Transcript 9月2日第4時限
第３日目第４時限の学習目標 第１日目第３時限のスライドによる、名義尺 度２変数間の連関のカイ２乗統計量について の復習 ２変量間の連関の強さの統計的有意性検定の 理論と方法を学ぶ。 第１日目第３時限での演習（３）で使った データのカイ２乗統計量（イエーツの修正済 み）を用いて、当該カイ２乗統計量の統計的 有意性検定の演習を行う。 カイ２乗統計量の統計的有意性検定（１） 連関のカイ２乗統計量の復習 第１日目第３ 時限のスライ ドを見て、２ つの名義尺度 間の連関のカ イ２乗統計量 について復習 をしよう。 カイ２乗統計量の統計的有意性検定（２） カイ２乗統計量の理論分布（１） 既に述べた、一般の r ×s 分割表の場合の（ピア ソンの）カイ２乗統計量 r s 2 ( fij gij )2 / gij , i 1 j 1 ここで、 gij fi f j / N は、２変量間に関連がない、という帰無仮説 のもと で、近似的に自由度 ν=(r-1)(s-1) なるカイ２乗 分布に従うことがわかっている。 カイ２乗統計量の統計的有意性検定（３） カイ２乗統計量の理論分布（２）（参考） それでは、一般に、自由度 ν のカイ２乗分布とは、 どんな分布であろうか。この理論分布（密度関 数）は、つぎのように書かれる： 1 1 2 2 f ( x) e x , 0 x 2 2 2 カイ２乗統計量の統計的有意性検定（４） カイ２乗統計量の理論分布（３）（参考） ここで、Γ（ν/2） はガンマ関数と呼ばれ、次式 で定義される： 1 x 2 x e dx, 0. 2 0 カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） カイ２乗統計量の理論分布（３）（参考） 自由度２以下 のカイ２乗分 布は、単調な 減少関数とな る。 確 率 一方、自由度 が２より大き い場合のカイ ２乗分布は右 のような図と なる。 ν－２ ｘ カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 永平寺データの例での有意性検定（１） つぎに、第１日目に計算した永平寺データの「性と坐 禅指導の評価」間の関連性のカイ２乗統計量をもとに、 当該２変量間には統計的に有意な関連がみられるかど うかを見てみよう。 そのためには、まず当該分割表の行数が２、列数が３ であることを思い出し、カイ２乗分布の自由度が、 ν=(2-1)(3-1)=2 となることに注意しよう。 さらに、既に第１日目に見せたように、このデータの 期待度数はすべて５以上なのでイエーツの修正は不 要であることにも注意しよう。 カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 永平寺データの例での有意性検定（２） もし統計ソフトを利用しないならば、つぎのような カイ２乗分布の棄却点についての数値表を見て、検 定の危険率と上記自由度に対応する棄却点の値を読 みとり、上記カイ２乗統計量と比較し、 カイ２乗統計量の値が、棄却点の値以上ならば、帰 無仮説を棄却する。このことは、性と坐禅の評価の 間には有意な関連があることを意味する。 そうでなく、カイ２乗統計量の値が、棄却点の値未 満ならば、帰無仮説を採択する。このことは、性と 坐禅の評価の間には有意な関連が見られないことを 意味する。 自由度 ν の χ2-分布の棄却点の値の読み取り方 α のこ と … 0.05 … 0.01 .064 … 3.841 … 6.635 .211 .446 … 5.991 … 9.210 .584 1.649 … 7.815 … 11.345 … 43.773 50.892 p 0.90 1 .016 2 3 0.80 ν ∶ 30 20.599 ∶ 23.364 カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 永平寺データの例での有意性検定（3） この表を見ると、明らかにデータから計算さ れるカイ２乗統計量の値から、性と坐禅の評 価の間には少なくとも１％水準で統計的に有 意な関連があると言える。 一方、国際的な統計ソフトの１つである SAS の出力を見ると、以下のようになり、両者の 間には１％以上の高い水準で、性と坐禅の評 価の間には少なくとも１％水準で統計的に有 意な関連があることがわかる。 カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 永平寺データの例での有意性検定（４） Statistic Chi-Square Likelihood Ratio Chi-square DF Value Prob 2 2 17.889 20.400 0.000 0.000 Statistic の項の Chi-square の項が、ピアソンのカイ二乗検定 結果、Likelihood …の項が、尤度比カイ二乗検定結果である。 通常は、ピアソンのカイ二乗検定の p 値を見る。この例から は、両変数間には１パーセント以上の高い水準で有意な関連 性があることがわかる。 カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 永平寺データの例での有意性検定（５） いずれにせよ、性と坐禅の評価の間には統計的に有 意な関連があることがわかったので、最後に我々は 第１日目に示した各セルの実度数、期待度数、セル カイ２乗値を見ながら、どのセルに両変量間の関連 性の特徴が顕著に表れているのかを検討すると良い 。 その際、注意すべきは、われわれは各セルの実度数 のみで当該セルの度数の多少を論じてはいけない、 ということである。なぜならば、実度数は各行や各 列の合計（すなわち周辺度数）に依存しており、周 辺度数の異なる行や列の実度数の単純な比較は問題 性と坐禅指導の評価間の分割表情報 厳し 適当 過ぎた 275 27 292.6 男 22.0 1.13 1.06 3 124 8.00 106.4 女 3.12 2.93 30 399 計 もっと 厳しく 75 62.3 2.57 10 22.66 7.07 85 計 377 137 514 カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 永平寺データの例での有意性検定（６） この表のセルのうち、赤印で示したのは、各セルの セルカイ２乗値の相対的に大きいもの３つである。 これらのセルは、当該分割表のカイ２乗値に対して 大きく貢献しているセルであるので、これらのセル の特徴を見ることは、上記目的に合致する。 これらの各セルについて、各セルの実度数が多いか 少ないかは、各セルの期待度数と比較すればよい。 例えば、女子で（坐禅指導を厳しすぎたとする）者( ３名）は、（期待度数 8 名ほどに比べて）少なかっ たと言える。 演習９ 演習（２）で作成し、演習（３）で計算した 各自の２×２分割表（性と向性）間の分割表の カイ２乗統計量を用いて、性と向性の間の関 連性に有無の検定を行え。 帰無仮説の採択または棄却を、さきほどのカ イ２乗統計量の棄却点の値を読み取り、決定 せよ。 この場合、カイ２乗統計量の自由度は、幾つ か。 最後に、統計ソフト SAS を用いて、検算をし てみよう。