Transcript Planer i rummet

Herunder bevis for punkt-plan afstandsformlen
Planens ligning
Et plan er fastlagt ved en normalvektor og et punkt P0
Vi har en normalvektor:
De punkter der opfylder at:
Udgør en plan flade, og ved at indsætte koordinaterne og udregne
prikproduktet får vi planens ligning:

Illustration s. 175
Parameterfremstilling for en plan
Parameterfremstillingen bliver fastlagt ud fra et punkt P0 i planen og to
retningsvektorer, der IKKE er parallelle.
Udfra punktet P0 afsættes to retningsvektorer,
og hvis vi ganger
med s og t får vi vektoren:
Når s og t gennemløber alle mulige reelle tal vil P blive til et ”løbende
punkt”. Stedvektoren til P bestemmes ved indskudsreglen:
Indsætter vi koordinaterne får vi planens parameterfremstilling:
Illustration s. 176
Afstand fra punkt til plan
Sætning: Afstanden fra et punkt P0(x0,y0,z0) til en plan α
med ligningen:
er givet ved:
Illustration s. 179
Afstand fra punkt til plan - 1
Bevis: først finder vi et vilkårligt punkt i planen P(x,y,z)
og afsætter en vektor herfra til P0 =
Ud fra punktet P har vi tegnet en normalvektor, denne
skal
projiceres ned på, for at finde , der må
være den samme som s, afstanden fra punktet til
planen.
Vektor
er altså givet ud fra projektionsformlen:
Afstand fra punkt til plan - 2
Nu skal vi så blot finde længden af vektor
være længden af s.
Vi indsætter nu koordinaterne:
, der må
Afstand fra punkt til plan - 3
Nu udregner vi prikproduktet:
Vi ganger ind i parantesen:
Da P(x,y,z) ligger i planen passer punktets koordinater i
planens ligning, dvs planens omskrevne ligning kan
indsættes:
Afstand fra punkt til plan - 4
Den omskrevne planens ligning indsættes:
Og sætningen er bevist!
Anvendelsesmetoder:
 Til at finde afstand fra punkt til plan
 Til at bestemme radius på en kugle med centrum og
tangentplan
Skæring mellem linje og plan
En linje og en plan, der ikke er parallelle skærer
hinanden i et punkt.
Man skal bruge planens ligning og linjens
parameterfremstilling:
Indsættes x,y og z fra parameterfremstillingen i planens
ligning fås en værdi for t.
Denne værdi indsættes i parameterfremstillingen og
resultatet er skæringspunktet
Eksempel s. 180
Vinkel mellem linje og plan
Man skal gøre sig klart hvilken vinkel man udregner.
Vi tegner en normalvektor for planen og en
retninsvektor for linjen ud fra skæringspunktet P.
Vinklen mellem
kaldet u, kan bestemmes ved:
Her skal man gøre sig klart hvilken vinkel man udregner!
Hvis i kigger på tegning 2= v=90-u
Hvis i kigger på tegning 3 = v=u-90
Illustration s. 181
Vinkel mellem planer
To planer α og β skærer hinanden i linjen l. I et tilfældigt
punkt på linjen har vi afsat planens to normalvektorer,
og vinklen mellem planerne kan bestemmes ud fra
dem:
Illustration s. 182