Transcript Wykład 6

Metody analizy decyzji
Wykład 6 – wybór w warunkach ryzyka
Cele dzisiejszego wykładu
2
• Metody wyboru w warunkach ryzyka:
– dominacja stochastyczna
– maksymalizacja wartości oczekiwanej i
maksymalizacja oczekiwanej użyteczności
– awersja do ryzyka
Ryzyko a niepewność
3
• Ryzyko a niepewność
• Czym jest prawdopodobieństwo:
– sprzyjające zdarzenia
– częstościowe
– aksjomatyczne
– subiektywne
Wybór w warunkach ryzyka – słownik
4
• Wariantom decyzyjnym odpowiada kilka możliwych konsekwencji
• Dla każdego wariantu można określić rozkład prawdopodobieństwa
na zbiorze możliwych konsekwencji
• Każdemu wariantowi można przypisać rozkład
prawdopodobieństwa ocen
Wybór w warunkach ryzyka – model
5
• Przyjmijmy skończoną liczbę konsekwencji dla każdego
wariantu
• Każdy wariant można utożsamić z loterią, tj. dyskretnym
rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze ocen (wypłat)
• Sposoby zapisu:
10
0,3
0,5
0,2
5
20
Wypłata
Prawdopodobieństwo
5
50%
10
30%
20
20%
(5, 50%; 10, 30%; 20, 20%)
Redukcja loterii złożonych
6
• Możemy redukować loterie złożone – tj. loterie, których
wynikiem są loterie, zapisać bezpośrednio jako loterie na
zbiorze wypłat
0
0,6
0,8
0,2
0,4
0
10
5
0,48
0,32
10
0,2
5
0
0,5
0,3
0,7
0,5
10
0
0
10
0,15
0,15
0,15
10
0,7
10
0,85
10
Wybór wariantu – przykłady
7
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
1
50%
4
10%
1
50%
2
50%
2
30%
5
50%
2
30%
3
30%
3
20%
6
40%
3
20%
4
20%
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
1
50%
1
40%
1
50%
1
40%
2
30%
2
30%
2
30%
2
35%
3
20%
3
30%
3
20%
3
25%
Dominacja stochastyczna pierwszego
rzędu (FOSD)
8
cdf
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
1
50%
4
10%
2
30%
5
50%
3
20%
6
40%
1
1
t
1
t
cdf
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
1
50%
1
40%
2
30%
2
35%
3
20%
3
25%
1
9
Dominacja stochastyczna pierwszego
rzędu
• Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X dominuje rozkład
prawdopodobieństwa zmiennej Y w sensie dominacji
stochastycznej pierwszego rzędu (first order stochastic
dominance – FOSD), jeśli:
– dla każdej wartości t zachodzi FX(t)FY(t)
– dla pewnej wartości t zachodzi FX(t)<FY(t)
• Decydent preferujący większe wartości wypłat wybierze
zmienną dominującą w sensie FOSD
10
Porównaj poniższe pary rozkładów ze
względu na FOSD
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
1
50%
1
40%
1
50%
1
40%
2
30%
2
30%
2
30%
2
50%
3
20%
3
30%
3
20%
3
10%
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
1
10%
0
30%
1
50%
2
90%
2
70%
2
55%
2
30%
3
5%
3
20%
4
15%
3
20%
4
5%
11
Porównywanie wartości
oczekiwanych?
• Możesz zagrać w następującą grę:
– rzucasz symetryczną monetą do pierwszego wyrzucenia orła
– oznacz przez n numer rzutu, w którym po raz pierwszy wyrzucisz
orła
– otrzymujesz wypłatę 2n PLN
• Ile jesteś skłonny maksymalnie zapłacić za możliwość
jednokrotnego wzięcia udziału w takiej grze?
• Policz samodzielnie wartość oczekiwaną wypłaty
• Dlaczego wolisz skończoną, niewielką kwotę niż loterię?
Funkcja użyteczności
12
Numer
rzutu
Wypłata
Użyteczność
ln(wypłata)
1
2
0,69
2
4
1,39
3
8
2,08
4
16
2,77
5
32
3,47
•
Funkcja użyteczności rosnąca i często wklęsła (malejąca użyteczność krańcowa)
•
Dla dowolnej rosnącej funkcji użyteczności rozkład dominujący w sensie FOSD zapewnia
większą oczekiwaną użyteczność
13
Funkcja użyteczności
a awersja do ryzyka
2
0,5
0,5
1
10
6
Awersja do ryzyka a wybór
14
• Awersja do ryzyka:
– decydent zawsze preferuje wartość oczekiwaną wypłat
niż (niezdegenerowaną) loterię o tej wartości
oczekiwanej
• Awersja do ryzyka  wklęsła funkcja
użyteczności
• Czy istnieje sposób porównywania rozkładów
uwzględniający awersję do ryzyka (może wybór
oczywisty nawet bez FOSD)?
Dominacja stochastyczna drugiego rzędu
(second-order stochastic dominance)
15
cdf
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
1
30%
1
50%
2
60%
2
20%
3
10%
3
30%
1
1
t
F(x)
Całka
t
F(x)
Całka
1
0,3
0
1
0,5
0
2
0,9
0,3
2
0,7
0,5
3
1
1,2
3
1
1,2
4
1
2,2
4
1
2,2
t
t
 F ( v ) dv
1

1
t
Dominacja stochastyczna drugiego
rzędu
16
• Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X dominuje rozkład
prawdopodobieństwa zmiennej Y w sensie dominacji stochastycznej
drugiego rzędu (second order stochastic dominance – SOSD), jeśli:
– dla każdej wartości t zachodzi
t
– dla pewnej wartości t zachodzi
•
t
F
X

t
( v ) dv 
F
Y
( v ) dv

t
F ( v ) dv   F ( v ) dv

Rozkład dominujący w sensie SOSD zapewnia większą wartość
X
Y


oczekiwaną każdej rosnącej, wklęsłej funkcji
użyteczności
17
Porównaj pary zmiennych ze względu
na FOSD i SOSD
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
1
50%
1
60%
1
15%
1
20%
2
30%
2
10%
2
45%
2
40%
3
20%
3
30%
3
40%
3
40%
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
Wypłata
Pr.
1
10%
1
30%
1
30%
1
40%
2
50%
2
15%
2
40%
2
15%
3
40%
3
55%
3
30%
3
45%
Awersja do ryzyka a wariancja
• Jeśli decydent cechuje się awersją wobec ryzyka, to:
– jeśli E(X)=E(Y)
– i 0=Var(X)<Var(Y),
– to woli X
• Natomiast jeśli obie loterie mają niezerową wariancję,
to niekoniecznie
Loteria X
Loteria Y
Prawd.
x
ln(x)
(x-EX)2
y
ln(y)
(y-EY)2
20%
20,1
3
65,61
4
1,386
64
80%
9,975
2,3
4,1
14
2,639
4
średnia
12
2,44
16,4
18
12
2,388
16
19
Ekwiwalent pewności i premia za
ryzyko
1
4,5
2
0,5
0,5
1

10
6
Ćwiczenie
• Wyliczmy ekwiwalent pewności dla loterii
Bernoulliego i użyteczności u(x)=ln(x)
Numer
rzutu
Wypłata
Użyteczność
ln(wypłata)
1
2
0,69
2
4
1,39
3
8
2,08
4
16
2,77
5
32
3,47
Kwantyfikacja awersji do ryzyka
21
• O sile awersji do ryzyka świadczy wielkość premii za ryzyko –
wypłaty, której odjęcie jest równoważne (w sensie preferencji)
dodaniu ryzyka
• Wielkość tej premii zależy od kształtu funkcji użyteczności – im
bardziej wklęsła funkcja, tym większa premia
• Ilościowo mierzy to współczynnik awersji do ryzyka Arrowa-Pratta
u''(x)
ARA = u'(x)
• ARA to miara lokalna – jej wartość zależy od x – uszeregowanie
funkcji użyteczności może zależeć od punktu odniesienia
Interpretacja ARA
22
• x0 – wypłata początkowa (liczba)
• l – loteria o zerowej wartości oczekiwanej (zmienna losowa)
• d – premia za ryzyko (liczba)
E( u ( x 0  d ))  E( u ( x 0  l ))
LHS  E( u ( x 0 )  du ' ( x 0 )   )  u ( x 0 )  du ' ( x 0 )
RHS  E( u ( x 0 )  lu ' ( x 0 ) 
 du ' ( x 0 ) 
d 
u ' ' ( x0 )
2
u ' ' ( x0 ) 1
u ' ( x0 ) 2
2
2
E( l )
D (l )
l
2
2
u ' ' ( x 0 )   )  u ( x 0 )  u ' ( x 0 ) E( l ) 
u ' ' ( x0 )
2
2
E( l )
Przykłady funkcji użyteczności
23
u(x)
u’(x)
u’’(x)
ARA
ln(x+a), a>0
(x+a)-1
-(x+a)-2
1/(x+a)
ax-bx2, a,b>0
a-2bx
-2b
2b / (a-2bx)
-e-ax, a>0
ae-ax
-a2e-ax
a
xa, 0<a1
axa-1
a(a-1)xa-2
-(a-1)/x
-x-a, a>0
ax-a-1
-a(a+1)x-a-2
(a+1)/x
Sprawdź się!
• https://www.bbc.co.uk/labuk/experiments/ris
k/
24
Podsumowanie
25
• Prawdopodobieństwa można zdefiniować
obiektywnie lub subiektywnie
• Metody porównywania rozkładów:
–
–
–
–
dominacja stochastyczna pierwszego rzędu
maksymalizacja wartości oczekiwanej
maksymalizacja oczekiwanej użyteczności
dominacja stochastyczna drugiego rzędu
• Decydenci często cechują się awersją do ryzyka –
wklęsłą funkcją użyteczności
– stopień awersji do ryzyka można mierzyć
Materiały
26
• Uzupełnienia do dzisiejszego wykładu dla chętnych:
– R. Keeney i H. Raiffa (1993): Decisions with Multiple
Objectives. Preferences and Value Tradeoffs, rozdz. 4
– J. Pratt (1964): Risk Aversion in the Small and in the Large,
Econometrica, 32(1/2), ss. 122-136
Dziękuję!
27