Transcript 數學課的語言運用 - Oxford University Press (China)

數學課的語言運用
馮振業
香港教育學院數社科技學系
強調把生活元素帶入數學課堂的人，很少在意生活用語和數學
語言的分別。生活用語的精確性和邏輯性，一般都不及數學語
言的高。一面倒地使用生活用語，儘管可以令課堂互動變得平
易近人，卻存在扭曲或混淆數學的風險。相反地，過份强調嚴
格的數學語言，學生或會有吃不消的感覺。如何在教學上取得
良好的平衡，以至帶領學生從生活用語過渡至數學用語，正是
教師專業工作的一大挑戰。講者將指出一些碰過的例子，藉以
提高教師的警覺性。
大綱
 生活用語和數學用語的分歧
 數學用語：定義
 數學用語：命題
 數學用語：程序
 提問
 實例評析
生活用語和數學用語的分歧
 精確性
 邏輯性
精確性

生活用語

數學用語
統計數字
統計數
數字：0、1、2、3、4、
5、6、7、8、9
數：0、91、23.5、
﹣3、…
精確性

生活用語
活動乜嘢時間
開始？

數學用語
活動喺乜嘢時
刻開始？
邏輯性

生活用語
平行四邊形可以分割
成兩個完全相同的三
角形，三角形的面積
就是平行四邊形的一
半。

數學用語
因為任何兩個完全相同
的三角形都可拼成一個
平行四邊形，所以三角
形的面積就是這樣拼成
的平行四邊形的面積的
一半。
邏輯性

生活用語

由於算式12 ÷ 8 × 4中8
不能除盡12 ，我哋可
以先計算12 × 4，然後
再除8。
因為不能整除，所以可
以改變運算次序？
12 ÷ 8 － 4 = (12 － 4) ÷ 8
12 ÷ 8 － 4 = 12 － 4 ÷ 8
數學用語
因為分數乘法有結合和
交換性質，所以
12 ÷ 8 × 4 = 12 × 18 × 4
= 12 × 4 × 18
= 12 × 4 ÷ 8
邏輯性

生活用語
四邊形有哪幾種？

數學用語
你懂得哪幾種四邊形？
邏輯性

生活用語
長方體是由六個矩形
圍成的立體圖形，其
中有四個或六個是長
方形。

數學用語
長方體是由六個矩形圍
成的立體圖形，其中最
少有一個是長方形。
數學用語：定義
 數學概念的精確描述稱為定義
 如果學生可以運用，有定義比沒有好
 如果不下定義，就不要問：「為甚麽XXX不
是/是YYY」
 小心不要下錯的定義
角錐是由平面圍成的立體圖形，其中一面
是個多邊形，其餘的都是三角形。
數學用語：命題
 要區分條件和結論
六角錐7有個頂、12條棱和7個面。
條件
如果一個立體圖形是六角錐，它就
有7個頂、12條棱和7個面。
結論
數學用語：命題
 要分清歸納解釋和演繹解釋
一個角錐和一個角柱，不可能有完全相同的
頂數、棱數和面數。
列出三至二十角錐和三至二十角柱的頂數、
棱數和面數，發現不可能三數都相同。
由於角錐的頂數和面數相同，而m(>2)角柱
的頂數是2m，面數是m+2，不可能相等，
因此一個角錐和一個角柱不可能頂數和面數
都相同。
歸納
演繹
數學用語：命題
 要分清本命題和逆命題
如果一個多面體是六角錐，它就有
7個頂、12條棱和7個面。
本命題
如果一個多面體有7個頂、12條棱
和7個面，它就是一個六角錐。
逆命題
本命題顯然是對的，
逆命題又如何？
數學用語：命題
 要小心命題的否定
如果可找到一直線，使得沿它把圖形對摺，兩
邊的圖形會完全重疊，便稱此圖為對稱圖。
命題
無論沿哪一直線把圖形對摺，兩邊的圖形都不
會完全重疊，因此這圖不是對稱圖。
命題的否定
考考你
 造一個六角錐的支架要用竹簽12支和泥膠7枚
 用竹簽12支和泥膠7枚就可造一個六角錐支架
試比較上述命題在教學應
用上會帶來怎樣的效果。
數學用語：程序
 一套用以完成某一類別任務的機械化工序
 一般性：不依著特定例子、可廣泛使用
將3
5
化成假分數：
6
將3乘6，再加5，放在分子；
分母照舊
將帶分數的整數部分乘以
帶分數的分母，然後加帶
分數的分子，即成假分數
的分子；保留帶分數的分
母作假分數的分母
提問
 清晰可答
 (高層次)問題的分類
 帶領思考
清晰可答
乘加混合計算要怎樣做？
 算式中有乘又有加時，如何決定運算的先後次序？
 正方形和菱形的比較，令你想起正方形和長方形比
較時的哪些特性？
 正方形和菱形有哪些特性是相同的？正方形和長方
形也有一些特性是相同的，你能說說嗎？
 我們會怎麼劃分這些圖形的類別？
 我們應怎樣把這些圖形歸類？

(高層次)問題的分類
 從性質分：回憶、觀察、思考
記得兩位數減法怎樣計算嗎？
下列四邊形的對邊有何關係？
固定了長方形的周界，可以怎樣增
加它的面積？
(高層次)問題的分類
 從覆蓋分：特殊、一般
怎樣把正方形分割成4個直角三角形？
怎樣把一個四邊形分割成4個直角三角形？
帶領思考
 形成一個概念及相關的語言
 提煉經驗背後的原理
 創造解決問題的方案
 建立及改良表達方式
形成一個概念及相關的語言
 教師拿著三種不同包庄的朱古力：
爸爸來電問你想買哪一款朱古力，
你怎樣告訴他你想買左面的一款？
學生透過描述形狀，形成對圓柱體的認識。
提煉經驗背後的原理
 教師一面撥動聯動鐘，一面報出時正和時半
的各個時刻，然後張貼鐘面圖畫，標明時間。
接著問：「顯示時正的鐘面，有乜嘢係相同
嘅？有乜嘢係唔同嘅？」
學生觀察一批鐘面圖畫，歸納出時正的鐘面，分
針指著12，時針分別指著1、2、…、12。
創造解決問題的方案
巴士有乘客41人，下層比上層少7人，問上層有乘
客幾人？
 教師貼出下列圖畫，然後問：「我哋唔知上、下兩
層各有乘客幾多人。但有乜嘢係已知嘅呢？」


上層乘客
…
下層乘客
…
…
當學生答出題中已知之後，教師畫出乘客圖畫，
然後問：「應該點樣將已知嘅資料喺圖畫度表示
呢？」
創造解決問題的方案
引導學生指出41和7對應圖畫的哪個部分，然後標
明。
 接著問：「根據呢D資料，你可作出乜野嘅推論
呢？」「圖中邊部分嘅人數係可以揾到嘅呢？」

7人
上層乘客
下層乘客

…
…
…
41人
當學生說出紅框內有34人後，問：「呢個數同邊
一層嘅乘客人數有關呢？」
建立及改良表達方式
 教師展示兩道問題：
17人可以坐滿5
人的士多少部？
17人乘的士，需要
5人的士多少部？
 教師問：兩題怎樣列式？答案是甚麼？
÷ 5 = 3 … 2 及說出正確答案
後，教師問：兩題答案不同，列式卻一樣，
豈不是容易混淆？怎樣表達可令人看得明
白一些？
 在學生列出17
這裏提問的目的，是要讓學生從讀者
的角度思考，看看怎樣表達較清晰。
考考你
 你會怎樣量度燈柱的高度？
 可以怎樣量度燈柱的高度？
 應該怎樣量度燈柱的高度？
 怎樣找到燈柱的高度？
 應該用甚麽單位量度燈柱的高度？
試評論上述問題在教學應
用上會帶來怎樣的效果。
實例評析
 亂用詞語
量度單位、量度工具、量度方法
用厘米作單位量度書桌的長度。
用厘米尺作工具量度書桌的長度。
量度書桌的長度的方法：
實例評析
 亂用詞語
「準確」
用鉛筆作單位量度黑板的長度唔準確。
不及用XX作單位來得準確。
用厘米尺作工具量度樹葉的周界唔準確。
唔可行。
實例評析
 亂用詞語
「方便」
用鉛筆作單位量度黑板的長度唔方便。
無法有效地與別人溝通。
計算一位數乘以兩位數時，把兩
計算會方便些。
數位置對掉，可減少一行直式計算。
實例評析
 教師展示下列三道算式，然後問：這三條算式
有什麼相同的地方？
2 × 6 = 12
12 ÷ 2 = 6
12 ÷ 6 = 2
都有等號
都是偶數
都有1、2、6幾個數字
2都出現兩次
實例評析
 教師展示下圖，然後問：細心觀察後，你看到
了什麼？
11
12
1
10
2
9
3
8
4
7
6
5
貓貓鐘
實例評析









教師：什麼叫錐體？（此時，教師手上並沒持有任何立體圖形的模型）
學生1：有一些角的，是尖的！
教師：對了！答得好！柱體就是上面和下面是一樣的！而且大小都一樣的！
錐體下面是平的，而上面則是尖的！
接著，教師出示了一個三角柱體的模型，並且如以下的方式擺放。
然後，教師又繼續提問學生：
教師：這是什麼？
學生2：三角錐體！
教師：為什麼呢？
學生2：因為它的下面是平的，而上面則是尖的！
實例評析
 通過動手操作的活動，學生能夠說出
(當三個
立體或以上疊起時)只有柱體可以疊起來，而
錐體和球體則不可以。
實例評析
 教師向學生展示三個不同大小的正方形如下：
矩形周界！
A




B
C
師：為甚麼這些正方形有大有小？是甚麽影響它們的大小？
生：因為它們的面積不同。（學生未能解釋當中的原因）
師：是甚麽令到它們的面積不同？
生：因為它們的邊長不同
你猜教師在教甚麽？
實例評析
 在課室內，哪裏可以找到直角？
直線和直線
相交生成
這個直角
結語
 數學語言的運用與數學知識的掌握密不可分
 學好數學語言與學好其他語言一樣，需要長
時間浸淫在適當的語言環境之中
 不要假設學生對嚴謹的數學語言必然抗拒
 朗讀重點片語和句子有助學生適應數學語言
謝謝各位！