Badania operacyjne

Wykład 8

Wadliwy produkt – przypomnienie

2

Jednoczynnikowa analiza wrażliwości • Jak optymalne rozwiązanie zależy od prawdopodobieństwa tego, że skala problemu jest duża?

– wpływ na oczekiwaną stratę – wpływ na optymalność wariantów • Rozwiązanie: – – w praktyce – oprogramowanie teraz – analiza wypłat dla poszczególnych wariantów • cztery warianty do analizy 3

• Wpływ prawdopodobieństwa dużej skali problemu Oznaczmy Pr(duża skala)=x, (wyjściowo x=40%) • Oczekiwana wartość poszczególnych wariantów: – EV(zignorować)=-150x – EV(upublicznić)=-100x-30(1-x)-1 – – EV(badać, upubliczniać)= 20%*(-150x-80(1-x)) + 80%*(-100x)-5 EV(badać, ignorować)= 20%*(-150x-80(1-x)) + 80%*(-150x)-5 • Po uproszczeniu kolejno: – -150x – -70x-31 – -94x-21 – -134x-21 • Łatwe analityczne rozwiązanie wartości x zrównujących warianty 4

Jednoczynnikowa analiza wrażliwości -50 35% 36% 37% 38% 39% 40% 41% 42% 43% 44% 45% -55 -60 -65 -70 -75 -80 Wpływ parametru na wypłaty dla wariantów jest liniowy, ale wpływ na optymalną wypłatę dla problemu nieliniowy!!!

-85 EV1 EV2 5 EV3 EV4

Jednoczynnikowa analiza wrażliwości • Często bardziej skomplikowane wyrażenia (Bayes) + więcej wariantów 6

Wartość opcji (1/3)

• • Jaka wartość możliwości prowadzenia badań?

Ile maksymalnie warto zapłacić za badania?

75 tysięcy $

7

Wartość opcji (2/3)

• Jaka wartość możliwości ukrycia negatywnych wyników i sprzedaży pola?

8

Wartość opcji (3/3)

• Strategia – rozwiąż bez opcji i porównaj oczekiwane wypłaty 9

EVPI – prosty przykład

11

•

EVPI – ćwiczenie 1

Jak zależy EVPI [tys.] w poprzednim problemie od: – prawdopodobieństwa wygranej – wartości w przypadku wygranej

Pr.

EVPI

0%

0

10%

8

20%

16

30%

21

40%

18

50%

15

60%

12

70%

9

80%

6

90%

3

100%

0

wypł.

EVPI

50

9

60

12

70

15

80

18

90

21

100

21

110

21

120

21

130

21

140

21

150

21 12

25 20 15 10 5 0 0% 20% 40% 60% 80%

Prawdopodobieństwo wygranej

100% 25 20 15 10 5 0 0 50 100

Wypłata w razie wygranej

150

Kiedy EVPI=0?

 

EVPI

 

i



i V

( decyzja

d

max  Decyzje

V

(

d

( stan , stan

i i

), ) stan

p i



i d

)

p i

 max  Decyzje 

i



i V V

( decyzja (

d

, stan , stan

i

)

i

)

p i p i

 • EVPI =0, jeśli: – – – brak niepewności, np. p 1 =1 taka sama decyzja dla każdego stanu i, p i >0 (pierwsze to szczególny przypadek drugiego) 14

15

Numer rzutu

1 2 3 4 5

Wypłata

2 4 8 16 32

Funkcja użyteczności

Użyteczność

ln(wypłata)

0,69 1,39 2,08 2,77 3,47 • Funkcja użyteczności rosnąca i często wklęsła (malejąca użyteczność krańcowa) • Dla dowolnej rosnącej funkcji użyteczności rozkład dominujący w sensie FOSD zapewnia większą oczekiwaną użyteczność

16 Funkcja użyteczności a awersja do ryzyka 2 0,5 0,5 10 1 6

Awersja do ryzyka a wybór

17 • Awersja do ryzyka: – decydent zawsze preferuje wartość oczekiwaną wypłat niż (niezdegenerowaną) loterię o tej wartości oczekiwanej • Awersja do ryzyka  użyteczności wklęsła funkcja • Czy istnieje sposób porównywania rozkładów uwzględniający awersję do ryzyka (może wybór oczywisty nawet bez FOSD)?

18 Ekwiwalent pewności i premia za ryzyko 1 4,5 2 0,5 0,5 6 10 1 

Ćwiczenie

• Wyliczmy ekwiwalent pewności dla loterii Bernoulliego i użyteczności u(x)=ln(x)

Numer rzutu

1 2 3 4 5

Wypłata

2 4 8 16 32

Użyteczność

ln(wypłata)

0,69 1,39 2,08 2,77 3,47

Kwantyfikacja awersji do ryzyka

20 • O sile awersji do ryzyka świadczy wielkość premii za ryzyko – wypłaty, której odjęcie jest równoważne (w sensie preferencji) dodaniu ryzyka • Wielkość tej premii zależy od kształtu funkcji użyteczności – im bardziej wklęsła funkcja, tym większa premia • Ilościowo mierzy to współczynnik awersji do ryzyka Arrowa-Pratta ARA = -

u

''(

x

)

u

'(

x

) • ARA to miara lokalna – jej wartość zależy od x – uszeregowanie funkcji użyteczności może zależeć od punktu odniesienia

Wprowadzenie awersji do ryzyka

• • • Załóżmy, że firma ma W=1000 budżetu wyjściowego I charakteryzuje się awersją do ryzyka (obawia się bankructwa) Jej preferencje względem ryzyka opisane są funkcją log(W+x) 21

CE(ignor)=-64,7516

CE(upubl)=-59,6313

CE(badac)=-60,1522 u(W+x)=log(1000-200)

Zmiana decyzji na upublicznić

• • Skala Fahrenheita i Celsiusza (°F - 32) x 5 / 9 = °C Tak samo jest z użytecznością kardynalną, a taka użyteczność wykorzystywana jest w decyzjach w warunkach ryzyka • Pytanie kontrolne: – Czy przedstawione poniżej użyteczności są kardynalne? Jeśli, to które są ordynalne?

u u' A1 1,0 1,6 A2 0,6 0,8 A3 0,2 0,0 A4 0,0 -0,4 v v' A1 1,0 20 A2 0,7 0,8 A3 0,3 -17 A4 0,0 -17,1 s s' A1 1,0 1,1 A2 0,7 1,2 A3 0,3 3,2 A4 0,0 2,0 100 0 212 32

Miara ryzykowności

• • • • Ktoś oferuje Tobie szansę 50:50 zyskania 120 złotych bądź straty 100 złotych

Czy powinieneś zaakceptować?

– Przed Bernoullim:

Akceptuj, bo dodatnia wartość oczekiwana

złotych) – Po Bernoullim:

Niekoniecznie – awersja do ryzyka

(+10

Skąd się bierze awersja do ryzyka?

– Dodatnia wartość oczekiwana -

DOBRE

– Strata 100 złotych z prawd. ½ -

ZŁE Jak zła jest strata?

– Masz w kieszeni 1000 złotych na tego rodzaju gierki – strata mało dotkliwa:

10 % UBYTKU budżetu

– Masz w kieszeni 100 złotych budżetu – strata oznacza

BANKRUCTWO

• • • • Załóżmy, że grasz 10 razy w taką loterię.

Prawdopodobieństwo straty całego budżetu jest: – Więcej niż 60% jeśli budżet początkowy = 100 złotych – Mniej niż 0,1% jeśli budżet początkowy = 1000 złotych

Zatem awersja do ryzyka może brać się z awersji do bankructwa Decyzje dotyczące ryzykownych wyborów zależą od budżetu (majątku) – użyteczności DARA

• • • Miarę ryzykowności można łatwo liczyć: – Analitycznie – Bądź numerycznie Ma bardzo dobre właściwości teoretyczne Ma intuicyjną interpretację i może łatwo zastąpić inne miary ryzyka stosowane w bankach