Transcript Lineære funktioner. TEORI

Koordinatsystemet
Y-aksen
2. aksen
X-aksen
1. aksen
Koordinatsystemet
8
7
6
5
4
3
2
1
A B C D E F G H
Et punkt i koordinatsystemet
Et punkt har et koordinatsæt (x,y)
én x-værdi
én y-værdi
Det er altid først x-værdien og så
y-værdien.
(Først ud af 1. aksen, så ud af 2. aksen)
Et punkt skrives med
parentes omkring sig.
Eks: (1,2)
Lineære funktioner
Andre navne:
Forskrift:
Den rette linje
1. gradspolynomium
1. gradsfunktion
Y = ax + b
f(x) = ax + b
Udtales: ”f af x” eller ”funktionen af x” er …
Afbilledes i et koordinatsystem som en ret
(= lige) linje.
”Find forskriften”
Når man bliver bedt om at finde forskriften, skal
man finde a og b for den pågældende linjen
Y = ax + b
Forskriften
y = ax + b
y og x kaldes variabler, fordi deres værdi kan variere
indenfor den enkelte forskrift. Altså at man selv kan sætte
tal ind på x’s og y’s plads i den enkelte forskrift.
a og b kaldes for konstanter, fordi deres værdi er
konstant. De bliver altså ved med at være det samme tal
hele tiden inden for den enkelte forskrift. Hvis man skifter
værdien ud på a og/eller b, laver man en ny forskrift og
dermed får man en n ret linje.
Eksempler på forskrifter
Find a og b i de forskellige forskrifter
y = 3·x - 4
y=
1
2
y = -5·x - 2
·x + 7
y=
y = 3 - 1·x
1
4
·x - 1
a
Hvad står a for?
Hældningen på linjen.
Hældningen = hvor meget linjen stiger eller falder,
hver gang man går 1 ud af x-aksen
a=1
Hvordan aflæser man a?
Hver gang man går 1 til højre af x-aksen,
går man a op (eller a ned, hvis hældningen
er negativ) på y-aksen
a = - 0,25
a
Hvordan beregner man a?
Find to punkter (x1; y1) og (x2;y2)
a=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
b
Hvad står b for?
Skæringspunkt med y-aksen
Hvordan aflæser man b?
Ser hvor den skærer y-aksen (aflæser)
y=1·x-1
y=1·x+0
y=1·x-3
y=1·x+3
b
Hvordan beregner man b?
Y - (ax) = b
aflæs et punkt (x , y) og indsæt disse på x’s og y’s plads.
Tegning af en ret linje
Eksempel:
y=2·x–3
Linien tegnes ved først at afsætte
punktet (0,-3) på 2. aksen.
Dermed har du et punkt på
linien.
Du finder næste punkt på linien
ved at gå 1 vandret fremad fra
punktet og a=2 op.
… og sådan kan man blive ved:
igen at gå 1 frem og endnu 2 op.
Lineære funktioner:
Eksempel:
y=2·x–3
Linien tegnes ved først at afsætte
punktet (0,-3) på 2. aksen.
Dermed har du et punkt på
linien.
Du finder flere punkter på linien
ved at gå 1 vandret fremad fra et
kendt punkt – og a=2 op.
… og sådan kan man blive ved:
igen at gå 1 frem og endnu 2 op.
Lineære funktioner:
Eksempel:
y=2·x–3
Linien tegnes ved først at afsætte
punktet (0,-3) på 2. aksen.
Dermed har du et punkt på
linien.
Du finder flere punkter på linien
ved at gå 1 vandret fremad fra et
kendt punkt – og a=2 op.
… og sådan kan man blive ved:
igen at gå 1 frem og endnu 2 op.
Og sådan kan man blive ved…
Lineære funktioner:
Eksempel:
y=2·x–3
Linien tegnes ved først at afsætte
punktet (0,-3) på 2. aksen.
Dermed har du et punkt på
linien.
Du finder flere punkter på linien
ved at gå 1 vandret fremad fra et
kendt punkt – og a=2 op.
… og sådan kan man blive ved:
igen at gå 1 frem og endnu 2 op.
Og linien kan tegnes…
Lineære funktioner:
Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis
Når flere funktionværdier skal
beregnes, kan man få struktur
på, ved at sætte dem ind i et
”sildeben”.
y=2·x–5
Her vælger du de x-værdier, du
ønsker – og beregner de
tilhørende y-værdier ved hjælp
af funktionsforskriften
x
y
Lineære funktioner:
Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis
Når flere funktionværdier skal
beregnes, kan man få struktur
på, ved at sætte dem ind i et
”sildeben”.
y=2·x–5
Her vælger du de x-værdier, du
ønsker – og beregner de
tilhørende y-værdier ved hjælp
af funktionsforskriften
y = 2 · (-2) – 5 = -9
x
y
-2
-9
Lineære funktioner:
Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis
Når flere funktionværdier skal
beregnes, kan man få struktur
på, ved at sætte dem ind i et
”sildeben”.
y=2·x–5
Her vælger du de x-værdier, du
ønsker – og beregner de
tilhørende y-værdier ved hjælp
af funktionsforskriften
y = 2 · 0 – 5 = -5
x
y
-2
-9
0
-5
Lineære funktioner:
Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis
Når flere funktionværdier skal
beregnes, kan man få struktur
på, ved at sætte dem ind i et
”sildeben”.
y=2·x–5
Her vælger du de x-værdier, du
ønsker – og beregner de
tilhørende y-værdier ved hjælp
af funktionsforskriften
y=2·3–5=1
x
y
-2
-9
0
-5
3
1
Lineære funktioner:
Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis
Når flere funktionværdier skal
beregnes, kan man få struktur
på, ved at sætte dem ind i et
”sildeben”.
y=2·x–5
Her vælger du de x-værdier, du
ønsker – og beregner de
tilhørende y-værdier ved hjælp
af funktionsforskriften
y=2·7–5=9
x
y
-2
-9
0
-5
3
1
7
9
Lineære funktioner:
Tegning af funktionen i et
koordinatsystem
Funktionen tegnes ved at man
afsætter de beregnede værdier i
koordinatsystemet:
y=2·x–5
x
y
-2
-9
0
-5
3
1
7
9
Lineære funktioner:
Tegning af funktionen i et
koordinatsystem
Funktionen tegnes ved at man
afsætter de beregnede værdier i
koordinatsystemet – og tegner
linien, der dannes af punkterne.
y=2·x–5
x
y
-2
-9
0
-5
3
1
7
9
Eksempler på problemer
… der giver lineære funktioner:
1. Peter køber mælk i supermarkedet. Mælken koster 7,50 kr/liter.
Til at bære mælken hjem køber Peter en bærepose til 3,00 kr.
Peter kommer af med: y = 7,5 · x + 3
2. Maj går på diskotek. Entreen koster 50 kr. Maj drikker kun
sodavand hele aftenen. Sodavand koster 18 kr/stk. Maj kommer i
alt af med: y = 18 · x + 50
3. Hans skal med bussen – og han skal gerne have sin cykel med.
Prisen er 8 kr/takstzone. Det koster derudover 35 kr at have
cyklen med bussen. Hans kommer i alt af med: y = 8 · x + 35
4. Erna køber nogle pakker chips til 20 kr/pakke. Hun indløser
samtidig en flaskebon, der lyder på 36,50 kr. Erna skal i alt af
betale: y = 20 · x – 36,5
5. Kurt kører med taxa. Takstprisen er 24 kr/km og dertil kommer
startgebyr på 30 kr. Kurt kommer af med: y = 24 · x + 30
Opgave 5 + 6
• Lav situationer som kan beskrives med en ret
linje.
• Når historierne er nedskrevet bytter man med
et anden gruppe.
• Den anden gruppe skal nu skrive forskriften
for den lineære funktion.
Skæringspunkt mellem to linjer
Situationer, hvor det er relevant:
Hvornår kan det bedst betale sig at benytte sig af henholdsvis tilbud 1 og
tilbud 2
Antal skæringspunkter
To lineære funktioner har
enten 1 eller 0 skæringspunkter
Et skæringspunkt kan man aflæse
eller
man kan beregne det.
Eksempel på situation med
skæringspunkter
Du skal med taxa.
Byens taxa koster 3 kr./km
Oles taxa koster 1 kr./km + 20 kr. i startgebyr.
Hvornår kan det bedst betale sig at køre med
Byens taxa?
Aflæsning af skæringspunkter
Problemet ved en aflæsning af
skæringspunkter i et koordinatsystem
er, at man ikke kan være præcis
nok; heller ikke når man arbejder på
f.eks. et millimeterpapir, der trods alt
er mere præcist end almindeligt
kvadreret papir.
Beregning af skæringspunktet
• Beregning af skæringspunktet sker ved ligningsløsning,
og metoden er den samme – uanset hvilken type af
funktion, der er tale om! – Blot kan vi komme ud for flere
forskellige typer af ligninger!
• Grundideen er at udnytte, at to givne funktioner i netop
deres skæringspunkt (og kun der!) har samme x–værdi og
y-værdi
Skæring mellem to linjer.
Find x-værdien
Tilbud 1: Y1 = a1x1+b1
Tilbud 2: Y2 = a2x2+b2
De linjer skærer hinanden, hvor de ved samme x-værdi også har
samme y-værdi (Y1 =Y2).
Y =Y
a x +b = a x +b
a x = a x +b - b
ax +ax =b -b
(a + a ) x = b - b
x = (b - b ) : (a + a )
1
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
Sæt de to funktioner lig hinanden
Isoler x
Husk a og b er tal og x er en ubekendt
Skæringen mellem to linjer.
Find y-værdien
Vi har nu fundet x-værdien for skæringspunktet (x,y)
Find y-værdien:
Den fundne x-værdi indsættes i en af forskrifterne (for enten tilbud 1 eller
tilbud 2). Man vil derved beregne y værdien til skæringspunktet.
Man skal altså finde et koordinatsæt (x , y)
Beregning af skæringspunkt
Eksempel 1
To lineære funktioner
Tilbud 1:
Tilbud 2:
y = 1x + 3
y = 3x + 0,5
1
1
2
2
Tilbud 1 = tilbud 2
y= y
1
De to tilbud sættes lig hinanden, da de
skærer hinanden i netop et punkt.
Vi har nu en ligning, hvor vi skal isolere x
2
1x + 3 = 3x + 0,5
3-0,5 = 3x – 1x
2,5 = 2x
2,5 : 2= x
x= 1,25
1
Y-værdien:
2
y = 1x + 3
y = 1 * 1,25 + 3
y = 4,25
1
1
1
Skæringspunkt = (1,25 ; 4,25)
1
Beregning af skæringspunkt
Eksempel 2
To lineære funktioner
Opgave:
Beregn skæringspunktet mellem
de to lineære funktioner:
y = 3·x – 5 og
y = –0,5·x + 2
Beregning af skæringspunkt
Eksempel 2
To lineære funktioner
Opgave:
Løsning:
Beregn skæringspunktet mellem
de to lineære funktioner:
Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2,
er
y = 3·x – 5 og
3·x – 5 = –0,5·x + 2
y = –0,5·x + 2
Beregning af skæringspunkt
Eksempel 2
To lineære funktioner
Opgave:
Løsning:
Beregn skæringspunktet mellem
de to lineære funktioner:
Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2,
er
y = 3·x – 5 og
3·x – 5 = –0,5·x + 2
y = –0,5·x + 2
3·x + 0,5·x = 2 + 5
<=>
Beregning af skæringspunkt
Eksempel 2
To lineære funktioner
Opgave:
Løsning:
Beregn skæringspunktet mellem
de to lineære funktioner:
Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2,
er
y = 3·x – 5 og
3·x – 5 = –0,5·x + 2
<=>
y = –0,5·x + 2
3·x + 0,5·x = 2 + 5
<=>
3,5·x = 7
Beregning af skæringspunkt
Eksempel 2
To lineære funktioner
Opgave:
Løsning:
Beregn skæringspunktet mellem
de to lineære funktioner:
Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2,
er
y = 3·x – 5 og
3·x – 5 = –0,5·x + 2
<=>
y = –0,5·x + 2
3·x + 0,5·x = 2 + 5
<=>
3,5·x = 7
<=>
x=2
Beregning af skæringspunkt
Eksempel 2
To lineære funktioner
Opgave:
Løsning:
Beregn skæringspunktet mellem
de to lineære funktioner:
Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2,
er
y = 3·x – 5 og
3·x – 5 = –0,5·x + 2
<=>
y = –0,5·x + 2
3·x + 0,5·x = 2 + 5
<=>
3,5·x = 7
<=>
x=2
y-værdien i skæringspunktet findes
ved at indsætte x=2 i det ene af
de to funktionsudtryk:
y = 3·2 – 5
Beregning af skæringspunkt
Eksempel 2
To lineære funktioner
Opgave:
Løsning:
Beregn skæringspunktet mellem
de to lineære funktioner:
Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2,
er
y = 3·x – 5 og
3·x – 5 = –0,5·x + 2
<=>
y = –0,5·x + 2
3·x + 0,5·x = 2 + 5
<=>
3,5·x = 7
<=>
x=2
y-værdien i skæringspunktet findes
ved at indsætte x=2 i det ene af
de to funktionsudtryk:
y = 3·2 – 5 = 6 – 5 = 1
Beregning af skæringspunkt
Eksempel 2
To lineære funktioner
Opgave:
Løsning:
Beregn skæringspunktet mellem
de to lineære funktioner:
Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2,
er
y = 3·x – 5 og
3·x – 5 = –0,5·x + 2
<=>
y = –0,5·x + 2
3·x + 0,5·x = 2 + 5
<=>
3,5·x = 7
<=>
- skæringspunktet er (2,1)
x=2
y-værdien i skæringspunktet findes
ved at indsætte x=2 i det ene af
de to funktionsudtryk:
y = 3·2 – 5 = 6 – 5 = 1
skæringspunktet er (2,1)