般の方向での極大
f x x - x , y y - y
f x u, y v
x , y で
x, y
f が極大
0
任意(すべて)の
x, y
x, y x , y に対して
が0で極大
1
0
x 1 - x
任意(すべて)の
x, y x , y
に対して
が0で極大
f x x - x , y y - y
f x u, y v
f x u, y v
'
0
f x x u, y v
0
u f y x u, y v
fx x, y u f y x, y v 0
fx x, y f y x, y 0
0
u
'
0
f x x u, y v
0
u f y x u, y v
0
u
fx x, y u f y x, y v 0
"
0
f xx x u, y v
2 f xy x u, y v
2
u
0
0 uv f yy x u, y v
f xx x , y u 2 2 f xy x , y uv f yy x , y v 2 0
when x, y x , y u, v 0,0
u, v 1,0 , u, v 0,1
f xx x , y 0, f yy x , y 0
2
v
0
f xx x , y u 2 f xy x , y uv f yy x , y v 0
2
2
v 0, f xx x , y 0
2
f xy x , y u f yy x , y
2 u
f xx x , y v 2
0
v
f
x
,
y
v
f
x
,
y
xx
xx
判別式が負
f xy x , y
f yy x , y
0
2
- 4
f xx x , y
f xx x , y
2
f xy x , y f xx x , y f yy x , y
2
多変数の関数の最大化
最大化の必要条件
f x1 , x2 ,..., xn
n(実)変数の実関数
f x x1 , x2 ,..., xn x
最大化の必要条件(一階の条件 )
f x 連続微分可能
x1, x2 ,..., xn x
(端ではない)
一つのiについて、
f x1 , x2 ,..., xn
xi
の一つの近傍が定義域に含まれる
0
xiを大きくするか小さくすれば
f(x)は大きくも小さくもなる
一つのiについて、
f x1 , x2 ,..., xn
xi
xiを大きくするか小さくすれば
0
f(x)は大きくも小さくもなる
対偶をとる、
x1, x2 ,..., xn
f x1 , x2 ,..., xn
xi
で f(x)が極大(極小)
f x
xi
0, i 1,..., n
グラディエント・ベクトルと
f x
x
1
f x
f x x2
f x
x
n
最大化(最小化)の必要条件
f x 0
例 利潤最大化
K , L pK L - rK - wL
0, 0, 1
コッブ・ダグラス生産関数による利潤
利潤最大化の一階の条件(微分して0)
K , L
K
K , L
L
pK
-1
L - r 0 pK
-1
pK L
-1
L r
-1
- w 0 pK L
w
pK
-1
L r
-1
pK L
w
対数を取る
ln ln p - 1 - ln K ln L ln r
ln ln p ln K - 1 - ln L ln w
連立方程式を解く
1 - ln r - ln ln w - ln - ln p
ln K
- 1 - 1 -
1 - ln r - ln - ln p ln w - ln - ln p
1- -
ln r - ln 1 - ln w - ln - ln p
ln L
- 1 - 1 -
-
ln r - ln - ln p 1 - ln w - ln - ln p
1- -
ln K -
1 - ln r - ln - ln p ln w - ln - ln p
1- -
ln r - ln - ln p 1 - ln w - ln - ln p
ln L 1- -
元にもどす
r
K
p
-
1-
1- -
r
L
p
-
1- -
w
p
-
w
p
-
1- -
1-
1- -
共にrとwの減少関数
ln ln p - 1 - ln K ln L ln r
ln ln p ln K - 1 - ln L ln w
rで偏微分する
1 K
1 L 1
- 1 -
K r
L r r
1 K
1 L
- 1 -
0
K r
L r
連立方程式を解く
1 K
1
1-
1
1-
K r - 1 - 1 - r
1- - r
1 L
1
1
L r - 1 - 1 - r
1- - r
1 K
1 L 1
K r
L r r
1 K
1 L
- 1 -
0
K r
L r
- 1 -
全微分式に書く
1
1
dr
- 1 - dK dL
K
L
r
1
1
dw
dK - 1 - dL
K
L
w
ロチェスター・ハットを使う
- 1 - Kˆ Lˆ rˆ
Kˆ - 1 - Lˆ wˆ
- 1 - Kˆ Lˆ rˆ
Kˆ - 1 - Lˆ wˆ
行列で書くと
Kˆ rˆ
- 1 -
- 1 - Lˆ wˆ
逆転する
-1
ˆ
K - 1 -
rˆ
Lˆ
- 1 - wˆ
- rˆ
- 1 -
1
- 1 - wˆ
1 - - -
1- -
1
1 - rˆ wˆ
rˆ 1 - wˆ
K , L pK L - rK - wL
1
例
K , L
2
3
pK -1 L - r ,
K
2
K , L
-2
- 1 pK L 0
2
K
Kについて二階の条件を満たし
Lについても同様に二階の条件を満たす
K , L pK L - rK - wL
1
例
2
3
K Lx
13
K , L px - r w x px x - r w
3
x r w
4
3
xを大きくするとΠはいくらでも大きくなり、最大値をとらない。
極大化の十分条件(二階の条件)
• 極大化の十分条件については、少しややこしい
• 変数が一つの座標軸の方向のみに動くわけでは
ない
2 f x
0
2
xi
では十分ではない
一般の方向での極大
f x 1 - x
f x1 1 - x1 ,..., xn 1 - x n
1
x
x で
f が極大
0
任意(すべて)の
が0で極大
x に対して
x
0
x 1 - x
一階の条件 (必要条件)
f x 1 - x
f x1 1 - x1 ,..., xn 1 - x n
で 微分して0で 評価して0
'
df x1 1 - x1 , x2 1 - x2 ,..., xn 1 - xn
d
f
f
f
x1 - x1 x2 - x2 ... xn - xn
x1
x2
xn
f x 1 - x
T
x - x
f
f
f
'
x1 - x1 x2 - x2 ... xn - xn
x1
x2
xn
f x 1 - x
T
x - x f x 1 - x , x - x
が 0 で任意の xに対して0
f x
x1
f x
x2
...
f x 0
f x
xn
0
二階の条件 (十分条件)
f
f
f
'
x1 - x1 x2 - x2 ... xn - xn
x1
x2
xn
で もう一回微分して負
x 1 - x ,..., x
1
1
n
1 - x n
が独立変数
2 f
2 f
2 f
2
" 2 x1 - x1
x1 - x1 x2 - x2 ...
x1 - x1 xn - xn
x1
x1x2
x1xn
2 f
2 f
2 f
2
x2 - x2 x1 - x1 2 x2 - x2 ...
x2 - x2 xn - xn
x2 x1
x2
x2 xn
.....
2 f
2 f
2 f
2
x
x
x
x
x
x
x
x
...
x
x
n n 1 1
n n 2 2
n n
xn x1
xn x2
xn 2
2 f
i 1 j 1
xi - xi x j - x j
xi x j
n
n
x
極大の十分条件は0で 任意の
について
n
n
2 f
" i 1 j 1
xi - xi x j - x j 0
xi x j
2 f
2
x
1
2 f
F x2 x1
2 f
xn x1
2 f
x1x2
2 f
x2 2
2 f
xn x2
行列で書く
" x - x F x - x 0
T
2 f
x1xn
2 f
x2 xn
2
f
xn 2
ヘッセ行列
2 f
2
x
1
2 f
F x2 x1
2 f
xn x1
2 f
x1x2
2 f
x2 2
2 f
xn x2
2 f
x1xn
2 f
x2 xn
2
f
xn 2
グラディエント・ベクトルのヤコビ行列
fが二回連続微分可能
2 f
2 f
xi x j x j xi
ヘッセ行列は対称
二次形式
A
x
T
:n次(n行n列)の実対称行列
:n次元の実ベクトル
x Ax
2次形式
なので実数(1次元)になる
正定符号
A
:n次(n行n列)の対称行列
x Ax 0
T
A
が任意の
が正定符号
x 0 について成立
負定符号
A
:n次(n行n列)の対称行列
x Ax 0
T
A
が任意の
が負定符号
x 0について成立
半正(半負)定符号
A
:n次(n行n列)の対称行列
x Ax 0 が任意の x
T
A
について成立
が半正(半負)定符号
極大の十分条件は0で 任意の
x
について
" x - x F x - x 0
T
ヘッセ行列で
F
が負定符号
二回連続微分の関数fのグラディエントが定義
域の内点 x で、0で、そのヘッセ行列がそこで
負定符号ならば、 f は、 x で極大を取る
二変数のときの負定符号の条件
f x, y の極大の必要条件
2 f
f xx 2 0
x
f xx f yy f xy
2 f
f yy 2 0
y
f
xy
2
2
2
軸方向の効果がクロスの効果より大きい
二次形式と固有値
A
:n次(n行n列)の実対称行列
-1
A T T
1 0
0
2
0 0
1 ,..., n 実数
0
0
,T 0
n
T 実行列にでき T -1 T T
-1
A T T T T
T
T
T -1 T T
x Ax 2次形式
T
T
T T
x Ax x T Tx Tx Tx
x Ax x T Tx Tx Tx
T
T
T
T
y1
y2
Tx y
yn
1 0
0
2
0 0
0
0
n
x Ax Tx Tx
T
T
y y y ... n yn
T
2
1 1
2
x Ax Tx Tx
T
T
y y y ... n yn
T
2
1 1
2
1 ,..., n がすべて非負(非正)のときには、二次
形式は、必ず非負(非正)
A は、半正(半負)定符号
x Ax Tx Tx
T
T
y y y ... n yn
T
2
1 1
T 0
2
x 0 y Tx 0
x 0 Tx y 0
1 ,..., n がすべて負(正)のときには、二次形式
は、必ず負(正)
A は、負 (正)定符号
固有方程式
実は
1 ,..., n は固有値(以下で説明)
Ax x
が0でない解を持つとき、
は A の固有値
x は 対応する固有ベクトル
Ax x が0でない解を持つ
A - I x 0 が0でない解を持つ
A - I が正則
x A - I 0 0
-1
A - I が特異
A - I
a11 -
a12
a1n
a21
a22 -
a2 n
an1
al 2
ann -
0
a11 -
a12
a1n
a21
a22 -
a2 n
an1
al 2
ann -
A - I
のn次方程式
a11 -
a12
a1n
a21
a22 -
a2 n
an1
al 2
ann -
a11 -
a22 -
a21
a2 n
a11 - a22 -
ann -
a33 -
a13
a1n
a23 -
a2 n
al 3
ann -
an1
a3n
...
an 3
小行列式分解
- a12
an 2
0
ann -
.....
A - I
a11 -
a12
a1n
a21
a22 -
a2 n
an1
al 2
ann -
0
のn次方程式
重根を含むとn個の根
-1
A T T T T
T
の の対角上の 1 ,..., n
に一致
ジョルダン標準形
A
:n次(n行n列)の実行列(対称とは限らない)
固有方程式が重根を持たない
-1
A T T
ジョルダン標準形
1 0
0
2
0 0
0
0
,T 0
n
1 ,..., n 実数とは限らない
-1
T
T T は成立しない
ジョルダン標準形について
• 線形代数の入門書の最後に出てくる
• 一人で勉強していたら、だいたいこの前で落
ちる
• 講義でも、ちゃんと付いている人は少ない
• 固有方程式に重根がある場合はややこし
い・・・本を見てわかればいい。
例 二次行列の固有値と固有ベクトル
a b
A
b c
固有方程式
A - I
-a
b
b
-c
- a - c - b
- a c ac - b
2
2
0
2
- a c ac - b 0
2
2
根の公式
a c
2
a
c
4
ac
b
2
2
a c a - c
2
2
4b
2
a c a c
2
- 4 ac - b 2
2
a c
2
a
c
4
b
2
aとcの符号が違う
2
ac
a - c
+の根と-の根がある。
正定符号でも負定符号でもない
2
4b2
a c a c
2
- 4 ac - b 2
2
a c
2
a
c
4
b
2
2
正定符号の場合(2根とも正)
a 0, c 0
ac
a - c
2
ac - b 2 0
4b2
a c a c
2
- 4 ac - b 2
2
a c
2
a
c
4
b
2
2
負定符号の場合(2根とも負)
a 0, c 0
ac
4b2
ac - b 2 0
ヘッセ行列では
f xx 0
a - c
2
f yy 0
f xx f yy f xy 2
多変数の凹関数と準凹関数
凹関数の定義
0 1 f x 1 - y f x 1 - f y
f x 1 - f y
f x 1 - y
f y
f x
x
x 1 - y
y
凸関数の定義
0 1 f x 1 - y f x 1 - f y
直感的には一様にへこんでいるが
直線(平面)部分があっもいい
厳密な凹(凸)関数の定義
0 1 f x 1 - y f x 1 - f y
直感的には一様に膨らんでいるか
へこんでいて
直線(平面)部分は無い
(厳密な)準凹関数の定義
0 1 f x 1 - y min f x , f y
(厳密な)準凸関数の定義
0 1 f x 1 - y max f x , f y
凸関数凹関数とヘッセ行列
連続微分可能な関数 f
f が厳密な凸関数
f のヘッセ行列が正定符号
f が厳密な凹関数
f のヘッセ行列が負定符号
準凹(凸)関数と凹(凸)関数の関係
f が凸関数
f が 凹関数
f が準凸関数
f が準凹関数
凸集合
凸集合の定義
x A, y A,0 1 x 1 - y A
凸集合の例
凸集合でない例
線分の両端が入っているが
真ん中は入っていない
準凹関数の最大化
f が準凹関数
x : f x y が任意のyについて凸集合
f が準凹関数
f が厳密な準
凹関数
最大値をとるxの集合は凸集合
最大値をとるxの集合は一点