Transcript Lineær Algebra - talentcamp.dk

1
Lineær Algebra
Program for weekenden
• Lidt om mængder og notation (repetition)
• Vektorrum og talrummet ℝ𝑛
• Matrixalgebra
• Underrum og udspændinger
• Lineære ligninger og systemer
• Lineære afbildninger
• Determinanter
• Egenværdiproblemet
Lidt om mængder
og notation
Repetition samt lidt nyt…
4
Mængdenotation
•
Hvad er en mængde?
•
Hvad er elementer?
•
At krydse mængder (eksempler på tavlen)
•
Mængdeprodukter af de reelle tal
•
Sammenhæng med koordinatsystemer
•
Mængdenotation og symboler
5
A
C
B
6
A
a4
a1
a7
a5
a2
a3
a6
A={a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7}
7
Talmængder
ℕ
De naturlige tal
ℤ
De hele tal
ℚ
De rationelle tal
ℝ
De reelle tal
ℂ
De komplekse tal
 Det er her vi er denne gang
8
Mængdenotation
•
Hvad er en mængde?
•
Hvad er elementer?
•
At krydse mængder (eksempler på tavlen)
•
Mængdeprodukter af de reelle tal (tavle)
•
Sammenhæng med koordinatsystemer (tavle)
•
Mængdenotation og symboler
9
Mængdenotation
En mængde, A, indeholder alle hele tal mindre end 4, dvs.
3,2,1,0,-1... En sådan mængde kan skrives på følgende måde:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ|𝑥 < 4}
𝑥 – er et (vilkårligt) element i mængden A.
∈ - er et matematisk symbol, der betyder ”tilhører”.
ℤ - er symbolet for de hele tal
| - betyder ”hvorom det gælder”
∃ - der eksisterer
: - for hvilke(t)
10
Mængdenotation
▪ Gennemgang af symboler
▪ Eksempel 1:
– Opskriv mængden af alle reelle tal større end 7
▪ Eksempel 2:
– Opskriv mængden af alle rationelle tal større end 4 og
mindre end 17
▪ Eksempel 3:
– Opskriv mængden af alle punkter på grafen for funktionen
med forskriften 𝑦 = 2𝑥
Mængdenotation
▪ Eksempel:
– Opskriv mængden af alle positive lige tal
– SVAR: 𝐿 = 𝑥 ∈ ℕ
𝑥
2
∈ ℕ = 𝑥 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ: 𝑥 = 2𝑛
▪ Eksempel:
– Opskriv mængden af alle primtal
– SVAR: 𝑃 = 𝑥 ∈ ℕ ∀𝑎 ∈ ℕ
𝑎 ≠ 1, 𝑥 ∶
𝑥
𝑎
∉ℕ
Mængdenotation - opgaver
Opgave 1
Opgave 2
Opskriv følgende mængder med korrekt
mængdenotation.
Opskriv mængden E markeret herunder:
En mængde A indeholder alle hele tal fra og
med 1 til og med 100.
En mængde B indeholder alle reelle talsæt
(x, y), for hvilke det gælder at y er 3 gange x.
En mængde C indeholder alle rationelle tal
1
større end og mindre end 7.
3
En mængde D indeholder alle naturlige lige
tal.
Opskriv mængden F, givet ved alle punkter
på linjen med følgende forskrift y=4+2x.
13
Vektorrum og
𝑛
talrummet ℝ
Hvad er et vektorrum?
14
Vektorrum
Definition 1.1: Vektorrum
Et vektorrum over ℝ er en ikke tom mængde V, hvor der er
defineret følgende to regneoperationer:
• Addition af to vilkårlige elementer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 danner summen
𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑉.
• Multiplikation med en skalar, der ud fra ethvert element 𝑎 ∈
𝑉 og enhver skalar k ∈ ℝ danner et produkt 𝑘𝑎 ∈ 𝑉.
(fortsættes på næste slide…)
15
Vektorrum
Definition 1.1: Vektorrum (fortsat…)
Således, at følgende regler er opfyldt for ∀a, b, c ∈ V og ∀𝑘1 , 𝑘2 ∈ ℝ:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎
𝑎+𝑏 +𝑐 =𝑎+ 𝑏+𝑐
∃0 ∈ V: 𝑎 + 0 = 𝑎
∃(−a) ∈ V: 𝑎 + −𝑎 = 0
𝑘1 𝑘2 𝑎 = 𝑘1 𝑘2 𝑎
𝑘1 𝑎 + 𝑏 = 𝑘1 𝑎 + 𝑘1 𝑏
𝑘1 + 𝑘2 𝑎 = 𝑘1 𝑎 + 𝑘2 𝑎
1𝑎 = 𝑎
Da kaldes V et vektorrum og elementerne i V kaldes vektorer.
16
Talrummet ℝ𝑛
Vi betragter nu mængden ℝ𝑛 , hvorpå vi definerer:
Addition
Lad 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , . . . , 𝑎𝑛 ) og 𝑏 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , . . . , 𝑏𝑛 ) være elementer i
ℝ𝑛 . Summen af de to talsæt defineres således:
𝑎 + 𝑏 = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3 , . . . , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )
Skalarmultiplikation
Lad 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , . . . , 𝑎𝑛 ) være et element i ℝ𝑛 og lad 𝑘 ∈ ℝ være en
skalar. Skalarproduktet af vektoren (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , . . . , 𝑎𝑛 ) og skalaren k
defineres således:
𝑘 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑘 = (𝑘𝑎1 , 𝑘𝑎2 , 𝑘𝑎3 , . . . , 𝑘𝑎𝑛 )
17
Talrummet ℝ𝑛
Neutralelement
Talsættet (0,0, … , 0) kaldes nulelementet i ℝ𝑛 og betegnes
0 = (0,0, … , 0).
Modsat element
Det modsatte element til a betegnes –a og defineres
−𝑎 = −𝑎1 , −𝑎2 , … , −𝑎𝑛
Og opfylder da: 𝑎 + −𝑎 = 0
Talrummet ℝ𝑛
𝑛 . Det kan vises ud
Vi har nu defineret addition og skalarmultiplikation
på
ℝ
fra ovenstående at følgende er opfyldt for ℝ𝑛
For ∀a, b, c ∈ V og ∀𝑘1 , 𝑘2 ∈ ℝ:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎
𝑎+𝑏 +𝑐 =𝑎+ 𝑏+𝑐
∃0 ∈ V: 𝑎 + 0 = 𝑎
∃(−a) ∈ V: 𝑎 + −𝑎 = 0
𝑘1 𝑘2 𝑎 = 𝑘1 𝑘2 𝑎
𝑘1 𝑎 + 𝑏 = 𝑘1 𝑎 + 𝑘1 𝑏
𝑘1 + 𝑘2 𝑎 = 𝑘1 𝑎 + 𝑘2 𝑎
1𝑎 = 𝑎
ℝ𝑛 udstyret med addistion og skalarmultiplikation er altså et vektorrum.
Vektorer i ℝ𝑛
Opgave 1
Der er givet følgende vektorer:
1
4
−6
4
5
𝒂=
, 𝒃=
, 𝒄 = 2 , 𝒅 = −1 , 𝒆 = 1
1
2
3
6
8
Udregn følgende:
a+b, 3b, c-d, 2e+c, d-a, 2d-4e, a·b
Opgave 2
Vis at ethvert vektorrum V indeholder et og kun et neutralt element 0
Opgave 3
Vis at ethvert vektorrum V indeholder et og kun et modsat element til a.
20
Matrixalgebra
Hvad er en matrix?
▪ En matrix er et talskema, der indeholder 𝑚 ∗ 𝑛
elementer.
▪ m rækker og n søjler
▪ Reelle matricer, 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ
▪ Elementer i vektorrummet ℝ𝑚×𝑛
𝑎11
𝑎21
𝐴= ⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋱
⋮
… 𝑎𝑚𝑛
Addition og skalarmultiplikation
Defineres på tavlen. Af definitionerne følger disse
regneregler for matricer.
For vilkårlige elementer A, B og C i ℝ𝑚×𝑛 og vilkårlige skalarer 𝑘1 og 𝑘2
gælder:
1.
2.
3.
4.
A+𝐵 = 𝐵 +A
𝐴+𝐵 +𝐶 =𝐴+ 𝐵+𝐶
A+0 = 𝐴
A + −𝐴 = 0
5.
6.
𝑘1 𝑘2 𝐴 = 𝑘1 𝑘2 𝐴
𝑘1 𝐴 + 𝐵 = 𝑘1 𝐴 + 𝑘1 𝐵
7.
8.
𝑘1 + 𝑘2 𝐴 = 𝑘1 𝐴 + 𝑘2 𝐴
1𝐴 =A
Matrix-vektorprodukt
Lad A være en vilkårlig matrix i ℝ𝑚×𝑛 og lad v være en vilkårlig vektor i ℝ𝑛 . Ved
Matrix-vektorproduktet forstår vi da:
𝑎11
𝑎21
𝐴𝑣 = ⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋱
⋮
… 𝑎𝑚𝑛
𝑣1
𝑎11
𝑎12
𝑎1𝑛
𝑣2
𝑎21
𝑎22
𝑎2𝑛
=
𝑣
+
𝑣
…
+
𝑣
1
2
𝑛
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑣𝑛
𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
𝑎𝑚𝑛
Hvad skal der gælde om antallet af søjler i matricen og antallet af elementer i
vektoren?
Matrix-matrixprodukt
𝑚×𝑛 og lad B være en vilkårlig
Lad A være
en
vilkårlig
matrix
i
ℝ
vektor i ℝ𝑛×𝑝 . Ved Matrix-matixproduktet forstår vi da:
𝑎11
𝑎21
𝐴𝐵 = ⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
𝑏11
𝑏
= 𝐴 21
⋮
𝑏𝑛1
… 𝑎1𝑛 𝑏11
… 𝑎2𝑛 𝑏21
⋱
⋮
⋮
… 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑛1
𝑏12
𝑏
𝐴 22
⋮
𝑏𝑛2
𝑏12
𝑏22
⋮
𝑏𝑛2
𝑏1𝑝
𝑏
… 𝐴 2𝑝
⋮
𝑏𝑛𝑝
… 𝑏1𝑝
… 𝑏2𝑝
⋱
⋮
… 𝑏𝑛𝑝
Hvad skal der gælde om antallet af søjler i matricen A og antallet af
rækker i matricen B?
Regneregler for matricer
For vilkårlige matricer A,B og C og ligeledes et vilkårligt reelt
tal k gælder følgende 4 regneregler, såfremt de respektive
matrix-matrixprodukter kan dannes:
𝑘𝐴 𝐵 = 𝐴 𝑘𝐵 = 𝑘 𝐴𝐵
▪ Produkt med skalar er
associativt.
𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
▪ De distributive regler
gælder
𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
A(BC)=(AB)C
AB=BA ????
▪ Matrix-matrix produkter
er associative
▪ Gælder den
kommutative lov for
multiplikationen?????
Opgaver
Underrum og udspændinger
Hvad er et underrum?
En delmængde U af et vektorrum V kaldes et underrum hvis U selv er et
vektorrum. Dvs. U skal være stabilt overfor addition og
skalarmultiplikation.
Hvis en delmængde U skal være et underrum skal den altså opfylde
følgende to krav:
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈:
𝑥+𝑦 ∈𝑈
∀𝑘 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ 𝑈:
𝑘𝑥 ∈ 𝑈
Eksempler
Vis af følgende mængde er et underrum af ℝ2 :
𝑈 = {(𝑥1 , 𝑥2 ) ∈ ℝ2 |𝑥2 = 2𝑥1 }
Kan mængden tegnes?
Undersøg om følgende mængde er et underrum af ℝ2 :
𝑈 = {(𝑥1 , 𝑥2 ) ∈ ℝ2 |𝑥2 = 𝑥1 + 3}
Kan mængden tegnes?
Trivielle underrum
I et hvert vektorrum V kan man altid udpege to trivielle
underrum.
1. V er i sig selv et underrum
2. Mængden 0 er et underrum
Linearkombinationer
Lad 𝑎1, 𝑎2 , … , 𝑎𝑝 være et endeligt antal vektorer
tilhørende et vektorrum V.
Ved en linearkombination af disse vektorer forstås:
𝑣 = 𝑘1 𝑎1 + 𝑘2 𝑎2 + ⋯ + 𝑘𝑝 𝑎𝑝
Hvor 𝑘1 , 𝑘2 , … 𝑘𝑝 ∈ ℝ
Eksempel på en linearkombination.
Span{ }
Mængden af samtlige linearkombinationer af vektorerne
𝑎1, 𝑎2 , … , 𝑎𝑝 betegnes som:
span 𝑎1, 𝑎2 , … , 𝑎𝑝 = {𝑘1 𝑎1 + 𝑘2 𝑎2 + ⋯ + 𝑘𝑝 𝑎𝑝 |𝑘𝑖 ∈ ℝ}
Hvor 𝑝 ∈ ℕ
For vilkårlige vektorer 𝑎1, 𝑎2 , … , 𝑎𝑝 i et vektorrum V, er
span 𝑎1, 𝑎2 , … , 𝑎𝑝 et underrum i V.
Bevis!
Opgaver
Lineære ligninger
Hvad er lineære ligninger
En lineær ligning med n ubekendte (n er et vilkårligt
naturligt tal) skal altid kunne reduceres til følgende form:
𝑎1 ∙ 𝑥1 + 𝑎2 ∙ 𝑥2 + 𝑎3 ∙ 𝑥3 +. . . +𝑎𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑏
Hvor de n ubekendte er navngivet 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 . . . 𝑥𝑛 .
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 . . . 𝑎𝑛 kaldes koefficienter og er kendte reelle
tal, der er ganget på de ubekendte.
b er et kendt reelt tal og kaldes ligningens højreside.
Eksempler på lineære/ikke lineære ligninger.
Eksempler på homogene/inhomogene ligninger.
Løsninger til lineære ligninger
•
Ligning med 1 ubekendt
•
Ligning med flere ubekendte (uendeligt mange
løsninger)
•
Trivielle og inkonsistente ligninger
•
Løsningsmængder (Hvilken dimension?)
•
Parameterfremstillinger
•
Illustration af løsningsmængder
Illustration af løsningsmængder
𝑦 = 4𝑥 + 3
𝑥
0
1
=
+
𝑠
𝑦
3
4
𝑥 = 9 − 𝑦 + 2𝑧
𝑥
9
−1
2
𝑦 = 0 +𝑠∙ 1 +𝑡∙ 0
𝑧
0
0
1
Opgaver
Systemer af lineære
ligninger
Hvad er et ligningssystem?
▪ Matematik intro
▪ Substitutionsmetoden
▪ Eksempel
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 9
𝑦 − 2𝑧 = 6
Illustration af løsningsmængden
Ligningssystem har 1 fri variabel.
Løsningsmængden er derfor 1dimentionel
𝑥
3
1
𝑦 = 6 +𝑡∙ 2
𝑧
0
1
Hvad er problemet med
substitutionsmetoden?
▪ Løs følgende ligningssystem:
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 − 3𝑥4 = 1
𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥4 = 2
2𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 8
𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 = −11
Løsningen
▪ Ligningssystemer med m ligninger og n ubekendte
𝑎11 ∙ 𝑥1 + 𝑎12 ∙ 𝑥2 + 𝑎13 ∙ 𝑥3 +. . . +𝑎1𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 ∙ 𝑥1 + 𝑎22 ∙ 𝑥2 + 𝑎23 ∙ 𝑥3 +. . . +𝑎2𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1 ∙ 𝑥1 + 𝑎𝑚2 ∙ 𝑥2 + 𝑎𝑚3 ∙ 𝑥3 +. . . +𝑎𝑚𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
▪ Ligningssystemet på matrixform:
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋱
⋮
… 𝑎𝑚𝑛
𝑥1
𝑏1
𝑥2
𝑏2
⋮ = ⋮
𝑥𝑛
𝑏𝑚
Gauss-Elimination
▪ Totalmatricen
▪ Koefficientmatricen (𝑛 × 𝑚)
▪ Elementaroperationer
E1) Ombytning af 2 rækker
E2) Multiplikation af en række med en konstant 𝑘 ≠ 0
E3) Rækkeoperation.
▪ Algoritme
Den reducerede totalmatrix
Et lineært ligningssystem kaldes et fuldstændigt reduceret
ligningssystem, hvis dets tilhørende totalmatrix er
en trappematrix. En matrix er en trappematrix, hvis den
opfylder de følgende fire betingelser:
 Det første tal i en række, forskelligt fra 0, skal være et 1-tal.
Det kaldes for rækkens ledende 1-tal.
 I to på hinanden følgende rækker, som begge har et
ledende 1-tal, står den øverste rækkes ledende 1-tal længere
til venstre end den følgende rækkes ledende 1-tal.
 I en søjle hvori der optræder et ledende 1-tal, består de
øvrige elementer i søjlen udelukkende af 0-er.
 Rækker udelukkende bestående af 0-er, er placeret i bunden
af matricen.
Trappematrix og Rang
▪ Trappematricen hørende til et vilkårligt ligningssystem med
m ligninger og n ubekendte.
1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
𝛼11
⋮
𝛼1𝜌
0
0
0
…
⋱
…
0
0
0
𝛼1𝑣
⋮
𝛼𝜌𝑣
0
0
0
𝛽1
⋮
𝛽𝜌
𝛽𝜌+1
⋮
𝛽𝑚
▪ Rang 𝜌
▪ Antal frie variable 𝑣 = 𝑛 − 𝜌
▪ For 𝜌 < 𝑚 og (𝛽𝜌+1 , 𝛽𝜌+2 , … 𝛽𝑚 ) ≠ (0,0 … 0), Ingen løsning
▪ For 𝜌 = 𝑛, Netop én løsning
▪ For 𝝆 < 𝒏, Uendelig mange løsninger
Regulær eller singulær
Koefficientmatricen for et kvadratisk lineært ligningssystem
bestående af n lineære ligninger med n ubekendte kaldes
regulær, hvis den har rang n.
Opgaver
Lineære
afbildninger
ved Mads Friis (det bliver pisse godt!)
Lineære afbildninger
Definition:
En afbildning 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 kaldes lineær, hvis den
opfylder
∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 : 𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑦)
∀𝑥 ∈ ℝ𝑛 , ∀𝜆 ∈ ℝ: 𝑓 𝜆𝑥 = 𝜆𝑓 𝑥
Dvs. 𝑓 bevarer linearkombinationer.
Lineære afbildninger
Eksempel 1.1
𝑓: ℝ → ℝ,
2
2
𝑔: ℝ → ℝ ,
ℎ: ℝ3 → ℝ,
𝑙: ℝ → ℝ2 ,
𝑚: ℝ2
→ ℝ,
𝑓 𝑥 = 3𝑥
𝑥1
2𝑥1
𝑔 𝑥 =
3𝑥2
2
𝑥1
ℎ 𝑥2 = 2𝑥1 + 3𝑥3
𝑥3
𝑙 𝑥 =
2𝑥
2
𝑥1
m 𝑥 = 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥1
2
Lineære afbildninger
Opgaver 5.1
Lineære afbildninger
Sætning:
Lad 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 være en lineær afbildning. Da
findes netop én matrix 𝐴, så 𝑓 𝑥 = 𝐴 ⋅ 𝑥
Hvis omvendt 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 er en afbildning, så ∃𝐴
∈ ℝ𝑚×𝑛 : 𝑓 𝑥 = 𝐴 ⋅ 𝑥, da er 𝑓 lineær.
Lineære afbildninger
Eksempler
𝑥1
𝑓 𝑥 =
2
2𝑥1 + 𝑥3
−𝑥2 + 𝑥3
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3
𝑥1
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3
𝑥
𝑔 2 =
−4𝑥2 + 2𝑥3
𝑥3
Lineære afbildninger
Opgaver
Funktioner (kort)
Injektivitet
Lad 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 være en afbildning. Vi siger, at 𝑓 er
injektiv, hvis
∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ𝑛 : 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2
Vi siger modsat, at 𝑓 ikke er injektiv, hvis
∃𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ𝑛 : 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 ∧ ¬ 𝑥1 = 𝑥2
Funktioner (kort)
Surjektivitet
Lad 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 være en afbildning. Vi siger, at 𝑓 er
surjektiv, hvis
∀𝑦 ∈ ℝ𝑚 ∃𝑥 ∈ ℝ𝑛 : 𝑓 𝑥 = 𝑦
Vi siger modsat, at 𝑓 ikke er injektiv, hvis
∃𝑦 ∈ ℝ𝑚 ∀𝑥 ∈ ℝ𝑛 : 𝑓 𝑥 ≠ 𝑦
Funktioner (kort)
Bijektivitet
Lad 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 være en afbildning. Vi siger, at 𝑓 er
bijektiv, hvis 𝑓 er både injektiv og surjektiv.
Funktioner (kort)
Eksempler
𝑓: ℝ2 → ℝ3 ,
𝑔: ℝ3 → ℝ2 ,
ℎ: ℝ3 → ℝ3 ,
𝑥1 − 2𝑥2
𝑥1
𝑓 𝑥 = −𝑥1 − 𝑥2
2
3𝑥2
𝑥1
𝑥 − 2𝑥2 + 𝑥3
𝑔 𝑥2 = 1
𝑥1 + 𝑥3
𝑥3
𝑥1
𝑥2 − 3𝑥3
4𝑥1
ℎ 𝑥2 =
𝑥3
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3
Funktioner (kort)
Opgaver
Lineære ligningssystemer
Sætning:
Lad 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 være en lineær afbildning med
tilhørende matrix 𝐴. Antag 𝐴 ved hjælp af
rækkeoperationer kan omdannes til en trappematrix
𝐴′ med 𝑑 trin. Der gælder da
Hvis 𝑚 > 𝑑 findes der en søjle 𝑦 ∈ ℝ𝑚 , så 𝑓 𝑥 = 𝐴 ⋅ 𝑥
= 𝑦 ingen løsninger har.
2) Hvis 𝑛 > 𝑑 har 𝑓 𝑥 = 𝐴 ⋅ 𝑥 = 0 ∈ ℝ𝑚 en
løsningsmængden givet ved en parameterfremstilling
med 𝑛 − 𝑑 parametre, og ligningen har altså uendeligt
mange løsninger.
3) Hvis 𝑚 = 𝑛 = 𝑑 har 𝑓 𝑥 = 𝐴 ⋅ 𝑥 = 𝑦 netop én løsning
for hvert valg af 𝑦 ∈ ℝ𝑚 .
1)
Lineære afbildninger
Sætning:
Lad 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 være en lineær afbildning med
tilhørende matrix 𝐴. Antag 𝐴 ved hjælp af
rækkeoperationer kan omdannes til en trappematrix
𝐴′ med 𝑑 trin. Der gælder da
Hvis ligningssystemet 𝑓 𝑥 = 𝐴 ⋅ 𝑥 = 𝑦 har mindst en
løsning for hvert valg af 𝑦 ∈ ℝ𝑚 , da er 𝑑 = 𝑚.
2) Hvis ligningssystemet 𝑓 𝑥 = 𝐴 ⋅ 𝑥 = 0 kun har en
løsning, da er 𝑑 = 𝑛.
3) Hvis ligningssystemet 𝑓 𝑥 = 𝐴 ⋅ 𝑥 = 𝑦 har netop én
løsning for hvert valg af 𝑦 ∈ ℝ𝑚 , da er 𝑑 = 𝑚 = 𝑛.
1)
Lineære afbildninger
Sætning:
En lineær afbildning 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 er injektiv netop
når ligningen 𝑓 𝑥 = 0 kun har løsningen 𝑥0 = 0.
Lineære afbildninger
Opgaver
Bemærk:
Lad 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 være lineær med tilhørende matrix
𝐴. Antag 𝐴′ er trappereduceret med 𝑑 trin.
– 𝑓 er injektiv, hvis og kun hvis 𝑑 = 𝑛.
(Dimensionssætningen)
– 𝑓er surjektiv, hvis og kun hvis 𝑑 = 𝑚.
(Bevis kræver på reel dispositionsmængde)
– 𝑓 er bijektiv, hvis og kun hvis 𝑑 = 𝑚 = 𝑛.
Lineære afbildninger
Definition:
Ved kernen ker 𝑓 for 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 forstås mængde
ker 𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ𝑛 𝑓 𝑥 = 0}
Lineære afbildninger
Definition:
Ved rangen rg 𝑓 af en lineær afbildning 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚
forstås dimensionen af billedrummet 𝑓 ℝ𝑛 .
Lad 𝐴 betegne den til 𝑓 hørende matrix, og lad 𝐴′
være trappereduceret med 𝑑 trin og fremkommet af
𝐴 ved rækkeoperationer. Da er
rg 𝑓 = d
Lineære afbildninger
Dimensionssætningen:
For en lineær afbildning 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 gælder
rg 𝑓 + dim ker 𝑓 = dim ℝ𝑛
Determinanter
Determinanter
• Permutationer
• Definition af determinanter
• Udvalgte sætninger
• Den inverse matrix
• Perspektivering til lineære afbildninger
Permutationer
• Permutationer af 1, 2, 3, … , n
• Definer mængden af alle permutationer af tallene 1, 2, 3, … , n
• Hvor mange permutationer er der?
• Inversioner (eksempler på tavlen)
• Antallet af inversioner i en permutation: 𝐼(𝑗1 , 𝑗2 , … , 𝑗𝑛 )
• Lige og ulige permutationer
• Fortegn for en permutation, 𝑠𝑔𝑛(𝑗1 , 𝑗2 , … , 𝑗𝑛 )
Opgaver, permutationer
Opgave 1
Bestem antallet af inversioner i permutationen 2, 3, 5, 1, 4,
7, 8, 6 og bestem dernæst permutationens fortegn.
Opgave 2
Opskriv samtlige permutationer af tallene 1, 2 og bestem
fortegnet for hver permutation.
Opgave 3
Opskriv samtlige permutationer af tallene 1, 2, 3 og
bestem fortegnet for hver permutation.
Opgave 4
Opskriv samtlige permutationer af tallene 1, 2, 3, 4 og
bestem fortegnet for hver permutation.
Definition af determinanter
Til enhver kvadratisk matrix A knytter vi et bestemt tal, kaldet
determinanten. Vi skriver det(A).
Definition:
Ved determinanten til den kvadratiske matrix A forstås tallet:
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋱
⋮
det 𝐴 = 𝑑𝑒𝑡 ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
=
𝑠𝑔𝑛 𝑗1 , 𝑗2 , … , 𝑗𝑛 𝑎1𝑗1 𝑎2𝑗2 ⋯ 𝑎𝑎𝑗𝑛
𝑆𝑛
Opgaver, determinanter
Opgave 1
Bestem determinanten til matricen
𝐴=
1
3
2
4
Opgave 2
Bestem determinanten til matricen
𝐵=
−1
3
2
4
Opgave 3
Bestem determinanten til matricen
1 2 −1
𝐴= 3 3 2
−3 2 1
Opgaver, determinanter
Opgave 4
Bestem determinanten til matricen
𝐴=
−1 −7
3 −4
Opgave 5
Bestem determinanten til matricen
1
𝐵= 1
4
0
3
−2
0
0
7
Opgave 6
Bestem determinanten til matricen
1
𝐴= 0
0
2
3
0
−1
2
7
Opgaver, determinanter
Opgave 4
Bestem determinanten til matricen
𝐴=
−1 0
0 −4
Opgave 5
Bestem determinanten til matricen
1 0 0
𝐵= 0 3 0
0 0 7
Opgave 6
Bestem determinanten til matricen
1 2 −1 2
𝐴 = 3 −2 0 0
2 4 3 5
−2 7 −1 2
Udvalgte sætninger om
determinanter
Sætning 1:
Hvis den kvadratiske matrix A indeholder en
nulrække, så er det 𝐴 = 0.
Øvelse: Vis sætning 1
Sætning 2:
Determinanten til en trekantsmatrix (specielt en
diagonal matrix) er lig produktet af
diagonalelementerne.
Øvelse: Vis sætning 2
Udvalgte sætninger om
determinanter
Sætning 3:
Lad A være en kvadratisk matrix. Da gælder:
1.
Hvis matricen B fremkommer af A ved ombytning af to
rækker, så er
det 𝐵 = −det(𝐴)
2.
Hvis matricen B fremkommer af A ved
multiplikation af en række med et k tal, så er
det 𝐵 = 𝑘 ⋅ det(𝐴)
3.
Hvis matricen B fremkommer af A ved en
rækkeoperation, så er
det 𝐵 = det(𝐴)
Udvalgte sætninger om
determinanter
Sætning 4:
En kvadratisk matrix A er regulær, hvis og kun hvis
det(𝐴) ≠ 0.
Den inverse matrix
Den inverse matrix til den kvadratiske matrix 𝐴 betegnes
𝐴−1 og opfylder ligningen:
𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼
Spørgsmålet er nu, om en sådan matrix findes.
Sætning 5:
En kvadratisk matrix 𝐴 har en invers matrix 𝐴−1 , der
opfylder 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼, hvis og kun hvis 𝐴 er regulær.
Matricen 𝐴−1 er entydigt bestemt af matrixligningen
𝐴𝑋 = 𝐼
Perspektivering til lineære
afbildninger
▪ En lineær afbildning 𝑓 har en invers afbildning 𝑓 −1, hvis og kun hvis
den er både surjektiv og injektiv (dvs. bijektiv).
▪ En lineær afbildning 𝑓 er bijektiv, hvis og kun hvis den tilhørende
matrix har fuld rang.
▪ En kvadratisk matrix med fuld rang kaldes regulær.
▪ En kvadratisk matrix A er regulær, hvis og kun hvis det(𝐴) ≠ 0.
▪ En kvadratisk matrix A har en invers, hvis og kun hvis den er
regulær.
▪ Den til A hørende inverse matrix 𝐴−1 er afbildningsmatricen
hørende den til 𝑓 hørende inverse afbildning 𝑓 −1
Egenværdiproblemet
Underrum, der afbildes ind i sig selv..?!