Transcript statistik bisnis 9-distribusi prob (2)

Resista Vikaliana
DISTRIBUSI PROBABILITAS
DISKRIT DAN KONTINU
4/6/2013
1
2
VARIABEL ACAK DISKRET



VARIABEL ACAK KONTINU
Sebuah variabel acak
diskret hanya dapat berisi
nilai yang terpisah
dengan jelas
Hasil menghitung sesuatu
Contoh


Jumlah mahasiswa yang
mendapat nilai A di kelas
ini
Jumlah iklan 30 detik di
RCTI dari jam 20-23
malam ini



Sebuah variabel acak yang
dapat bersi satu dari sekian
banyak nilai yang jumlahnya
tak hingga dalam batas
tertentu
Hasil suatu pengukuran
Contoh


Berat setiap mahasiswa di
kelas ini
Panjang setiap lagu pada
album terbaru Noah
Resista Vikaliana, S.Si. MM
3/30/2013
3
DISTRIBUSI DISKRIT
DISTRIBUSI BINOMIAL
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
DITRIBUSI POISSON
Resista Vikaliana
4/6/2013
4
DISTRIBUSI BINOMIAL
DISTRIBUSI DISKRIT
Resista Vikaliana, S.Si. MM
3/30/2013
DIST. BINOMIAL - 1


Dist. Binomial → Banyaknya X yang sukses dari n
usaha/proses Bernoulli.
Syarat proses Bernoulli:
Resista Vikaliana, S.Si. MM
 Percobaan
terdiri dari n usaha yang berulang
 Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan
menjadi sukses atau gagal
 Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah
dari usaha yang satu ke usaha berikutnya
 Tiap usaha bebas dengan usaha yang lainnya.
5
3/30/2013
DIST. BINOMIAL - 2

Hasil
TTT
TTC
TCT
CTT
TCC
CTC
CCT
CCC
x
0
1
1
1
2
2
2
3
Resista Vikaliana, S.Si. MM
Perhatikan:
Tiga bahan diambil secara acak dari suatu hasil
pabrik, diperiksa dan kemudian yang cacat
dipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang
cacat akan disebut sukses. → X adalah
banyaknya bahan yang cacat dan S={TTT, TCT, TTC,
CTT, TCC, CTC, CCT, CCC} [C=cacat; T=tak cacat].
6
3/30/2013
DIST. BINOMIAL - 3

x
f(x)
0
1
2
3
0.422 0.422 0.141 0.016
Resista Vikaliana, S.Si. MM
Misalkan ada info bahwa bahan tersebut dipilih
secara acak dari proses yang dianggap
menghasilkan 25% bahan yang cacat, p = 0.25,
maka
P(CTT) = (0.25)(0.75)(0.75) = 0.141
dengan cara yang sama didapatkan dist. peluang X
adalah
Dist. Binomial
7
3/30/2013
DIST. BINOMIAL - 4

Resista Vikaliana, S.Si. MM

Definisi: Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan
sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q
= 1-p, maka dist. peluang peubah acak binomial X,
yaitu banyaknya sukses dalam n usaha Bernoulli adalah
 n  x n x
Teorema:b( x; n, p)   x  p q , x  0,1, 2,..., n
 
Distribusi binomial b(x;n,p) mempunyai rata-rata dan
varians
μ = np dan σ2 = npq
8
3/30/2013
DIST. BINOMIAL - 5

Perhatikan contoh lalu:
x
f(x)
1
2
3
0.422 0.422 0.141 0.016
Resista Vikaliana, S.Si. MM

0
Ini, dapat juga ditulis sebagai
3 
b( x;3,0.25)    (0.25) x (0.75)3 x , x  0,1, 2,..., n
 x
9
3/30/2013
DIST. BINOMIAL - 6

Solusi:
n = 4; p = ¾ →2 q =2 ¼. Berapa
P(X=2)?
2
3   4 3   1 
4! 3
27

b  2;4,         
. 4
4   2   4   4  2!2! 4 128

Resista Vikaliana, S.Si. MM

Contoh: Suatu suku cadang dapat menahan uji
goncangan tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah
peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang
diuji tidak akan rusak!
10
3/30/2013
DIST. BINOMIAL - 7


Berapa P(X < x) atau P(x1 < X < x2)?
→ Tabel Binomial: b(x;n,p) = ∑nx=0b(x;n,p).
Resista Vikaliana, S.Si. MM
Contoh:
Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit
darah yang jarang adalah 0.4. Bila diketahui ada 15
orang yang telah mengidap penyakit tersebut,
berapakah peluangnya: a) paling sedikit 10 akan
sembuh; b) antara 3 sampai 8 yang sembuh; c) tepat 5
yang sembuh!
11
3/30/2013
DIST. BINOMIAL - 8

Solusi:
X = # penderita yang sembuh;
n = 15; p = 0.4; q = 0.6.
= 1 – P(X ≤ 9)
= 1 – ∑9x=0b(x;15,0.4)
= 1 – 0.9662 = 0.0338
Resista Vikaliana, S.Si. MM
a). P(X ≥ 10)
12
3/30/2013
Resista Vikaliana, S.Si. MM
13
3/30/2013
DIST. BINOMIAL - 9
c). P(X = 5) = P(X ≤ 5) – P(X ≤ 4)
= ∑5x=0b(x;15,0.4) – ∑4x=0b(x;15,0.4)
= 0.4032 – 0.2173
= 0.1859
Resista Vikaliana, S.Si. MM
b). P(3 ≤ X ≤ 8)
= P(X ≤ 8) – P(X ≤ 3)
= ∑8x=0b(x;15,0.4) – ∑3x=0b(x;15,0.4)
= 0.9050 – 0.0271
= 0.8779
14
3/30/2013
DIST. BINOMIAL - 10
bin(x;12,0.3)
0.25
0.2
Resista Vikaliana, S.Si. MM
0.15
0.1
0.05
15
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3/30/2013
12
16
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
DISTRIBUSI DISKRIT
Resista Vikaliana, S.Si. MM
3/30/2013
DIST. HIPERGEOMETRIK - 1

Perhatikan:
Maka peluang terambil 3 merah dan 2 hitam adalah
 26  26 
  
3  2  (26!/ 3!23!)(26!/ 3!23!)

P(3M , 2 H ) 

 0.3251
(52!/ 5!47!)
 52 
 
3/30/2013
5
Resista Vikaliana, S.Si. MM
Misal diambil 5 kartu secara acak dari 52 kartu bridge (13 diamond, 13
heart, 13 spade, dan 13 club). Ingin diketahui peluang terambil 3 dari
kartu berwarna merah dan 2 warna hitam.
 Ada sebanyak 26C3 cara untuk mengambil 3 kartu merah
 Ada sebanyak 26C2 cara untuk mengambil 2 kartu hitam
 Ada sebanyak 52C5 cara untuk mengambil 5 kartu dari semua kartu bridge.
17
DIST. HIPERGEOMETRIK - 2

Definisi: Dist. peluang hipergeometrik X, yaitu
banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n
yang diambil dari N benda yang mengandung k
bernama sukses dan N-k bernama gagal, ialah
x  0,1, 2,...n
Resista Vikaliana, S.Si. MM
 k  N  k 
 

x
n

x
;
h( x; N , n, k )    
N
 
n
18
3/30/2013
DIST. HIPERGEOMETRIK - 3
Kalimat verbalnya:
Resista Vikaliana, S.Si. MM
Yakni banyaknya macam sampel ukuran n yang dapat
diambil dari N benda ialah NCn. Sampel ini dianggap
mempunyai peluang sama. Ada sebanyak kCx cara
memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia, dan
untuk tiap cara ini dapat dipilih n-x gagal dalam NkC
kC .N-kC
cara.
Jadi
semuanya
ada
n-x
x
n-x macam
sampel dari NCn sampel yang mungkin diambil.
19
3/30/2013
DIST. HIPERGEOMETRIK - 4

Teorema: Rata-rata dan varians distribusi hipergeometrik h(x; N, n,
k) adalah
n.k
N n k 
k 
2

dan  
.n. 1  
N
N 1 N  N 
Contoh:
Suatu kotak berisi 40 suku cadang dikatakan memenuhi syarat
penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 yang cacat. Cara sampling
kotak ialah dengan memilih 5 suku cadang secara acak dari
dalamnya dan menolak kotak tersebut bila di antaranya ada yang
cacat. Berapakah peluang mendapatkan tepat satu yang cacat
dalam sampel berukuran 5 bila kotak tersebut berisi 3 yang cacat?
Resista Vikaliana, S.Si. MM

20
3/30/2013
DIST. HIPERGEOMETRIK - 5
h(x;40,16,11)
0.3
0.25
Resista Vikaliana, S.Si. MM
Peluang
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x sukses
3/30/2013
21
DIST. HIPERGEOMETRIK - 6


Jika N → ∞ maka dist. Hipergeometri dapat dihampiri dengan dist. Binomial.
Resista Vikaliana, S.Si. MM
Contoh: Suatu pabrik ban melaporkan bahwa dari pengiriman sebanyak 5000
ban ke suatu toko tertentu terdapat 1000 yang cacat. Bila seseorang membeli
10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapakah peluangnya
mengandung 3 yang cacat
→
h(3; 5000, 10, 1000) = 0.201478 atau
peluang mendapat ban cacat (p) = 1000/5000 = 0.2; maka
h(3; 5000, 10, 1000) ≈ b(3; 10, 0.2)
= ∑3x=0b(x;10,0.2) – ∑2x=0b(x;10,0.2)
= 0.8791 – 0.6778
= 0.2013
22
3/30/2013
23
Distribusi Poisson
DISTRIBUSI DISKRIT
Resista Vikaliana, S.Si. MM
3/30/2013
DIST. POISSON - 1

Definisi: Dist peluang p.a Poisson X, yang menyatakan
banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang
waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t,
diberikan oleh
x  0,1, 2,...
Resista Vikaliana, S.Si. MM
e   t ( t ) x
p( x; t ) 
;
x!
λt menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang
terjadi per satuan waktu atau daerah tersebut.
e = 2.71828…
24
3/30/2013
DIST. POISSON - 2

P(X > 15)
= 1 – P(X ≤ 15)
= 1 – ∑15x=0 p(x;10)
= 1 – 0.9513
= 0.0487
Resista Vikaliana, S.Si. MM

Contoh: Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba
tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan
tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15
tanker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari
tertentu tanker terpaksa ditolak karena pelabuhan tak
mampu melayani?
25
3/30/2013
Resista Vikaliana, S.Si. MM
26
3/30/2013
DIST. POISSON - 3

Teorema: Misalkan X p.a binomial dengan dist peluang b(x;n,p).
Bila n → ∞, p → 0 dan (λt) = np tetap sama, maka
b(x;n,p) → p[x; (λt)]
Contoh: Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang
dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang kadang-kadang
menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan, Diketahui bahwa
rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu
atau lebih gelembung. Berapakah peluang bahwa dalam sampel
acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang
bergelembung?
Resista Vikaliana, S.Si. MM

27
3/30/2013
DIST. POISSON - 4

n = 8000; p = 1/1000 = 0.001
→ (λt) = np = (8000)(0.001) = 8.
Jika X = # barang yang bergelembung, maka
Resista Vikaliana, S.Si. MM
P(X < 7) = P(X ≤ 6)
= ∑6x=0 b(x;8000,0.001)
≈ ∑6x=0 p(x;8)
= 0.3134
28
3/30/2013
DIST. POISSON - 5
p(x;20)
0.09
0.08
0.07
Resista Vikaliana, S.Si. MM
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62
3/30/2013
29
30
DISTRIBUSI KONTINU
DISTRIBUSI SERAGAM
DISTRIBUSI NORMAL
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Resista Vikaliana
4/6/2013
Distribusi Kontinu
Distribusi kontinu merupakan salah satu
macam distribusi probabilitas,
 Hasil dari pengukuran sesuatu
Berat badan setiap orang
Jumlah bonus yang diterima CEO

4/6/2013
Resista Vikaliana
31
4/6/2013
Resista Vikaliana
32
33
Distribusi Probabilitas
Seragam
Distribusi Probabilitas
Normal
Distibusi Probabilitas
Eksponensial
Resista Vikaliana
4/6/2013
34
Distribusi Seragam
Resista Vikaliana
4/6/2013
DIST. SERAGAM-1

Resista Vikaliana

Definisi: Bila peubah acak X mandapat nilai X1, X2,
…, Xk, dengan peluang yang sama, maka distribusi
seragam diskrit diberikan oleh:
1
f ( x; k )  , x  x1 , x2 ,..., xk
k
Lambang f(x;k) merupakan pengganti f(x) untuk
menunjukkan bahwa distribusi seragam tersebut
bergantung pada parameter k.
35
4/6/2013
DIST. SERAGAM-2

Teorema: Rata-rata dan varians untuk distribusi
seragam diskrit f(x;k) adalah
k

i 1
k
i
dan  
2
x   
i 1
2
i
k
Bila sebuah bola lampu dipilih secara acak dari
sekotak bola lampu yang berisi 1 yang 40-watt, 1
yang 60-watt, 1 yang 75-watt, dan 1 yang 100-watt,
maka tiap unsur ruang sampel S={40, 60, 75, 100}
muncul dengan peluang ¼. Jadi distribusinya seragam
dengan …
36
Resista Vikaliana

x
k
4/6/2013
DIST. SERAGAM-3
1
f ( x; 4)  , x  40, 60, 75,100
4
4

x
i 1
i
4
40  60  75  100

 68.75
4
 
2
2
(
x


)
 i
i 1
4
(40  68.75) 2  ...  (100  68.75) 2

 639.6
4
Resista Vikaliana
4
37
4/6/2013
DIST. SERAGAM-4
0.250
Peluang
0.200
0.150
0.050
40
60
75
100
Resista Vikaliana
0.100
Watt
38
4/6/2013
39
Distribusi Normal
Resista Vikaliana
4/6/2013

1. Distribusi Normal
4/6/2013
Resista Vikaliana
40
41
Resista Vikaliana
4/6/2013
Contoh:1
42
Resista Vikaliana
4/6/2013
43
Resista Vikaliana
4/6/2013
44
Distribusi Eksponensial
Resista Vikaliana
4/6/2013
Distribusi Eksponensial
45
Resista Vikaliana
4/6/2013
46
Resista Vikaliana
4/6/2013
Latihan Soal
47
1. Sebuah perusahaan ingin menilai cara pemeriksaan yang
sekarang dalam pengiriman 50 barang yang sama. Cara ini
dengan mengambil sampel sebesar 5 dan lolos pemeriksaan
bila berisi tidak lebih dari 2 yang cacat. Berapa proporsi yang
mengandung 20% cacat akan lolos pemeriksaan?
2. Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yang kasar
ditemukan bahwa 25% truk mengalami kegagalan karena ban
pecah. Dari truk yang diuji selanjutnya, hitung peluang bahwa :
a. 3 sampai 6 mengalami ban pecah
b. kurang dari 4 yang mengalami ban pecah
c. lebih dari 5 yang mengalami ban pecah
Resista Vikaliana
4/6/2013
48
3. Mesin pesawat terbang bekerja bebas satu dari yang lain dalam
penerbangan dan rusak dengan peluang 0,4. Bila dimisalkan bahwa
sebuah pesawat terbang melakukan penerbangan dengan selamat jika
paling sedikit setengah mesinnya bekerja, tentukan apakah pesawat
bermesin empat atau bermesin dua yang lebih tinggi keselamatan
penerbangannya?
Resista Vikaliana
4/6/2013
49
3. Diameter sebelah dalam suatu cincin torak berdistribusi normal
dengan rataan 10 cm dan simpangan baku 0,03 cm.
a. Berapa proporsi cincin yang mempunyai diameter dalam
melebihi 10,075 cm?
b. Berapa peluang suatu cicncin torak berdiameter dalam antara
9,97 dan 10,03 cm?
c. Di bawah nilai diameter dalam berapakah terdapat 15% dari
seluruh cincin torak?
Resista Vikaliana
4/6/2013