Transcript 數學的過

數學的過去、現在與未來
新北市海山高中數理專班
楊南屏(輔仁大學數學系)
100年12月27日
數學是什麼？
 Mathematics is the queen of sciences, but number
theory is the queen of mathematics.

---- Carl Friedrich Gauss
(1777-1885)
 Gauss 是歷史上最偉大的數學家、物理學家及天文學
家
正整數
 N 代表所有正整數的集合，亦即
N={1, 2, 3, -------}
 正整數可用於計數，如3個蘋果、5輛汽車等
 可於正整數 N 選取元素並定義運算
計數
 若全班學生安排座號，自1號開始依序安排，且無空
號，則最大座號代表全班人數。
 觀察數字順序86,87,88,-----，則第53個數字為何？
 The Well-Ordering Principle
若M為正整數N的非空子集合，則M必定含有最小元
素。
 Principle of Mathematical Induction (數學歸納法)
令M為正整數N的子集合且1為M之元素，若M含有正
整數1, 2,3,-----k, 則M含有所有的正整數，即M=N。
正整數的運算(一)
 a,b為正整數
 定義 a+b
 若b個a連續相加，則 a+a+a+-------+a = ba
 運動用品店販賣運動鞋共有五種款式，每種款式各有
7個尺寸，考慮款式及尺寸共有幾種選擇？
 乘法原理(乘法定律) 某一物件若有m種形式， m種
形式中每一形式又有k種形式，則此物件共有mk種形
式。
正整數的運算(二)
 英文字母 S, T, U, P, I, D 書寫成一列，共有幾種不同
順序書寫方式？
 自100至999所有正整數，三個位數均不同的數字之正
整數共有幾個？
正整數的運算(三)
 質數(Prime Numbers) 令p為大於1的正整數，若p的因




數只有1及p ，則p為質數
The Fundamental Theorem of Arithmetic(算術基本定理)
若n為大於1的正整數，n若不是質數，則n一定可表示
為其質因數的乘積，除順序外乘積表示法唯一。
如何判斷一正整數是否為質數？
存在無限多個質數？ (Yes)
證明：若質數有限，則----
幾何與面積
 正方形





------------ 面積 = a^2 (a為邉長)
長方形(平行四邊形) - 面積 = ab (a, b為邉長)
三角形 ------- 面積 = bh/2 (b為邉長,h表其高)
正多邊形
圓------------ 面積 = πr^2 (r為半徑)
橢圓 -------- 面積 = πab (a,b分別表長、短軸)
圓面積計算
 r為半徑的圓，面積為πr^2 (Why?)
 內接正六邊形面積
≒2.598r^2
 內接正六邊形面積
≒2.828r^2
 內接正十二邊形面積
≒3r^2
 內接正二十四邊形面積 ≒3.1058r^2
極限
 內接正多邊形面積逐漸接近πr^2