Transcript Studiul monotoniei si marginirii sirurilor folosind functii derivabile

Studiul monotoniei si marginirii
sirurilor folosind functii derivabile
Un șir este o funcție definită de mulțimea numerelor naturale.
Domeniul unei astfel de funcții este deci mulțimea numerelor
naturale. Codomeniul și legea de corespondență pot fi
oarecare.
În cele ce urmează vom considera doar șiruri de numere reale,
adică șiruri având drept codomeniu mulțimea a numerelor
reale.
f:
Pentru astfel de funcții, domeniul și codomeniul fiind totdeauna
aceleași, mai trebuie precizate doar legea de corespondență f ,
ceea ce revine la a preciza mulțimea valorilor sale:
f(0), f(1), f(2), … , f(n), …
Pentru comoditatea scrierii se notează de exemplu:
f(0)= , f(1)=, … , f(n)= , …
Deci pentru a cunoaște un șir, este necesar și suficient să cunoaștem mulțimea valorilor sale:
a0,a1, … , an… . Această mulțime se notează prescurtat . (an)nє N*
Prin urmare un șir este un caz particular de funcție. Trecerea de la o funcție la un șir se face
astfel:
-înlocuind domeniul D cu N
-înlocuind codomeniul E cu R
-înlocuind variabila x cu n (sau cu m, sau i, etc.)
- înlocuind f(x) cu
Domeniu
Codomeniu
Variabila
Legea de
coresp.
Functie
D
E
x
f(x)
Sir
N
R
n
an
În cele ce urmează vom utiliza acest mod de trecere de la o funcție oarecare la un
șir, pentru a obține noțiunile de monotonie, mărginire și limită ale unui șir drept
cazuri particulare ale acelorași noțiuni pentru funcții.
Exemplu: Șirului 𝑎𝑛 =
𝑛 +3
𝑛 +3
îi putem atașa funcția: f(x) = 2𝑛 +1 .
2𝑛 +1
Totuși există șiruri cărora nu le putem atașa o funcție prin acest procedeu.
De exemplu șirul 𝑎𝑛 =
𝑛!
𝑛+1
.
Cu ajutorul funcției atașate unui șir putem rezolva mai ușor problemele de monotonie,
mărginire și convergență a șirurilor, așa cum vom vedea în cele ce urmează…
b. Se dă șirul 𝑎𝑛 = 𝑛4 + |3𝑛2 − 4|. Să se studieze monotonia și mărginirea șirului.
Notăm șirul 𝑎𝑛 cu 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + |3𝑥 2 − 4|, f : ℕ → ℝ.
|3𝑥 4 − 4| =
𝑓 𝑥 =
3𝑥 4 − 4 , 3𝑥 4 − 4 ≥ 0
−3𝑥 4 + 4 , 3𝑥 4 − 4 < 0
𝑥 4 + 3𝑥 2 − 4 , 𝑥 ∈ (−∞, −
2 3
𝑥 4 − 3𝑥 2 + 4 , 𝑥 ∈ [−
) ∪(
2 3
3
3
2 3 2 3
3
,
3
]
, ∞)
X
-
-∞
2
3𝑥 − 4
2 3
2 3
3
3
+ + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + + +
3𝑥 2 − 4 = 0
3𝑥 2 = 4
𝑥2 =
4
3
𝑥= ±
𝑥=±
2
3
2 3
3
2 3
2 3
) ∪ ( 3 , ∞)
3
2 3 2 3
[− 3 , 3 ]
3
4𝑥 + 6𝑥 , 𝑥 ∈ (−∞, −
′
𝑓 𝑥 =
4𝑥 3 − 6𝑥 , 𝑥 ∈
𝑓’(𝑥) = 0
4𝑥 3 + 6𝑥 = 0 ⟹ 2𝑥 2𝑥 2 + 3 = 0
I.
II.
∞
2𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0, nu convine
3
2𝑥 2 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 2 = − 2, nu convine
4𝑥 3 − 6𝑥 = 0 ⇒ 2𝑥 2𝑥 2 − 3 = 0
I.
2𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0
II.
2𝑥 2 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 2 = 2 ⇒ 𝑥 = ±
3
3
2
⇒𝑥=±
6
,
2
nu convine
𝑓𝑠′
2 3
− 3
=4
2 3
− 3
3
+ 2 −2 3
8 3
= −4( 32 ) − 4 3
=
𝑓𝑑′
2 3
−
3
−32 3−36 3
9
=−
68 3
9
=4
2 3
−
3
3
− 2(−
2 3
)
9
8 3
= −4 32 + 4 3
=
−32 3+36 3
9
=
4 3
9
⇒ 𝑓 𝑛𝑢 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙ă î𝑛 𝑥 = −
Analog, 𝑓𝑠′
2 3
3
2 3
3
2 3
3
≠ 𝑓𝑑′ ( ) ⇒ 𝑓 𝑛𝑢 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙ă 𝑝𝑒 𝑥 =
2 3
3
x
f’(x)
f(x)
-∞
-- - - - ↘
𝟐 𝟑
𝒇(−
𝒇 𝟎 = 𝒂𝟎 = 𝟎
𝒇 𝟏 = 𝒂𝟏 = 𝟐
𝒇 𝟐 = 𝒂𝟐 = 𝟐𝟒
𝟐 𝟑
− 𝟑
-1
0
1
∞
𝟑
- - | + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - |+ + + + + + + +
↗
↘
↗
𝟐 𝟑
)
𝟑
4
⇒ 𝒂𝒏 = 𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄ă𝒕𝒐𝒓
𝒇 𝟑 > 𝒇 𝟐 ⇒ 𝒄𝒆𝒍 𝒎𝒂𝒊 𝒎𝒊𝒄 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒍 ș𝒊𝒓𝒖𝒍𝒖𝒊 𝒆 𝒂𝟎 = 𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 = ∞
⇒ ș𝒊𝒓𝒖𝒍 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒏𝒆𝒎ă𝒓𝒈𝒊𝒏𝒊𝒕
𝟐 𝟑
)
𝟑
𝒇(