Transcript 11.1-4.电流电流密度电源电动势磁场磁感强度毕萨定律

11 恒定磁场
任课教师
中原工学院
曾灏宪
理学院
大学物理（下）
11 恒定磁场
11.1 恒定电流 电流密度
一 电流
定义：通过截面S 的电荷随
时间的变化率.（单位时间内
垂直通过横截面S的电量)
dq
I
dt
单位: A [安培]
1mA  10-3 A
dq  endv  envddtS
I  envd S
vd 为电子的漂移速度大小
S
+
+
+
+
+
+
I
二 电流密度（矢量）

该点正电荷的运动方向
方向规定： j
大小规定：等于在单位时间内过该点附近垂直于
正电荷运动方向的单位面积的电量
单位时间内垂直通过单位横截面积的电量
dI
j
 en vd
dS cos 
 
dI  j  dS  jdS cos
 
I  s j  dS


dS

j
I
大学物理（下）
11 恒定磁场
11.2 电源 电动势
一 电源 电动势
非静电力: 能不断分离正负电荷
使正电荷逆静电场力方向运动.
电源：提供非静电力的装置.

非静电电场强度 Ek : 单位正电荷
I
所受的非静电力.
R

+E + + +Ek -
 
W   qE k  d l
l
电动势的定义：单位正电荷绕闭合回路运动一周，非
静电力所做的功.
 
W l qEk  dl
电动势 E 

q
q
 
 
 
 外 Ek  dl  0
E   Ek  dl   Ek  dl
外
内
 
 
 电源电动势 E   Ek  dl   Ek  dl
内
l
电源电动势大小等于将单位正电荷从负极经电
源内部移至正极时非静电力所作的功.
+
*
正极
E_
Ri
*
负极
电源
电源的电动势 E 和内阻 Ri
大学物理（下）
11 恒定磁场
11.3 磁场 磁感强度
一
基本磁现象
1. 磁铁的磁性
磁铁磁性最强区域称为磁极。
磁铁指向北方的磁极为磁北极或N极；指向南方的为磁南极或S
极。
同名磁极互相排斥，异名磁极互相吸引。
磁极周围存在磁场，处于磁场中的其它磁极或运动电荷，
都要受到磁场的作用力，此作用力称为磁场力或磁力。
磁场力是通过磁场这种特殊物质传递的。
2. 电流的磁效应
1819年，奥斯特发现，放
在载流导线周围的磁针会受到
磁力作用而发生偏转。
奥斯特发现电流的磁效应
后，人们才认识到磁与电的密
切联系。
1820年，安培发现：
• 磁铁附近的载流导线或线圈也会受到磁
力作用而发生运动
• 又发现载流导线之间也会发生相互作用。
1822年，安培 由此提出了物质磁性本质的假说，即一
切磁现象的根源是电流，构成物质的分子中都存在有回路
电流――分子电流假说
安培分子电流假说与近代关于原子
和分子结构的认识相吻合。原子是由
原子核和核外电子组成的，电子的绕
核运动就形成了经典概念的电流。
e
I
为什么有的物体具有磁性，而有的物体
没有磁性？
分子电流整齐排列的物体具有磁性
分子电流杂乱无章的物体不具有磁性
磁现象与电现象有很多类似，
在自然界有独立存在的电荷，却至
今没找到独立存在的磁荷，即所谓
“磁单极子”。
理论预言存在磁单极子。寻找“磁单极子”是
当今科学界面临的重大课题之一。
二 磁场
运动
电荷
磁场
运动
电荷
稳恒磁场（静磁场）
稳恒电流周围
运动电荷在周围空间激发磁场，电流或运动电荷之间
相互作用的磁力是通过磁场而作用的，磁场是物质存
在的一种形式。
磁场的特征：
（1）在磁场中的运动电荷、载流导体、
磁性介质等受磁场力作用。
（2）载流导体在磁场中运动时，磁力作功。
—— 磁场具有能量
三 磁感强度 𝑩 的定义
与静电场的研究类似，研究——
运动的带电粒子在磁场中运动所受的力

F 0
y

v
o
z
+
*
P
实验发现带电粒子在磁场

v
中某点 P 沿某一特定方向（或
其反方向）运动时不受力，且
x
此特定方向与小磁针指向一致.
带电粒子在磁场中沿
其他方向运动时，其受力

垂直于 v 与该特定方向
所组成的平面.
 

F  Fmax  F
Fmax  qv
当带电粒子在磁场中
垂直于此特定方向运动时
受力最大.
Fmax
大小与 q, v 无关
qv
磁感强度 𝑩 的定义：若
带电粒子在磁场中某点向某方
向运动不受力，且该方向与小
磁针在该点指向一致，此特定
方向定义为该点的 𝑩 的方向.
𝑩 的大小

Fmax

v
q
+

B
Fmax
B
qv
单位 特斯拉 1(T)  1N/A  m
运动电荷在磁场中受力

 
F  qv  B
磁感应强度
1. 定义：
 1  
B  2 uE
c
单位：特斯拉（T）
磁场是电场的
相对论效应

[例] 相对于观察者以 u 匀速 
E
直线运动的点电荷的磁场

r
q

P

u
1
q 
 2 er
4 π0 r
 
 

0 qu  r
qu  r

B 2
3
3
4r
c 4 0 r
运动电荷
产生的磁
场公式
定义真空磁导率：
0 
1
c 2 0
 4  10 7 N  A -2
2. 磁场叠加原理
若空间不止一个运动电荷，则空间某点总磁感应强度等
于各场源电荷单独在该点激发的磁感应强度的矢量和：


B   Bi
10
-1
L

0
.
1
m
,
q

10
C
,
v

1
ms
, a  0.1 m
例：已知：
求：B0
?
q
解： 在 L上取 dq  dy
L

dB的大小，方向？
La
dq
a
o
y
q

v
x
La

dq 以 v 沿  x 运动
 
y
q
dq

v
a dB0
x
o
  0 qu  r
由 B
3
4r
 0 dqvy sin 900
dB0 
4y 3
 0 qvdy

方向 
2
4Ly

各 dq在 o 点处 dB 同向：
B   dB 
La

a
0 qvdy 0 qv 1
1
-6

( 
)  5 10 (T )
2
4Ly
4L a a  L
方向垂直于纸面向里
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11 恒定磁场
11.4 毕奥-萨伐尔定律
一 毕奥—萨伐尔定律

Idl
(电流元在空间产生的磁场)
毕 — 萨定律：
 
 0 Idl  r
dB 
4π r 3
将电流元视为
电荷元的集合

r

dB

r
P *
电荷元磁场公式
+ 磁场叠加原理

dB

I

Idl
电流元的
磁场分布
电流元产生磁场的规律,与点电荷电场公式作用地位等价
推证：
运动点电荷磁场
出发点
磁场叠加原理

dB
.
P
I

r

Idl
 0 qu  r
B
3
4r


B   Bi

设：电流元 Idl , 截面积 S

q
载流子电量 ，密度 n，漂移速度 u
则：电流元中载流子数 dN  nS dl
 

0 qu  r
B1 
每个载流子在场点 P 处磁场
3
4r
 


 0 nSq dlu  r
电流元在场点 P处磁场 dB  B1dN 
4r 3




 0 nSq dlu  r

dB  B1dN 
3
I
dB
4

r
.
 I  nqSu
P 
 
r Idl
 0 Idl  r
 dB 
3
4r
 0 Idl sin 
大小： dB 
4r 2
电流元在场点 P处磁场
方向：右手法则
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度叠加原理
 


 0 I dl  r
B   dB  
3
4π r
 
 0 Idl  r
dB 
3
4π r
毕奥—萨伐尔定律
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1、5 点 ：dB  0
1
8
+
2

Idl
7
+3
R
+4
6
5
3、7点 ：dB 
 0 Idl
4π R
2、4、6、8 点 ：
dB 
 0 Idl
4π R
2
sin 45
0
2
二 毕奥—萨伐尔定律应用举例
求解电流磁场分布基本思路：
将电流视为电流元
（或典型电流）的
集合
电流元（或典型
电流）磁场公式
和磁场叠加原理
应用举例： 讨论一些典型电
流的磁场分布
[例1] 直线电流的磁场
已知：
求：
l
D
I
2
o
I . r0 . 1 . 2

B 分布
电流磁
场分布
r0
1
C
P

解: 在直电流（CD）上取电流元 Idl
0 Idl sin 
dB 
; 方向 
2
4r
z
2
D
dz
I

z
o
x
C
dB 
1

r
r0

dB

*P y
各电流元在

P 点 dB 同向
 0 Idz sin 
4π
r
2
0
Idz sin 
B   dB 
2

CD
4π
r
z  r0 cot , r  r0 / sin
2
dz  r0d / sin 
0 I  2
B
sin d

4π r0 1
B
0 I
2
4π r0

1
0 I
x轴
sin d 
（cos1  cos 2） 方向沿
的负方向.
4π r0
z
式中：
D
r0 : 场点到直电流距离
1 : 起点到场点矢径与 I 方向夹角
 2 : 终点到场点矢径与 I 方向夹角
强调：
B
（cos1  cos 2）
4π r0

dB

I
o
记住：
0 I
2
1
x
C
解题时关键找出：r0 ,1 , 2
P y
讨论：
B
0 I
（cos1  cos 2）
4π r0
1.a 无限长载流长直导线的磁场.
1  0
2 π
B
I
0 I

B
2π r0
电流与磁感强度成右螺旋关系
1.b 半无限长载流长直导线的磁场
π
1 
2
2 π
BP 
0 I
4π r
2. 直导线延长线上的点
1  2  0 或  ,
I
o

dB  0 , B  0
r
*P
推广
 平面电流，平板电流，无限大平面电流，
无限大平板电流
 圆弧面电流，圆弧体电流，圆柱面电流，
圆柱体电流
I↑
y
I
z
y
x
x
平面电流
圆弧电流
例2 真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆电
流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.


解：在圆电流上取电流元 Idl 各电流元在 P 点 dB 大小相等
方向不同，由对称性：

Idl
B   dB  0

dB
r

B

o
R
I
根据对称性分析
dB 
p
*

B
 0 Id l
4π r
B  Bx   dB sin 
2
x

Idl
 0 I cos dl
r
R
dB x 
x
dB


o
dB 

B


4π
*p
x

l
r2
cos  R
r
r 2  R2  x2
 0 IR 2π R
B
dl
3 0
4π r
 0 Id l
4π r 2
 0 I cos dl
4π
r2
B
0 IR
2
3
（
2 x  R ）2
2
2
I
R
o
x
*

B
B
x
讨论 1）若线圈有 N 匝
0 IR
2
B
3
（
2 x  R ）2
2
2
N 0 IR
2
3
（
2 x  R ）2
2
2

2）x  0 B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系）
0 I
B 
3）x  0
2R
0 IR2
 0 IS
， B
4）x  R B 
3
3
2x
2π x
半圆电流圆心处磁场
 
 0 Idl  r
dB 
4r 3
x0
R
o
0 I
Bo   dB 
2
l
4R
圆弧电流圆心处磁场
I
0 Idl sin 900
dB0 
4R 2

R
0
x0
dl 
0 I
4R
0 I
0 I
Bo   dB 
dl 
l
2
2

l
4R l
4R
三 电流的磁矩 𝒎 或 𝑷𝒎


m  ISen S :电流所包围的面积

规定正法线方向：en


0m
B
2π x 3

0m 
B
e
3 n
2π x
I
与 I 指向成右旋关系
例2 中圆电流磁
感强度公式也可写成
B
 0 IR
2x
3

m
S

en
2

m

en
I
S
注意：只有当圆形电流的面积 S 很
小，或场点距圆电流很远时，才能把圆
电流叫做磁偶极子.
（1）

R B x
0
0 I
o
B0 
2R
I
（2 ）
B0 
o
o
0 I
4R
（5）
I
*A
R2
R1
*o
（3） I
R
0 I
BA 
4π d
d
I
R
（4）
B0 
0 I
8R
B0 
0 I
4 R2

0 I
4 R1

0 I
4π R1
例 一无限长载流 I 的导线，中部弯成如图所示
的四分之一圆周 AB，圆心为O，半径为R，则在O点处
的磁感应强度的大小为
0 I
0I
（A）
2 πR
π
(1  )
（B）
4 πR
2
0 I
（C）
4R
0 I
π
(1  )
（D）
4 πR
2
A
R
O
B
例 一长直载流 I 的导线，中部折成图示一个半
径为R的圆，则圆心的磁感应强度大小为
0I
（B）
2 πR
0 I
（A）
2R
（C）
0 I
2R

0 I
（D）
2πR
R
O
0
例 如图所示，四条皆垂直于纸面“无限长”载
流直导线，每条中的电流均为 I . 这四条导线被纸面截
得的断面组成了边长为 2a 的正方形的四个顶角，则其
中心点 O 的磁感应强度的大小为
（A） 2  0 I
πa
20
（B）
I
2πa
2a

O
0

I
（C） 0
（D）
πa

0 I
B  4 B1 cos
B1  B2  B3  B4 
4
2 2a
0
例 边长为 l 的正方形线圈 ，分别用图示两种方
式通以电流 I（其中ab 、cd 与正方形共面），在这两
种情况下 ，线圈在其中心产生的磁感强度的大小分别
为： （）
(1) B1  0 , B2  0
I B1
a b
2 2 0 I
I
(2) B1  0 , B2 
πl
B2
2 2 0 I
, B2  0
cd
(3) B1 
I
πl
2 2 0 I
2 2 0 I
, B2 
(4) B1 
πl
πl
例 载流直螺线管的磁场
如图所示，有一长为 l , 半径为R的载流密绕直螺
线管，螺线管的总匝数为N，通有电流 I. 设把螺线管
放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
R
o
p*
dx
x
x
++ ++++ ++ +++ ++ +
解：取 X 沿轴线向右，P 为坐标原点，距 P 点 x
处任取一小段 dx 小段上电流为 dI  Indx
由圆电流轴线上一点磁场公式 B 
 0 IR2
3/ 2
（
2 x 2  R 2）
1
o p
x1

2
x2
++ + + + + + + + + + + + + +
x
dB 
0

R 2 Indx

2 3/ 2
2 R x
2
x
0 nI 2
R dx
B   dB 
3/ 2

2
2
x
1
2
R x
2


 0 nI 
x2
2  x22  R 2



 
  0 nI (cos   cos  )
2
1
2
2 
2
x1  R 
x1
讨论：
B
 0 nI
2
(1) 无限长的螺线管
cos  2  cos 1 
由 1  π ,  2  0 代入
B  0nI
若
l  R
B  0nI
π
（2）半无限长螺线管的一端 1  ,  2  0
2
1
B   0 nI
2
密绕长直螺线管轴线上的磁感应强度各点都相等与位置无关
管长
轴直
线密
上绕
磁螺
场线
B
1
 0 nI
2
l 2
0 nI
x
O
l 2
例 已知：扇形 R .  .  . 
思考： dB  ? dI  ? dq  ?

求： B0
?
dq  rdr
dq dq
d q dq
dI 



2r 2r 2 π
r
T

v
r
R
o
 0 dI  0 dr

dB 
4
2r
R
1
 0
B   dB 
dr 
 0 R

4
4
0
dr  


1
 0R
写成矢量式： B0 
4
例
带电圆环（


R1 .R2 . .）顺时针旋转 ，求 Pm
解：dq    2r  dr
dq
dI 
  rdr
2
r
R2
dPm  r dI  r dr
2
R1
R2
Pm   dPm    r dr 
3
3

 ( R  R )
4
2
2
2
2
 ( R2  R1 )(R2  R1 )

4

 q
P 
(R  R )
4
R1
m
2
2
2
1
4
2
4
1
用毕 — 萨定律求 𝑩 分布的步骤
① 选取电流元或某些典型电流为积分元 𝑰𝒅𝒍 ；
② 由毕－萨定律或典型电流磁场写出 𝒅𝑩 ；
③ 选取坐标系，写出 𝒅𝑩在各坐标轴上的分量，
对每个分量积分；
④ 求出总磁感应强度的大小，并说明方向。
几种典型稳恒电流的磁场公式：
① 有限长载流直导线
无限长载流直导线
0 I
B
( cos 1  cos  2 )
4πa
0 I
B
②载流圆线圈轴线上 B 

2πa
 0 IR 2
2 R2  x

3
2 2
0 I
l
圆弧电流圆心处磁场：Bo 
2
4R
圆心处 B 
0 I
2R
③ 载流螺线管轴线上
无限长螺线管内部
0 nI
B
( cos 1  cos  2 )
2
B   0 nI
1
半无限长载流直螺线管端点： B  0 nI
2
④ 载流细螺绕环
⑤ 无限大载流平板
B内   0 nI
B


⑥ 电流的磁矩：Pm  I  Sn
B外  0
0 j
2
作业
 P122：9；10
 P123：11；13；14
版权声明
本课件根据高等教育出版社《物理学教程（第二版）下册》
（马文蔚 周雨青 编）配套课件制作。课件中的图片和动
画版权属于原作者所有；部分例题来源于清华大学编著的
“大学物理题库”。由 Haoxian Zeng 设计和编写的内容采
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