Transcript نکته - گروه برق دانشگاه آزاد اسلامی واحد جاسب

‫فصل دوم (مفاهیم و مباحث احتماالت)‬
‫اگر در یک فرآیند ‪ S‬مرتبه فرآیند درست اتفاق بیافتد و ‪ F‬مرتبه فرآیند موفق نباشد احتمال آن‬
‫که در یک آزمایش این فرآیند موفقیت آمیز باشد و یا نباشد مطابق با فرمول زیر است‪:‬‬
‫تعداد موفق بودن فرآیند ‪S:‬‬
‫تعداد موفق نبودن فرآیند ‪F:‬‬
‫‪𝑝+q=1‬‬
‫𝑠‬
‫𝑓‪𝑠+‬‬
‫𝑓‬
‫=‪q‬‬
‫𝑓‪𝑠+‬‬
‫=𝑝‬
‫موفقیت آمیز باشد‬
‫موفقیت آمیز نباشد‬
‫• مثال‪ :‬برای یک سکه احتمال شیر آمدن و یا خط آمدن چیست؟‬
‫‪ =2‬کل حاالت‬
‫یک حالت شیر‬
‫یک حالت‬
‫خط‬
‫‪𝑝+𝑞 =1‬‬
‫‪ q=1/2‬احتمال خط آمدن‬
‫‪ p=1/2‬احتمال شیر آمدن‬
‫• تمرین ‪ :‬مطلوب است احتمال اینکه عدد پرتاب یک تاس عدد فرد باشد؟‬
‫• تمرین ‪ :‬مطلوب است احتمال اینکه مجموع پرتاب دو تاس برابر ‪ 9‬باشد ؟‬
‫معرفی ترتیب و ترکیب در احتماالت ‪:‬‬
‫‪ : permutation‬ترتیب‬
‫‪: combination‬ترکیب‬
‫‪ -1‬ترتیب (‪)permutation‬‬
‫به مسائلی مسئله ی ترتیب در احتماالت گفته می شود که بخواهیم از تعداد ‪ n‬عضو ‪ r‬عضو مختلف را‬
‫کنار هم قرار دهیم‪.‬‬
‫• نکته ‪ :‬شرایط ترتیب ‪:‬‬
‫‪ -1‬کلیه ی عضوها با یکدیگر متفاوت باشند‪.‬‬
‫‪ -2‬عضوها تکراری نباشد‪.‬‬
‫‪ -3‬هیچ گونه محدودیتی در آرایش دهی وجود نداشته باشد‪.‬‬
‫جایگاه های انتخابی (ترتیب انتخاب) برای ما مهم نباشد‪.‬‬
‫!𝑛‬
‫! 𝑟‪𝑛−‬‬
‫= 𝑟𝑃𝑛‬
‫• مثال ‪ :‬اگر بخواهیم ‪ 4‬عدد تک رقمی را در ‪ 4‬مکان قرار دهیم تعداد کل حاالت چگونه است؟ (بدون تکرار)‬
‫!‪4‬‬
‫‪= 24‬‬
‫!‪0‬‬
‫= ‪4𝑝4‬‬
‫‪4 3 2 1‬‬
‫همین مثال را به ازای ‪ 2‬مکان در نظر بگیریم ؟‬
‫!‪4‬‬
‫‪= 12‬‬
‫!)‪(4 − 2‬‬
‫= ‪4𝑝2‬‬
‫• مثال‪ :‬مطلوب است آرایش و تعداد ترکیبات ‪ 3‬کتاب از ‪ 7‬کتاب را بیان کنید؟‬
‫‪4 3‬‬
‫• مثال ‪ :‬مطلوب است چند عدد سه رقمی را می توان با ارقام ‪ 0‬تا ‪ 19‬ایجاد کرد ؟‬
‫الف ‪ :‬در حالتی که هیچ یک از ارقام تکرار باشند؟‬
‫ب ‪ :‬هر یک از ارقام قابل تکرار باشند؟‬
‫حل الف ‪:‬‬
‫در حالت الف محدودیت در ارقام داریم پس از حالت ترتیب نمی توانیم برویم‬
‫‪9×9×8‬‬
‫‪9 × 10 × 10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ -2‬ترکیب (‪)combination‬‬
‫منظور از ترکیب انتخاب ‪ r‬عضو از ‪ n‬عضو کل می باشد با این تفاوت نسبت به ترتیب انتخاب ها مهم نباشد‪.‬‬
‫همه ی اینها ‪ 1‬حالت است در ترکیب عدد ‪ 1‬و ‪ 2‬و ‪3‬‬
‫در ترکیب ‪ 6‬حالت وجود دارد چون ترکیب انتخاب مهم است‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫!𝑛‬
‫𝑟𝑃𝑛‬
‫!𝑛‬
‫! 𝑟‪𝑛−‬‬
‫= 𝑟𝐶𝑛‬
‫=‬
‫=‬
‫!𝑟‬
‫!𝑟‬
‫!𝑟 ! 𝑟 ‪𝑛 −‬‬
‫• مثال ‪ :‬مطلوب است انتخاب ‪ 3‬کتاب از ‪ 7‬کتاب مستقل از آرایش کتاب ها؟‬
‫• مثال ‪ :‬مطلوب است انتخاب یک هیئت ‪ 6‬نفره از بین ‪ 6‬مرد و ‪ 6‬زن به نحوه ی که حداقل تعداد زنان در‬
‫این هیئت سه نفره باشد؟‬
‫‪ 6‬زن ‪ 5+‬زن ‪ 4+‬زن ‪ 3+‬زن انتخاب شود = تعداد حاالتی که حداقل ‪ 3‬زن انتخاب شود‬
‫‪= 6𝐶3 × 6𝐶3 + 6𝐶4 × 6𝐶2 + 6𝐶5 × 6𝐶1 + 6𝐶6‬‬
‫• مثال ‪ :‬مطلوب است تعداد حاالتی که در مثال قبل حداقل یکی از اعضای هیئت مرد باشد؟‬
‫دیاگرام ون ‪:‬‬
‫یک مفهوم و شکل شهودی جهت آشنایی با مفاهیم احتمال‬
‫الف ‪ :‬احتمال ‪ A‬و ‪ B‬هیچ اشتراکی ندارد‬
‫کل حاالت ( ‪ S‬فضای احتمال کل)‬
‫مستقل از هم هستند‪.‬‬
‫‪𝑃 𝐴∩𝐵 = 0‬‬
‫مساحت 𝐴‬
‫کل مساحت‬
‫مساحت 𝐵‬
‫کل مساحت‬
‫= 𝐴 𝑃‬
‫= 𝐵 𝑃‬
‫‪𝑃 𝐴∩𝐵 ≠0‬‬
‫ب ‪ :‬حالتی که ‪ A‬و ‪ B‬اشتراک داشته باشند‪.‬‬
‫کل حاالت ( ‪ S‬فضای احتمال کل)‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫𝐵∩𝐴 𝑃‬
‫𝐵∪𝐴 𝑃→‬
‫مساحت𝐵 ∩ 𝐴 ‪ −‬مساحت𝐵 ‪ +‬مساحت𝐴‬
‫کل مساحت‬
‫= 𝐵∪𝐴 𝑃‬
‫)𝐵 ∩ 𝐴(𝑃 ‪= 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 −‬‬
‫ج ‪ :‬حادثه ی ‪ A‬زیرمجموعه حادثه ‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫قواعد تلفیق احتماالت‪:‬‬
‫قاعده ‪1‬‬
‫حوادث مستقل (‪:)Independent events‬‬
‫حادثه ای را مستقل از هم گویند که احتمال وقوع یکی در دیگری هیچ تاثیری نداشته باشد (دو حادثه که‬
‫به طور همزمان اتفاق نمی افتد و هیچ وجه مشترکی ندارد‪).‬‬
‫مثل پرتاب یک سکه و یک تاس‬
‫قاعده ‪2‬‬
‫حوادث ناسازگار (‪: )Mutulty Exclusiv Event‬‬
‫حادثه ای دو به دو ناسازگار گویند که به طور همزمان اتفاق نمی افتد و هیچ وجه مشترکی ندارد‪ .‬تنها تعداد‬
‫حاالت مثل باالیی است ولی فضای احتمالی آنها مثل هم است‪.‬‬
‫قاعده ‪3‬‬
‫حوادث مکمل (‪:)Compelementary Event‬‬
‫این حوادث را به این علت مکمل یکدیگر گویند چون اگر یکی اتفاق نیافتد ‪ %10‬دیگری اتفاق می افتد‪.‬‬
‫فضای حالت‬
‫‪B‬‬
‫‪𝑃 𝐴) + 𝑃(𝐵 = 1‬‬
‫‪A‬‬
‫دو فضای مکمل از نظر احتمالی ناسازگارند‪.‬‬
‫)𝐵(𝑃 = ‪𝑃 𝐴′‬‬
‫قاعده‪4‬‬
‫احتمال شرطی (حادثه ی شرطی)(‪:)Conditional Events‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪P(A ∩ B‬‬
‫)‪P(B‬‬
‫)‪ P(B‬اتفاق افتاده باشد با چه احتمالی ‪ A‬اتفاق می افتد‪.‬‬
‫‪ A‬اتفاق افتاده باشد با چه احتمالی ‪ B‬اتفاق می افتد‪.‬‬
‫ظرف ‪B‬‬
‫)𝐵 ∩ 𝐴(𝑃‬
‫= 𝐴𝐵 𝑃‬
‫)𝐴(𝑃‬
‫ظرف‪A‬‬
‫• مثال ‪:‬‬
‫‪)=3/6=1/2‬سفید(‪P‬‬
‫‪│B)=2/3‬سفید(‪P‬‬
‫= ‪P AB‬‬
‫‪│A)=1/3‬سفید(‪P‬‬
‫قاعده ‪ AND( : 5‬منطقی)‬
‫وقوع همزمان حوادث (‪:)Simultaneous Events‬‬
‫𝐵∩𝐴 𝑃‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫نکته ‪ : 1‬اگر دو حادثه مستقل از هم باشند‬
‫)𝐵(𝑃 × )𝐴(𝑃 = 𝐵 ∩ 𝐴 𝑃‬
‫حال برای ‪ n‬حالت اگر مستقل باشند (طبق استقرا)‬
‫) 𝑚𝐴(𝑃 × … ‪𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑚 = 𝑃 𝐴1 × 𝑃 𝐴2 × 𝑃 𝐴3‬‬
‫نکته ‪ :2‬حوادث وابسته‬
‫𝐴 𝐵 𝑃× 𝐴 𝑃 = 𝐵 𝐴 𝑃× 𝐵 𝑃= 𝐵∩𝐴 𝑃‬
‫)𝐵 ∩ 𝐴(𝑃‬
‫= 𝐵𝐴 𝑃‬
‫)𝐵(𝑃‬
‫•‬
‫مثال‪ :‬یک مجموعه ای از کارتها که ر چهار رنگ مختلف قرار دارد مطلوب است اگر تعداد کل کارتها‬
‫‪ 48‬کارت باشد و بر روی ‪ 2‬عدد از کارتها در هر رنگ ضربدر قرار داده شده باشد مطلوب است اگر‬
‫حادثه ‪ A‬خروج کارت قرمز و حادثه ‪ B‬وجود ضربدر روی آن باشد احتمال وقوع همزمان ‪ A‬و‪ B‬را‬
‫محاسبه کنید؟‬
‫‪12‬‬
‫= 𝐴 𝑃‬
‫‪48‬‬
‫‪8‬‬
‫= 𝐵 𝑃‬
‫‪48‬‬
‫‪2 12‬‬
‫‪1‬‬
‫×‬
‫=‬
‫‪12 48 24‬‬
‫= 𝐴 𝑃 𝐴│𝐵 𝑃 = 𝐵 ∩ 𝐴 𝑃‬
‫‪2‬‬
‫= 𝐴│𝐵 𝑃‬
‫‪12‬‬
‫• مثال‪ :‬اگر در مثال باال کارت قرمز در نیامده باشد با چه احتمالی ممکن است کارت درآمده سبز باشد؟‬
‫قاعده ‪ OR( 6‬منطقی) ‪:‬‬
‫احتمال وقوع حوادثی که حداقل یکی از دو حادثه اتفاق بیافتد‪.‬‬
‫)‪𝑃(A ∪ B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫الف ‪ :‬در حوادث مستقل ولی ناسازگار نیستند‬
‫‪= 1 − 𝑃 𝐴′ ∩ 𝐵′ = 1 − 𝑃 𝐴′ × 𝑃 𝐵′ = 1 − 1‬‬
‫‪′‬‬
‫𝐵∪𝐴 𝑃‪𝑃 𝐴∪𝐵 =1−‬‬
‫ب ‪ :‬دو حادثه ی دو به دو ناسازگار‬
‫‪𝑃 A∩B =0‬‬
‫)‪𝑃 A ∪ B = P A + P(B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫به طور تعمیم یافته برای ‪ n‬حادثه دو به دو ناسازگار‬
‫) 𝑚𝐴(𝑃 ‪𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑚 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + 𝑃 𝐴3 + ⋯ +‬‬
‫ج ‪ :‬دو حادثه ی غیر مستقل‬
‫)‪𝑃 A ∪ B = P A + P B − P A P B│A = P A + P B − P B P(A│B‬‬
‫• مثال ‪ :‬احتمال اینکه قطعه ی ‪ A‬و ‪ B‬سالم باشد چقدر است اگر احتمال سالم بودن قطعه ی ‪ 9/0 ،A‬و احتمال سالم‬
‫بودن قطعی ‪ 95/0 ،B‬باشد‪.‬‬
‫‪P(A)=0.9‬‬
‫احتمال سالم بودن‬
‫‪P(B)=0.95‬‬
‫الف ‪ :‬احتمال اینکه ‪ A‬و ‪ B‬سالم باشند؟‬
‫مستقل و سازگار‬
‫‪𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0.9 × 0.95 = 0.855‬‬
‫ب ‪ :‬احتمال اینکه حداقل یکی از قطعات سالم نباشد؟‬
‫‪1 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0.145‬‬
‫ج ‪ :‬احتمال اینکه یکی از قطعات ناسالم باشد ؟‬
‫‪= 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 2𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0.9 + 0.95 − 2 × 0.855‬‬
‫𝐵 ∪ 𝐴 𝑃 ‪1 − [𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 + 1 −‬‬
‫‪= 0.14‬‬
‫• مثال‪ :‬احتمال جمع دو عدد در هر بار ریختن دو تاس به طوری که جمع آنها برابر با ‪ 9‬شود؟‬
‫‪4‬‬
‫‪36‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪→ 𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ A3 ∪ 𝐴4‬‬
‫= ) 𝑖𝐴(𝑃‬
‫‪𝑖=1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪36‬‬
‫‪𝐴1 : 3,6 → 𝑃 𝐴1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪36‬‬
‫‪𝐴2 : 4,5 → 𝑃 𝐴2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪36‬‬
‫= ‪𝐴3 : 6,3 → 𝑃 𝐴3‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪36‬‬
‫‪𝐴4 : 5,4 → 𝑃 𝐴4‬‬
‫• مثال ‪ :‬در مسئله ی قبلی که ‪ 48‬عدد کارت وجود داشت احتمال خروج کارت قرمز یا سبز و یا هر دو در‬
‫یک انتخاب چقدر است؟‬
‫مستقل نیستند و سازگارند چون اشتراک دارند‪.‬‬
‫قرمز بودن کارت‪A :‬‬
‫سبز بودن کارت‪B :‬‬
‫𝐵│𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 ‪𝑃 A ∪ B = P A + P B − P A ∩ B = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 −‬‬
‫‪12 8‬‬
‫‪8 2 20 2‬‬
‫‪18‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫= ×‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪48 48 48 8 48 48 48‬‬
‫‪18‬‬
‫=‬
‫‪: 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵│𝐴 = 48‬راه دوم‬
‫کاربرد احتمال شرطی ‪:‬‬
‫نحوه ی بدست آوردن احتمال وقوع یک حادثه وقتی که یک حادثه به وقوع حوادثی ارتباط دارد از این حوادث‬
‫دو به دو با هم ناسازگارند( هیچ اشتراکی ندارند)‬
‫𝑛𝐵 ∩ 𝐴 𝑃 ‪𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝑆 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵1 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵2 + ⋯ +‬‬
‫⋯ ‪= 𝑃 𝐵1 × 𝑃 𝐴│𝐵1 + 𝑃 𝐵2 𝑃 𝐴│𝐵2 +‬‬
‫• مثال‪ :‬اگر میزان محصول یعنی در بازار ناشی از تولیدات دو کارخانه باشد به نحوی که ‪ %70‬این محصول‬
‫از کارخانه ‪ 1‬و ‪ %30‬آن از کارخانه ‪ 2‬باشد و میزان درصد سالم بودن محصوالت کارخانه ‪ %90 ، 1‬و‬
‫میزان سالم بودن محصوالت کارخانه ‪ %80 ،2‬باشد مطلوب است ‪:‬‬
‫الف ‪ :‬میزان سالم بودن محصوالت داخل بازار با چه احتمالی است ؟‬
‫ب ‪ :‬احتمال اینکه محصول سالم محصول کارخانه ‪ 2‬باشد ؟‬
‫فضای کل حالت = محصوالت بازار‬
‫‪ %70‬کارخانه ‪1‬‬
‫‪ %30‬کارخانه ‪2‬‬
‫الف ‪:‬‬
‫سالم بودن باشد ‪A:‬‬
‫محصول کارخانه ‪B1: 1‬‬
‫محصول کارخانه ‪B2: 2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫=‬
‫×‬
‫‪+‬‬
‫×‬
‫‪= 87%‬‬
‫‪10 10 10 10‬‬
‫‪𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵1 𝑃 𝐴│𝐵1 + 𝑃 𝐵2 𝑃 𝐴│𝐵2‬‬
‫ب‪:‬‬
‫‪𝑃(𝐵2 ∩ 𝐴) 𝑃 𝐵2 𝑃(𝐴│𝐵2 ) 0.3 × 0.8‬‬
‫= 𝐴 │ ‪𝑃 𝐵2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪= 0.276‬‬
‫𝐴𝑃‬
‫)𝐴(𝑃‬
‫‪0.87‬‬
‫• مثال‪:‬‬
‫اگر در یک پست ترانسفورماتور قرار داشته باشد که این ترانسفورماتور در ‪ %30‬مواقع به عنوان ‪Backup‬‬
‫(موازی یا پارالل) و ‪ %70‬مواقع به عنوان ترانس اصلی استفاده شود اگر در موتقعی که به عنوان ‪Backup‬‬
‫استفاده می شود با احتمال ‪ %20‬خطا برای آن رخ دهد و در مواقعی که در حالت استفاده است با احتمال‬
‫‪ %30‬برای آن خطا رخ دهد مطلوب است محاسبه ی آن که این ترانسفورماتور با چه احتمالی امکان خطا‬
‫برایش فراهم می شود؟‬
‫?= )‪P(f‬‬
‫‪20% 30%‬‬
‫رخ داد خطا ‪F:‬‬
‫‪𝐴1‬‬
‫‪70%‬‬
‫‪𝐵1‬‬
‫در مدار بودن ‪A1:‬‬
‫بصورت ‪ Backup‬بودن ‪B:‬‬
‫‪30%‬‬
‫‪𝑃 𝑓 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝑓│𝐴1 + 𝑃 𝐵1 × 𝑃 𝑓│𝐵1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪27‬‬
‫×‬
‫‪+‬‬
‫×‬
‫=‬
‫‪= 27%‬‬
‫‪10 10 10 10 100‬‬
‫=‬
‫توزیع های احتمال‪:‬‬
‫برای تحلیل بهتر و آنالیز داده های آماری به منظور محاسبات احتمالی و محاسبه ی قابلیت اعتماد در سیستم های‬
‫مهندسی باید این آمار توسط توابع احتمالی و توزیع احتمال بیان شود‪.‬‬
‫• مثال‪ :‬تعداد پروفیل های انتخابی به عنوان نمونه در یک کارخانه ی نورد که میله های آن به طور ‪ 6‬متر ‪،‬‬
‫‪6‬متر برش می خورند به تعداد ‪ 20‬عدد نمونه انتخاب شده است و طول آن ها اندازه گیری شده است نتایج به‬
‫صورت زیر می باشد‪.‬‬
‫‪2×5.97/3×5.98/5×5.99/5×6/2×6.01/3×6.02‬‬
‫تابع توزیع فرآوانی به صورت زیر است‬
‫جمع حاالت تابع احتمالی همیشه ‪ 1‬می شود‬
‫‪=1‬‬
‫‪6‬‬
‫) 𝑖𝑥(𝑃 ‪𝑖=1‬‬
‫گروه بندی اطالعات‪:‬‬
‫‪5‬تا → گروه ‪(5.965 - 5.985)→ 1‬‬
‫‪10‬تا → گروه ‪(5.985 – 6.005) → 2‬‬
‫‪5‬تا → گروه ‪(6.005 – 6.025)→3‬‬
‫‪𝑃(𝑥𝑖 ) = 1‬‬
‫نمودار احتمال تجمعی (‪:)Commulative Probability‬‬
‫تابع احتمال تجمعی تابع احتمالی است که برای بدست آوردن آن باید متغیرها از کم به زیاد مرتب شوند و پس برای‬
‫بدست آوردن مقدار تابع احتمال تجمعی باید مقادیر احتمال تمام حالت هایی که مقدار آن حالت از مقدار مورد نظر‬
‫کمتر می باشد را با هم جمع کنیم این نمودار نموداری است که بیان می کند با چه احتمالی امکان رخ دادن یک‬
‫حادثه کمتر از مقدار مورد نظر می تواند باشد‪.‬‬
‫• مثال ‪:‬‬
‫نمایش می هد ‪= F‬تابع احتمال تجمعی‬
‫تابع چگالی احتمال و احتمال تجمعی در توابع پیوسته ‪:‬‬
‫تابع چگالی احتمال در توابع پیوسته به ماهیت آن رویداد می تواند شکل های مختلفی داشته باشد که غالبا به شکل‬
‫زیر تابع چگالی احتمال آن کشیده می شود‪.‬‬
‫مساحت زیر نمودار هرچه جلوتر می رویم زیادتر می شود برای همین )‪ F(x‬زیاد می شود ولی هرچه جلوتر‬
‫می رویم شیب کم می شود‪.‬‬
‫)𝑥(𝐹𝑑‬
‫)𝑥(𝑓 =‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝑥‬
‫→ 𝑥𝑑 𝑥 𝑓‬
‫∞‪−‬‬
‫= 𝑥 𝐹‬
‫• نکته ‪ :‬برای توابع پیوسته برای اینکه بخواهیم محاسبه کنیم که باید احتمالی یک متغیر بین عدد ‪ a‬تا ‪ b‬قرار‬
‫دارد می توان از فرمول زیر استفاده کنیم‪.‬‬
‫𝑏‬
‫= 𝑏<𝑥<𝑎 𝑝‬
‫𝑥𝑑 𝑥 𝑓‬
‫𝑎‬
‫• نکته ‪ :‬نحوه ی نشان دادن متغیرهای پیوسته و گسسته و توابع توزیع احتمال آنها‬
‫‪ -1‬توابع دو جمله ای (توزیع دو جمله ای)‬
‫گسسته‬
‫پیوسته‬
‫‪ -2‬توزیع پواسون‬
‫‪ -1‬توزیع نرمال‬
‫‪ -2‬توزیع گوس‬
‫‪ -3‬توزیع‬
‫‪-4‬توزیع ویبال‬
‫‪-5‬توزیع گاما‬
‫‪-6‬توزیع ویالیی‬
‫امید ریاضی ‪:‬‬
‫اصطالحا مقدار میانگین و یا میانگین جامعه نامیده می شوند‪.‬‬
‫امید ریاضی در توابع گسسته یا ناپیوسته‬
‫) 𝑖𝑥(𝑃‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪6‬‬
‫𝑥 𝐸 → ) 𝑖𝑥(𝑃 𝑖𝑥‬
‫‪𝑖=1‬‬
‫) 𝑖𝑥(𝑛‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫) 𝑖𝑥(𝑛‬
‫× 𝑖𝑥‬
‫=‬
‫𝑁‬
‫𝑖𝑥‬
‫‪5.97‬‬
‫‪5.98‬‬
‫‪5.99‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6.01‬‬
‫‪6.02‬‬
‫) 𝑖𝑥(𝑛 × 𝑖𝑥‬
‫=‬
‫𝑁‬
‫=𝑥= 𝑥 𝐸‬
‫تعداد کل‬
‫=‬
‫‪𝑥𝑖 𝑃(𝑥𝑖 ) = 5.9955‬‬
‫‪𝑖=1‬‬
‫محاسبه ی امید ریاضی در توابع پیوسته‬
‫∞‪+‬‬
‫𝑥= 𝑥 𝐸‬
‫𝑥𝑑 𝑥 𝑓𝑥‬
‫∞‪−‬‬
‫• مثال‪ :‬در تکرار انداختن تاس به دفعات زیاد مقدار انتظاری نتایج چه عددی است ؟‬
‫• مثال ‪ :‬احتمال اینکه یک مرد ‪ 30‬ساله برای طول مدت مشخصی زنده بماند می شود ‪ 0.995‬در صورتیکه یک‬
‫شرکت بیمه پرداخت بیمه ی عمری معادل ‪ 2000‬دالر به ازای پرداخت ‪ 20‬دالر پیشنهاد نماید این شرکت سود‬
‫می برد یا ضرر و انتظار سود و یا ضرر این شرکت به اندازه ی یک قرارداد چقدر است؟‬
‫) 𝑖𝑥(𝑃‬
‫‪0.005‬‬
‫‪0.995‬‬
‫سود شرکت‬
‫𝑖𝑥‬
‫‪-2000$‬‬
‫‪20$‬‬
‫شرکت‬
‫‪ = −2000 × 0.005 + 20 × 0.995 = +10$‬سود = امید ریاضی‬
‫واریانس (‪ )Varianse‬و انحراف استاندارد ‪:‬‬
‫فرمول کلی )𝑥( ‪ 𝑉 𝑥 = 𝐸[𝑥 − 𝐸 𝑥 ]2 = 𝐸 𝑥 2 − 𝐸 2‬واریانس‬
‫‪𝑥 2 𝑝(𝑥𝑖 ) −[ 𝑥𝑝(𝑥)]2‬‬
‫گسسته‬
‫‪2‬‬
‫پیوسته ]𝑥𝑑 𝑥‬
‫∞‪+‬‬
‫𝑓𝑥‬
‫∞‪−‬‬
‫[ ‪𝑥 𝑑𝑥 −‬‬
‫‪+∞ 2 2‬‬
‫𝑓 𝑥‬
‫∞‪−‬‬
‫= 𝑥 𝑉‬
‫= 𝑥 𝑉‬
‫انحراف استاندارد ‪:‬‬
‫)𝑥(𝑉‬
‫‪+‬‬
‫= 𝛿 = 𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑖𝑣𝑒𝐷 𝑑𝑟𝑎𝑑𝑛𝑎𝑡𝑆‬
‫• مثال‪ :‬در مثال قبل مطلوب است واریانس و انحراف استاندارد حوادث را بدست آورید؟‬
‫فصل سوم‬
‫توزیع دو جمله ای و کاربرد در مباحث احتمال ‪:‬‬
‫توزیع دو جمله ای به طور مستقیم با ترکیب های حاالت مختلف یک فرآیند احتماالتی ارتباط دارد‪.‬‬
‫حالتی که سکه ‪ 1‬بار پرتاب شود‬
‫‪+ 2𝑃 𝑇 𝑃 𝐻 + 𝑃(𝐻)2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P(T)+P(H)=1‬‬
‫𝑇 𝑃 = ‪1 = [P T + P H ]2‬‬
‫‪[P T + P H ]3‬‬
‫𝐻 ‪= 𝑃3 𝑡 + 3𝑃 𝑇 𝑃 𝐻 + 3𝑃 𝑡 𝑃2‬‬
‫‪𝑛 𝑛 − 1 𝑛−2‬‬
‫‪3‬‬
‫)𝐻(‪[P T + P H ]𝑛 = 𝑃𝑛+𝑡𝑃 +‬‬
‫‪𝑛𝑃𝑛−1 𝑇 𝑃 𝐻 +‬‬
‫𝑃‬
‫)𝐻( 𝑛𝑃 ‪𝑡 𝑃2 𝐻 + ⋯ +‬‬
‫!‪2‬‬
‫مشاهده می شود که توزیع دو جمله ای به خوبی نشان دهنده ی کلیه ی حاالتی است که در تکرار یک فرآیند‬
‫که دو وضعیت دارد می باشد‪.‬‬
‫اگر ‪ P‬احتمال سالم بودن (موفقیت) و ‪ q‬احتمال خرابی (عدم موفقیت) باشد می توان تابع دو جمله ای را به‬
‫طور کلی به صورت زیر بیان کرد‪.‬‬
‫𝑛‬
‫= 𝑛)𝑞 ‪(𝑝 +‬‬
‫‪𝑛𝐶𝑟 𝑃 𝑥 𝑞 𝑛−𝑟 = 1‬‬
‫‪𝑥=0‬‬
‫روش برای تعداد جمالت محدود (مثلث پاسکال)‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫توان ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫توان ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫توان ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫توان ‪1‬‬
‫شرایط استفاده از توزیع دو جمله ای ‪:‬‬
‫‪ -1‬تعداد تکرارها باید مشخص شده باشد‪.‬‬
‫‪ -2‬در هر آزمایش فقط نتیجه ی حاصل باید مانند موفقیت و یا شکست باشد‪( .‬صفر و یک)‬
‫‪ -3‬احتمال موفقیت یا شکست باید ثابت باقی بماند‪.‬‬
‫‪ -4‬کلیه ی آزمایش ها مستقل باشد و نتایج آ نها بر دیگری تاثیر نداشته باشد‪.‬‬
‫• مثال ‪:‬مطلوب است در ‪ 5‬بار پرتاب یک سکه ترسیم تابع چگالی احتمال و توزیع احتمال هریک از حالت‬
‫ها را بیان کنید ‪.‬‬
‫‪(p+q) 5 = 𝑝5 + 5𝑝4 𝑞 + 10𝑝3 𝑞 2 + 10𝑝2 𝑞 3 + 5𝑝𝑞 4 + 𝑞 5‬‬
q
p
↓
↓
T
H
P(𝑥𝑖 )
‫ تجمعی‬P(𝑥𝑖 )
0
5
1
𝑝5 = ( )5 = 1/32
2
1/32
1
4
2
3
10𝑝3 𝑞 2 = 10/32
16/32
3
2
10𝑝2 𝑞 3 = 10/32
26/32
4
1
5𝑝𝑞 4 = 5/32
31/32
5
0
𝑞 5 = 1/32
32/32
1 4 1
4
5𝑝 𝑞=5 2
2
= 5/32
6/32
‫)‪P(x‬‬
‫‪10/32‬‬
‫‪5/32‬‬
‫‪1/32‬‬
‫تعداد بار پرتاب‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫) 𝑖𝑥(‪P‬‬
‫‪32/32=1‬‬
‫‪31/32‬‬
‫‪26/32‬‬
‫‪16/32‬‬
‫‪6/32‬‬
‫‪1/32‬‬
‫تعداد بار پرتاب‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫• مثال‪ :‬اگر احتمال موفقیت )‪ p(sue‬برابر ¼ باشد و این آزمایش ‪ 4‬بار تکرار شود مطلوب است‪.‬‬
‫الف‪ :‬احتمال وقوع هریک از حاالت و نمودار تجمعی آن را بکشید‪.‬‬
‫‪q=3/4‬‬
‫‪P=1/4‬‬
‫‪(p+q) 4 = 𝑝4 + 4𝑝3 𝑞 + 6𝑝2 𝑞 2 + 4𝑝𝑞 3 + 𝑞 4‬‬
‫)‪F(x‬‬
‫)‪ p(x)=f(x‬یا )‪f(x‬‬
‫غلط ‪F‬‬
‫درست ‪T‬‬
‫‪0.316‬‬
‫‪𝑝4 = 0.316‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.737‬‬
‫‪4𝑝3 𝑞 = 0.421‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.947‬‬
‫‪6𝑝2 𝑞 2 = 0.21‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.993‬‬
‫‪4𝑝𝑞 3 = 0.046‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑞 4 = 0.0039‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
f(x)
0
1
2
3
4
x
‫)‪F(x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.993‬‬
‫‪0.947‬‬
‫‪0.737‬‬
‫‪0.316‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫اشکال بر حسب درستی ها کشیده شده می توان بر حسب ‪q‬ها هم هر دو را کشید‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫مقدار انتظاری و انحراف استاندار در دو جمله ای ها ‪:‬‬
‫از آنجایی که در پارامترهای توزیع مقدار انتظاری (میانگین) و انحراف استاندارد بهترین پارامترهای توزیع هستند‬
‫لذا در این بخش به دنبال آن هستیم که مقدار امید ریاضی ()‪ )E(x‬و انحراف استاندارد و((‪ )V)x‬را برای دو جمله ای‬
‫ها بدست آوریم‪.‬‬
‫𝑛‬
‫= 𝑛 )𝑞 ‪(𝑝 +‬‬
‫𝑥‪𝑛𝑐𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−‬‬
‫‪𝑥=0‬‬
‫𝑛‬
‫𝑥‪𝑥 × 𝑛𝑐𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−‬‬
‫‪y=x-1‬‬
‫‪n-1=m‬‬
‫= 𝑥 𝑝𝑥‬
‫‪𝑥=0‬‬
‫=‬
‫!𝑛‬
‫𝑥‪𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−‬‬
‫!𝑥 ! 𝑥 ‪𝑛 −‬‬
‫!)‪(𝑛 − 1‬‬
‫𝑥‪𝑝 𝑥−1 𝑞 𝑛−‬‬
‫!)‪𝑛 − 𝑥 ! (𝑥 − 1‬‬
‫𝑛‬
‫𝑥‬
‫𝑛‬
‫‪𝑥=1‬‬
‫‪𝑥=1‬‬
‫𝑛‬
‫= )𝑥(‪E‬‬
‫‪𝑥=0‬‬
‫!𝑛‬
‫‪𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 = 0 +‬‬
‫!𝑥 ! 𝑥 ‪𝑛 −‬‬
‫!𝑛‬
‫𝑝𝑛 = 𝑥‪𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−‬‬
‫!)‪𝑛 − 𝑥 ! (𝑥 − 1‬‬
‫𝑛‬
‫=‬
‫‪𝑥=0‬‬
‫𝑛‬
‫=‬
‫‪𝑥=1‬‬
‫!𝑚‬
‫𝑝𝑛 = 𝑥 𝑝𝑥 ⇒ 𝑝𝑛 = 𝑦‪𝑝 𝑦 𝑞 𝑚−‬‬
‫!𝑦 ! 𝑦 ‪𝑚 −‬‬
‫𝑚‬
‫𝑝𝑛 =‬
‫‪𝑦=0‬‬
‫‪(𝑝 + 𝑞)𝑚 = 1‬‬
‫واریانس ‪:‬‬
‫𝑞𝑝𝑛 = 𝑥 ‪𝑉 𝑥 = 𝐸 𝑥 2 − 𝐸 2‬‬
‫𝑞𝑝𝑛 = )𝑥(𝑉‬
‫=𝛿‬
‫• مثال‪ :‬مطلوب است محاسبه ی تعیین مقدار انتظاری و انحراف استاندارد ر تعداد محصوالت معیوب در یک نمونه‬
‫برداری ‪ 4‬تایی مشروط بر آنکه احتمال سالمت محصول ‪ %90‬باشد‬
‫انتظار معیوب بودن‬
‫‪E(x)=n×q=4×0.1=0.4‬‬
‫چون امید ریاضی معیوب بودن را می خواهد به جای ‪ q،p‬گذاشتیم‪.‬‬
‫‪𝛿 = 𝑛𝑝𝑞 = 4 × 0.1 × 0.9 = 0.60‬‬
‫‪𝑉 𝑥 = 𝑛𝑝𝑞 = 4 × 0.1 × 0.9=0.36‬‬
‫• مثال‪ :‬اگر در یک کارخانه یک درصد از محصوالت معیوب باشد و مصرف کننده ای ‪ 50‬عدد از این محصوالت‬
‫را خریداری کرده باشد احتمال این که تعداد محصوالت معیوب حداکثر ‪2‬تا باشد؟‬
‫‪p x ≪ 2 = 50 p x = 0 + p x = 1 + p x = 2‬‬
‫‪= 50 1q50 + 50q49 p + 1225q48 p2 = 0.9862‬‬
‫• مثال‪ 4 :‬المان با احتمال سالم بودن ‪ %90‬و رابی ‪ %10‬مورد استفاده قرار می گیرد احتمال حالت های مختلف‬
‫خرابی را بدست آورید و احتمال تجمعی خرابی را محاسبه کنید‪.‬‬
‫بررسی وجود المان های آزاد ‪)effect of redundancy( :‬‬
‫‪P=0.9‬‬
‫اگر المان مورد استفاده یکی باشد‪.‬‬
‫‪R=0.9‬‬
‫‪Q=1-R=0.1‬‬
‫دو المان ‪:‬‬
‫‪P=0.9‬‬
‫‪R = p2 + 2pq = 0.92 + 2 × 0.1 × 0.9‬‬
‫یا‬
‫‪R = 1 − Q = 0.99‬‬
‫‪Q = q2 = 0.12 = 0.01‬‬
‫‪P=0.9‬‬
‫می بینیم هرچه المان های موازی افزایش پیدا می کند قابلیت اطمینان افزایش پیدا می کند‪.‬‬
‫نکته ‪:‬‬
‫‪(𝑝 + 𝑞)2 = 𝑝2 + 2𝑝𝑞 + 𝑞 2 = 1‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R‬‬
‫سه المان ‪:‬‬
‫‪R = p3 + 3𝑝2 𝑞 + 3p𝑞 2‬‬
‫یا‬
‫‪R = 1 − Q = 0.999‬‬
‫‪Q = q3 = 0.13 = 0.001‬‬
‫نکته ‪:‬‬
‫‪(𝑝 + 𝑞)2 = p3 + 3𝑝2 𝑞 + 3p𝑞 2 + 𝑞 3 = 1‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R‬‬
‫تمرین ‪ :‬اگر برای عملکرد این سیستم به حداقل عملکرد دوتا از این المان ها نیاز باشد قابلیت اطمینان )‪ (R‬این‬
‫سیستم را پیدا کنید‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫𝑞 𝑝‪R = p + 3‬‬
‫‪Q = 3pq2 + 𝑞 3‬‬
‫نکته ‪ :‬حالت کاهش یافته‬
‫می شود در المان های موازی ( به خصوص در مواقعی که المان ها کامال شبیه به هم می باشند) به ازای‬
‫مجموع آن ها یک المان جدید گذاشت با قابلیت احتمال (قابلیت اعتماد)کل سیستم‬
‫‪P‬‬
‫≡‬
‫‪p′ = p2 + 2pq = R‬‬
‫‪P‬‬
‫• مثال‪ :‬اگر دو ترانس موازی در پست وجود داشته باشد به این نحو احتمال سالم بودن یکی ‪ 0/9‬و احتمال سالم بودن‬
‫دیگری ‪ 0/8‬باشد و این ترانس ها به صورت موازی باشند احتمال تامین بار توسط این ترانس ها چه مقدار است؟‬
‫‪P’=0.8‬‬
‫‪R=p × p’+ q p ’+ q p’ =0.9=1-Q‬‬
‫‪Q=q q’= 0.2×0.1‬‬
‫‪P=0.9‬‬
‫حال چون دو جمله شبیه به هم نیستند دیگر به توان ‪ 2‬نمی رسد و ضرب دو جمله ای می شود‪.‬‬
‫’‪( p + q )( p ’+ q ’)=p p’ +p q’ +p’ q + q q‬‬
‫• مثال‪ :‬اگر در یک پست که سه ترانس با هم موازی شده اند دوتای آن ها یکسان و با قابلیت اطمینان سالم بودن ‪0/9‬‬
‫و یکی از آنها از نوع دیگر می باشد با قابلیت اطمینان ‪ 0/7‬اگر برای برق رسانی به حداقل ‪ 2‬ترانس نیاز باشد‬
‫میزان قابلیت اعتماد این پست چه مقدار است؟‬
‫حالت کاهش یافته ‪:‬‬
‫نکته ی قابل توجه آن است که تا به حال سیستم هایی که داشته ایم طوری بودند که دو حالت عملکرد داشتند یعنی حالت‬
‫کارکرد و حالت بدون کارکرد‪ .‬ولی در بعضی از تجهیزات حالت کاهش ظرفیت نیز وجود دارد یعنی وضعیت هایی در‬
‫نیروگاه وجود دارد که نیروگاه با ظرفیتی کمتر از ظرفیت نامی کل نیروگاه کار می کند( به خصوص در نیروگاه هایی‬
‫که چند واحد با هم دارند)‬
‫• مثال‪ :‬مثال یک واحد نیروگاهی کوچک را می توان برای تامین بار ‪ 1OMW‬داشته باشیم به نظر شما کدامیک از‬
‫آرایش های واحدهای نیروگاهی برای نیروگاه مناسب می باشد؟ (قابلیت اعتماد کدامیک بیشتر است؟)‬
‫طرح ‪1 × 1OMW : 1‬‬
‫طرح ‪2 × 1OMW : 2‬‬
‫طرح ‪3 × 5 MW : 3‬‬
‫‪1‬‬
‫طرح ‪4 × 3 3 MW : 4‬‬
‫‪LOMW‬‬
‫‪FOR = Force outage Rate = 2%‬‬
)‫ (مدل کردن المان ها و ترکیب المان های مختلف‬4 ‫فصل‬
R=P(SS)=Reliability of system successful
R=P(SF)=Reliability of system failure
:‫انواع سیستم‬
A
:(parallet system) ‫ موازی‬-1
B
P(SS)=𝑝(𝐴𝑠 ∪ 𝐵𝑠 )
P(SF)=𝑝(𝐴𝐹 ∪ 𝐵𝐹 )
𝐴𝐹 = 𝐴 𝐹𝑎𝑖𝑙𝑢𝑟𝑒
𝐴𝑠 = 𝐴 𝑆𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠
𝐵𝐹 = 𝐵 𝐹𝑎𝑖𝑙𝑢𝑟𝑒
𝐵𝑠 = 𝐵 𝑆𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠
P(SS)=𝑝 𝐴𝑠 ∪ 𝐵𝑠 = 𝑝 𝐴𝑠 + 𝑝 𝐵𝑠 − 𝑝 𝐵𝑠 ∩ 𝐴𝑠 = 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 − 𝑅𝐴 𝑅𝐵
⇒ 𝑅𝑠𝑦𝑠 = 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 − 𝑅𝐴 𝑅𝐵
P(SF)=𝑝(𝐴𝐹 ∩ 𝐵𝐹 )= 𝑝 𝐴𝐹 ∗ 𝑝 𝐵𝐹 = 𝑄𝐴 ∗ 𝑄𝐵 ⟹ 𝑄𝑠𝑦𝑠 = 𝑄𝐴 × 𝑄𝐵
:(Series system) ‫ سری‬-2
A
B
𝑅𝑠𝑦𝑠 = 𝑃 𝑆𝑆 = 𝑃(𝐴𝑠 ∩ 𝐵𝑠 )
𝑄𝑠𝑦𝑠 = 𝑃 𝑆𝐹 = 𝑃(𝐴𝐹 ∪ 𝐵𝐹 )
‫𝐵𝑅 ∗ 𝐴𝑅 = ) 𝑠𝐵(𝑃 ∗ ) 𝑠𝐴(𝑃 = 𝑆𝑆 𝑃 = 𝑠𝑦𝑠𝑅‬
‫𝐵𝑄 𝐴𝑄 ‪𝑄𝑠𝑦𝑠 = 𝑃 𝑆𝐹 = 𝑃 𝐴𝐹 ∪ 𝐵𝐹 = 𝑃 𝐴𝐹 + 𝑃 𝐵𝐹 − 𝑃 𝐴𝐹 ∩ 𝐵𝐹 = 𝑄𝐴 + 𝑄𝐵 −‬‬
‫𝑠𝑦𝑠𝑅 ‪𝑄𝑠𝑦𝑠 = 1 −‬‬
‫نکته ‪:‬‬
‫𝐵𝑄 𝐴𝑄 ‪= 𝑄𝐴 + 𝑄𝐵 −‬‬
‫𝐵𝑄 ‪𝑄𝑠𝑦𝑠 = 1 − 𝑅𝑠𝑦𝑠 = 1 − 𝑅𝐴 ∗ 𝑅𝐵 = 1 − 1 − 𝑄𝐴 1 −‬‬
‫نکته ‪ :‬با افزایش المان های سری در سیستم قابلیت اعتماد آن کاهش پیدا می کند‪.‬‬
‫‪ -3‬ترکیب سری و موازی ‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫موازی‬
‫سری‬
‫‪ -4‬سیستم های نه سری نه موازی ‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫• مثال ‪ :‬مطلوب است محاسبه ی ‪ Relibillity‬سیستم زیر با فرض آن که در قسمت دوم سیستم با عملکرد دو عنصر‬
‫از چهار عنصر کار کند؟‬
‫‪B‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪R6‬‬
‫‪R4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪R6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪R5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪R6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪D‬‬
𝑅𝑎 = 𝑅2 × 𝑅3
𝑅𝑏 = 𝑅𝑎 + 𝑅4 − 𝑅𝑎 𝑅4
𝑅𝑐 = 𝑅1 𝑅𝑏
𝑅𝑑 = 𝑅𝑐 + 𝑅5 − 𝑅5 𝑅𝑐
2
4
3
𝑅𝑒 = R 6 + 4 R 6 𝑄6 + 6 R 6 Q 62 ⟹ 𝑅𝑠𝑦𝑠 = 𝑅𝑑 × 𝑅𝑒
‫‪Study by Redundancy system‬‬
‫بررسی و مطالعه با سیستم موازی‬
‫برای افزایش قابلیت اطمینان‬
‫‪ -1‬بهبود قابلیت تک تک اجزا سیستم‬
‫‪ -2‬استفاده از سیستم های موازی یا ‪Redundancy‬‬
‫انواع سیستم ‪Redundancy‬‬
‫‪Active -1‬‬
‫‪Passive -2‬‬
‫‪ :Active‬سیستم های سیستمی است که در آن هر دو سیستم ‪ Redundancy‬به طور همزمان در حال‬
‫کار هستند به عبارتی این دو سیستم هر دو ‪( energized‬انرژی دار) هستند‪.‬‬
‫‪ :Passive‬سیستمی است که یکی از (سیستم اصلی) سیستم ها در حال کار و سیستم ‪ Backup‬پشتیبان‬
‫در حال کار نمی باشد بلکه آماده ی به کار است و به صورت ‪ Stand by‬می باشد که در صورت‬
‫اتفاق یک خطا در سیستم اصلی وارد مدار می شود‪.‬‬
‫محاسبه قابل اعتماد (‪ )R‬برای سیستم های ‪:Redundant‬‬
‫‪𝑅 = 𝑅1 ∥ 𝑅2‬‬
‫‪ -1‬سیستم ‪:Active‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪𝑅𝑠𝑦𝑠 = 𝑅1 ∥ 𝑅2 = 𝑅1 + 𝑅2 − 𝑅1 𝑅2‬‬
‫) ‪(𝑅1 ∪ 𝑅2‬‬
‫یا‬
‫𝑠𝑦𝑠𝑄 ‪𝑅𝑠𝑦𝑠 = 1 −‬‬
‫‪𝑄𝑠𝑦𝑠 = 𝑄1 𝑄2‬‬
‫‪R1‬‬
‫≡‬
‫‪R1‬‬
:Passive ‫ سیستم‬-2
+
Switch changeover
2
.‫حاالت مختلف رخ می دهد‬
‫‪ )1-2‬حالتی که کلید ‪ %100‬درست عمل می کند و در حین کار خطا ندارد ‪:‬‬
‫‪=1‬احتمال درست عمل کردن ‪( changeover‬سویئچ کردن) 𝑠𝑃‬
‫دقیقا مثل حالت موازی‬
‫در این حالت مثل سیستم ‪ Active Redundant‬عمل می کند‪.‬‬
‫‪𝑄𝑠𝑦𝑠 = 𝑄𝑄 2 1 = 𝑄1 𝑄2‬‬
‫و یا‬
‫‪𝑄𝑠𝑦𝑠 = 𝑄1 𝑄2‬‬
‫‪ )2-2‬حالتی که ‪ changeover‬با احتمال 𝑠𝑃 درست عمل کند ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑠𝑃‬
‫دو حالت ‪:‬‬
‫‪ 1 (1‬عمل نکند کلید هم عمل نکند‬
‫‪ 1 (2‬عمل کند کلید عمل نکند‬
‫‪2‬‬
‫)کلید عمل نکند │ 𝐹𝑆(‪ + P‬کلید عمل کند│ 𝐹𝑆 𝑃 = 𝑄𝑄‬
‫) ‪= 𝑃𝑆 𝑄1 × 𝑄2 + 1 − 𝑃𝑆 𝑄1 = 𝑄1 − 𝑃𝑆 𝑄1 (1 − 𝑄2‬‬
‫‪ )2-3‬فرض کنید کلید درست عمل کند با احتمال 𝑠𝑅 و در شرایط وصل شدن با قابلیت اطمینان 𝑠𝑃‬
‫کار کند ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑠𝑅‬
‫𝑠𝑃‬
‫𝑠𝑃‬
‫≡‬
‫‪R=100%‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑄𝑅‬
‫یک سیستم مجزا با احتمال 𝑠𝑅 گرفتیم برای ساده کردن‬
‫کلید 𝑠𝑅 دارد‬
‫‪2‬‬
‫ = 𝐹𝑆 𝑃کل‬1 − 𝑅𝑠𝑦𝑠 ‫ = کل‬1 − 𝑅𝑄 𝑅𝑆 = 1 − (1 − 𝑃 ‫𝑆𝑅) 𝐹𝑆 مرحله قبل‬
‫مرحله قبل‬1 − 𝑃(𝑆𝐹)
‫و یا‬
P SF = P QF ∪ PSF = P QF − P SF − P QF × SF
= P SF ‫ قبل‬+ 1 − R S − 1 − R S PSF ‫ = قبل‬P SF ‫ قبل‬− R S + R S P(SF)
‫• مثال ‪ :‬اگر قابلیت اطمینان دو سیستم موازی که به صورت پسیو قرار دارد برابر ‪ 𝑅1 = 𝑅2 = 95%‬و‬
‫احتمال سوئیچ کردن کلید ‪ %90 ، Changeover‬باشد و احتمال خرابی کلید ‪ Changeover‬در حین کار‬
‫‪ %80‬باشد ‪ ،‬مطلوب است قابلیت اطمینان را بدست آورید؟‬
‫‪𝑄1 = 5%‬‬
‫‪𝑅1 = 𝑅2 = 95%‬‬
‫احتمال عملکرد سوئیچ‬
‫‪𝑃𝑆 = 90%‬‬
‫احتمال خطا عمل کردن سوئیچ ‪𝑅𝑆 = 80%‬‬
‫𝑆𝑅 𝑄𝑅 ‪𝑃(𝑆𝐹) = 1 − 𝑅𝑠𝑦𝑠 = 1 −‬‬
‫𝑆𝑅‬
‫‪0.8 = 0.2058‬‬
‫‪= 1 − 1 − 𝑄1 − 𝑃𝑆 𝑄1 1 − 𝑄2‬‬
‫‪= 1 − 1 − 0.05 − 0.9 × 0.05 1 − 0.05‬‬
‫‪ )2-4‬حالت ‪∶ 𝑃𝑆 = 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝑠𝑅‬
‫‪𝑃𝑠 = 1‬‬
‫≡‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝑆𝑅 × ) ‪𝑅 = (𝑅1 ∥ 𝑅2‬‬
‫خرابی هم در وضعیت ‪ 1‬ممکن است رخ دهد و هم در وضعیت دوم‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑠𝑅‬
‫‪2‬‬
‫‪ 𝑃𝑆 = 1 )2-5‬و احتمال خرابی حین کار کرد 𝑆𝑅 فقط در حالت ‪: 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑠𝑅‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑆𝑄 ‪𝑄𝑠𝑦𝑠 = 𝑄1 𝑄2 2 1 𝑄𝑆 𝑆𝐹 │1 ∩ 2 = 𝑄1 𝑄2‬‬
‫فصل ‪( 5‬مدل سازی شبکه و ارزیابی سیستم های پیچیده)‬
‫سیستم های پیچیده ‪ ،‬سیستم هایی که نه سری و نه موازی هستند‪.‬‬
‫𝐵𝑅‬
‫𝐴𝑅‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫𝐸𝑅‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫𝐷𝑅‬
‫𝐶𝑅‬
‫برای حل این نوع از سیستم ها از روش های زیر می توان استفاده کرد ‪:‬‬
‫‪ -1‬حل به روش احتمال شرطی‬
‫‪ -2‬تحلیل مجموعه انقطاع و اتصال‬
‫‪ -3‬استفاده از نمودار درخت‬
‫‪ -4‬استفاه از نمودار منطقی‬
‫‪ -5‬شیوه اتصال آرایه‬
‫‪ -1‬حل به روش احتمال شرطی ‪:‬‬
‫این سیستم در دو وضعیت کار می کند‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫الف ) ‪ E‬کار کند ‪RE‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫الف ) ‪ E‬کار نکند ‪QE‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
𝑃 𝑆𝑆 = 𝑃 𝑆𝑆│ 𝐸 𝑃 𝐸 + 𝑃 𝑆𝑆│ 𝐸 𝑃 𝐸
= 𝑅𝐴 ∥ 𝑅𝐶 𝑅𝐵 ∥ 𝑅𝐷 𝑅𝐸 + (𝑅𝐴 𝑅𝐵 ∥ 𝑅𝐶 𝑅𝐷 )(1 − 𝑅𝐸 )
‫‪ -2‬روش کاربرد انقطاع ‪: Application of cut set‬‬
‫کات ست ها ترکیباتی از نحوه ی عناصری هستند که اگر با هم خطا رخ دهد کل سیستم قطع می شود‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪cut set 2= A & E & D‬‬
‫‪cut set 1= A & C‬‬
‫‪cut set 4= B & D‬‬
‫‪cut set 3= B & E & C‬‬
‫کات ست مسیر بسته ای است که با حذف شاخه ها مدار به دو قسمت جدا از هم تقسیم می شوند‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪𝐶4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪𝐶3‬‬
‫‪𝐶2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪𝐶1‬‬
‫‪𝑄𝑠𝑦𝑠 = 𝑃 𝑆𝐹 = 𝑃 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪ 𝐶3 ∪ 𝐶4‬‬
‫‪= 𝑄𝐶1 + 𝑄𝐶2 + 𝑄𝐶3 + 𝑄𝐶4‬‬
‫‪ -3‬ارزیابی تقریبی‪:‬‬
‫در سیستتتم هتتای بتتزرن از آن جتتایی کتته تعتتداد عناصتتر زیتتاد متتی شتتود و متتی دانتتیم کتته 𝐸𝑄 = 𝐶𝑄 = 𝐵𝑄 = 𝐴𝑄‬
‫𝐷𝑄 = در نتیجه داریم ⟵‬
‫‪𝑄𝑠𝑦𝑠 ≃ 𝑄𝐶1 + 𝑄𝐶2 + 𝑄𝐶3 + 𝑄𝐶4 ≃ 𝑄 2 + 𝑄 3 + 𝑄 3 + 𝑄 2‬‬
‫چون ‪ Q‬عدد کوچکی است و توان آن هم خیلی کوچکتر می شود پس داریم ‪:‬‬
‫نکته ‪ :‬در سیستم های پیچیده ی بزرن از آن جایی که ‪ Q‬عدد کوچکی می باشد از کات ست هایی که تعداد‬
‫عناصر آن ها از دو یا سه عنصر بیشتر است می توانند صرفنظر کنند‪.‬‬
‫تمرین ‪ :‬قابلیت اعتماد زیر را بدست آورید ؟‬
‫‪A‬‬
‫‪𝑅𝐴 = 0.9‬‬
‫‪C‬‬
‫‪𝑅(𝐵│ 𝐴) = 0.96‬‬
‫‪𝑅𝐶 = 0.99‬‬
‫‪B‬‬
‫‪𝑅𝐷 = 0.8‬‬
‫‪B‬‬
‫احتمال عمل کردن کلید‬
‫‪𝑃𝑆 = 0.92‬‬
‫قابلیت اعتماد کلید‬
‫‪𝑅𝑆 = 0.98‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫𝐵𝐴‪𝑅′‬‬
‫𝐴𝑅‬
‫𝐴𝐶𝑅‬
‫𝐵𝐴𝑅‬
‫𝐵𝐴‪𝑅′‬‬
‫𝐵𝑅‬
‫‪B‬‬
‫𝐶𝐵𝑅‬
‫𝐶𝑅‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫نکته ‪ :‬تبدیل سیستم ‪ Y‬به △‬
‫سیستم مدار مثلث قابلیت اطمینان بیشتری دارد چون بین هر دو نقطه ‪ 2‬مسیر وجود دارد‬
‫‪C‬‬
‫) 𝐶𝐵𝑅 × 𝐴𝐶𝑅( ∥ 𝐵𝐴𝑅 = 𝐵𝑅 × 𝐴𝑅 = 𝐵𝐴‪𝑅′‬‬
‫?= 𝑎𝑅‬
‫) 𝐴𝐶𝑅 × 𝐵𝐴𝑅( ∥ 𝐶𝐵𝑅 = 𝐶𝑅 × 𝑏𝑅 = 𝐶𝐵‪𝑅′‬‬
‫) 𝐶𝐵𝑅 × 𝐵𝐴𝑅( ∥ 𝐴𝐶𝑅 = 𝑎𝑅 × 𝐶𝑅 = 𝐴𝐶‪𝑅′‬‬
‫) 𝐶𝐵𝑅 𝐵𝐴𝑅 ‪1 − (1 − 𝑅𝐴𝐵 )(1 − 𝑅𝐵𝐶 𝑅𝐶𝐴 ) ∗ 1 − (1 − 𝑅𝐶𝐴 )(1 −‬‬
‫) 𝐵𝐴𝑅 𝐴𝐶𝑅 ‪1 − (1 − 𝑅𝐵𝐶 )(1 −‬‬
‫?= 𝑐𝑅‬
‫‪𝑅𝐴𝐵 = 𝑅𝐵𝐶 = 𝑅𝐶𝐴 = 𝑅Δ‬حال اگر‬
‫‪𝑅Δ2 + 𝑅Δ − 𝑅Δ3‬‬
‫= 𝑎𝑅‬
‫?= 𝑏𝑅‬
‫= 𝑦𝑅‬
‫• مثال ‪𝑅Δ = 0.9 ⟶ 𝑅𝑦 = 0.995 :‬‬
‫یعنی اگر یک سیستم مثلث داشته باشیم که ‪ R‬هرکدام از اجزای آن ‪ 0/9‬باشد برابر است با سیستم ستاره ای که ‪R‬‬
‫هرکدام از اجزای آن ‪ 0/995‬باشد پس از هر لحاظ سیستم مثلث بهتر است‬
‫تمرین ‪ :‬قابلیت اطمینان سیستم زیر را بدست آورید؟‬
‫‪R=0.85‬‬
‫‪6‬‬
‫‪R=0.91‬‬
‫‪4‬‬
‫‪R=0.95‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R=0.85‬‬
‫‪G‬‬
‫‪R=0.95‬‬
‫‪R=0.92‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R=0.95‬‬
‫‪5‬‬