Transcript slajdy
Badania operacyjne
Wykład 8
Wadliwy produkt – przypomnienie
2
Jednoczynnikowa analiza wrażliwości • Jak optymalne rozwiązanie zależy od prawdopodobieństwa tego, że skala problemu jest duża?
– wpływ na oczekiwaną stratę – wpływ na optymalność wariantów • Rozwiązanie: – – w praktyce – oprogramowanie teraz – analiza wypłat dla poszczególnych wariantów • cztery warianty do analizy 3
• Wpływ prawdopodobieństwa dużej skali problemu Oznaczmy Pr(duża skala)=x, (wyjściowo x=40%) • Oczekiwana wartość poszczególnych wariantów: – EV(zignorować)=-150x – EV(upublicznić)=-100x-30(1-x)-1 – – EV(badać, upubliczniać)= 20%*(-150x-80(1-x)) + 80%*(-100x)-5 EV(badać, ignorować)= 20%*(-150x-80(1-x)) + 80%*(-150x)-5 • Po uproszczeniu kolejno: – -150x – -70x-31 – -94x-21 – -134x-21 • Łatwe analityczne rozwiązanie wartości x zrównujących warianty 4
Jednoczynnikowa analiza wrażliwości -50 35% 36% 37% 38% 39% 40% 41% 42% 43% 44% 45% -55 -60 -65 -70 -75 -80 Wpływ parametru na wypłaty dla wariantów jest liniowy, ale wpływ na optymalną wypłatę dla problemu nieliniowy!!!
-85 EV1 EV2 5 EV3 EV4
Jednoczynnikowa analiza wrażliwości • Często bardziej skomplikowane wyrażenia (Bayes) + więcej wariantów 6
Wartość opcji (1/3)
• • Jaka wartość możliwości prowadzenia badań?
Ile maksymalnie warto zapłacić za badania?
75 tysięcy $
7
Wartość opcji (2/3)
• Jaka wartość możliwości ukrycia negatywnych wyników i sprzedaży pola?
8
Wartość opcji (3/3)
• Strategia – rozwiąż bez opcji i porównaj oczekiwane wypłaty 9
EVPI – prosty przykład
11
•
EVPI – ćwiczenie 1
Jak zależy EVPI [tys.] w poprzednim problemie od: – prawdopodobieństwa wygranej – wartości w przypadku wygranej
Pr.
EVPI
0%
0
10%
8
20%
16
30%
21
40%
18
50%
15
60%
12
70%
9
80%
6
90%
3
100%
0
wypł.
EVPI
50
9
60
12
70
15
80
18
90
21
100
21
110
21
120
21
130
21
140
21
150
21 12
25 20 15 10 5 0 0% 20% 40% 60% 80%
Prawdopodobieństwo wygranej
100% 25 20 15 10 5 0 0 50 100
Wypłata w razie wygranej
150
Kiedy EVPI=0?
EVPI
i
i V
( decyzja
d
max Decyzje
V
(
d
( stan , stan
i i
), ) stan
p i
i d
)
p i
max Decyzje
i
i V V
( decyzja (
d
, stan , stan
i
)
i
)
p i p i
• EVPI =0, jeśli: – – – brak niepewności, np. p 1 =1 taka sama decyzja dla każdego stanu i, p i >0 (pierwsze to szczególny przypadek drugiego) 14
15
Numer rzutu
1 2 3 4 5
Wypłata
2 4 8 16 32
Funkcja użyteczności
Użyteczność
ln(wypłata)
0,69 1,39 2,08 2,77 3,47 • Funkcja użyteczności rosnąca i często wklęsła (malejąca użyteczność krańcowa) • Dla dowolnej rosnącej funkcji użyteczności rozkład dominujący w sensie FOSD zapewnia większą oczekiwaną użyteczność
16 Funkcja użyteczności a awersja do ryzyka 2 0,5 0,5 10 1 6
Awersja do ryzyka a wybór
17 • Awersja do ryzyka: – decydent zawsze preferuje wartość oczekiwaną wypłat niż (niezdegenerowaną) loterię o tej wartości oczekiwanej • Awersja do ryzyka użyteczności wklęsła funkcja • Czy istnieje sposób porównywania rozkładów uwzględniający awersję do ryzyka (może wybór oczywisty nawet bez FOSD)?
18 Ekwiwalent pewności i premia za ryzyko 1 4,5 2 0,5 0,5 6 10 1
Ćwiczenie
• Wyliczmy ekwiwalent pewności dla loterii Bernoulliego i użyteczności u(x)=ln(x)
Numer rzutu
1 2 3 4 5
Wypłata
2 4 8 16 32
Użyteczność
ln(wypłata)
0,69 1,39 2,08 2,77 3,47
Kwantyfikacja awersji do ryzyka
20 • O sile awersji do ryzyka świadczy wielkość premii za ryzyko – wypłaty, której odjęcie jest równoważne (w sensie preferencji) dodaniu ryzyka • Wielkość tej premii zależy od kształtu funkcji użyteczności – im bardziej wklęsła funkcja, tym większa premia • Ilościowo mierzy to współczynnik awersji do ryzyka Arrowa-Pratta ARA = -
u
''(
x
)
u
'(
x
) • ARA to miara lokalna – jej wartość zależy od x – uszeregowanie funkcji użyteczności może zależeć od punktu odniesienia
Wprowadzenie awersji do ryzyka
• • • Załóżmy, że firma ma W=1000 budżetu wyjściowego I charakteryzuje się awersją do ryzyka (obawia się bankructwa) Jej preferencje względem ryzyka opisane są funkcją log(W+x) 21
CE(ignor)=-64,7516
CE(upubl)=-59,6313
CE(badac)=-60,1522 u(W+x)=log(1000-200)
Zmiana decyzji na upublicznić
• • Skala Fahrenheita i Celsiusza (°F - 32) x 5 / 9 = °C Tak samo jest z użytecznością kardynalną, a taka użyteczność wykorzystywana jest w decyzjach w warunkach ryzyka • Pytanie kontrolne: – Czy przedstawione poniżej użyteczności są kardynalne? Jeśli, to które są ordynalne?
u u' A1 1,0 1,6 A2 0,6 0,8 A3 0,2 0,0 A4 0,0 -0,4 v v' A1 1,0 20 A2 0,7 0,8 A3 0,3 -17 A4 0,0 -17,1 s s' A1 1,0 1,1 A2 0,7 1,2 A3 0,3 3,2 A4 0,0 2,0 100 0 212 32
Miara ryzykowności
• • • • Ktoś oferuje Tobie szansę 50:50 zyskania 120 złotych bądź straty 100 złotych
Czy powinieneś zaakceptować?
– Przed Bernoullim:
Akceptuj, bo dodatnia wartość oczekiwana
złotych) – Po Bernoullim:
Niekoniecznie – awersja do ryzyka
(+10
Skąd się bierze awersja do ryzyka?
– Dodatnia wartość oczekiwana -
DOBRE
– Strata 100 złotych z prawd. ½ -
ZŁE Jak zła jest strata?
– Masz w kieszeni 1000 złotych na tego rodzaju gierki – strata mało dotkliwa:
10 % UBYTKU budżetu
– Masz w kieszeni 100 złotych budżetu – strata oznacza
BANKRUCTWO
• • • • Załóżmy, że grasz 10 razy w taką loterię.
Prawdopodobieństwo straty całego budżetu jest: – Więcej niż 60% jeśli budżet początkowy = 100 złotych – Mniej niż 0,1% jeśli budżet początkowy = 1000 złotych
Zatem awersja do ryzyka może brać się z awersji do bankructwa Decyzje dotyczące ryzykownych wyborów zależą od budżetu (majątku) – użyteczności DARA
• • • Miarę ryzykowności można łatwo liczyć: – Analitycznie – Bądź numerycznie Ma bardzo dobre właściwości teoretyczne Ma intuicyjną interpretację i może łatwo zastąpić inne miary ryzyka stosowane w bankach