Transcript 电磁感应
第十二章
电 磁 感 应
一、电磁感应现象及其基本定
律
1、实验演示
(1)电磁感应现象
(2)发电机
现象小结:
2、电磁感应现象
穿过一个闭合导体回路所包
围面积的磁通量发生变化时,
回路中就有电流的现象。
(感应电流、感应电动势)
关键:磁通量发生变化是引起电磁感应
的必要条件。
3、电磁感应定律
d
d
d
或 i N
i
dt
dt
dt
N(磁链)
回路中感应电动势正比于磁
通量对时间的变化率的负值。
式中“-”号表示了感应电动
势的方向,具体方法如下:
(1)任选一绕行方向 e
n
为闭合回路的正方向,
由右手法则,定出回路
平面单位法向矢量 en
i
N
S
i
d
(2)确定穿过回路的通量 及其
dt
d
(3)由 i
确定 i的正负
dt
(4)若 i 0,则 i的方向与绕
行方向一致
若 i 0 ,则 i的方向与绕行方向相反
4、楞次定律确定感应电流的方法
闭合回路中感应电流方向总是使它所激
发的磁场抵偿(反抗)引
起感应电流的磁通量的变 en
N S
化。
i
i
讨论
(1)由楞次定律和右手法则可
判断感应电流的方向
(2)定律中“抵偿”“反抗”“补偿”而不
是抵消
(3)楞次定律是能量守恒定律的一种表现
5、感应电流、感应电量
1 d
dq
Ii
(I )
R dt
dt
q
t2
t1
1 2
1
Idt d 1 2
R 1
R
讨论
磁通量的计算式
B ds Bds cos
磁通量发生变化,引起感应电动势的原因
是多种( B, S , )
为便于区分和研究
(1)动生电动势:由于导体或导体回路在
稳定磁场中运动引起的
(2)感生电动势:导体或导体回路不动,
由于磁感应强度变化引起的
二、动生电动势
1、洛仑兹力是产生动生电动
势的非静电力
导线长 op l,在均匀磁场 B 中,以 v 运
动,且 v B(图示),则导线中电子受力
p
Fm e v B
B
Ek v
v
(方向图示)
o
Fm
在该非静电力作用下,
F
导线两端积累正、负电荷,Ek m v B
e
在稳定时的非静电场 ( E Fk )
k
(方向图示)
q
i
由电动势定义得
p
i Ek dl v B dl
op
o
l
由已知条件得 i vBdl vBl (方向图示)
o
2、动生电动势的计算
(1)动生电动势的表达式
i
i v B dl
B
p
i
v
o
方向:楞次定律;v B 等
(2)电磁感应定律 i d
dt 方向:楞次定律
例题1、 均匀磁场中,一面积
为 S的 N 匝线圈绕 oo轴以角速
度 匀速转动。求线圈中感应
电动势
解:设 t 0 时,线圈
平面法线的 en 与 B 相
同,当 t 时刻时 en 与 B
夹角为 t
o
N NBS cos NBS cos t
d
i
NBS sin t
dt
o
en
B
写成 i m sin t m NBS
讨论
(1)交流发电机的原理
(2)本题同样可以用动生电动势表
达式计算,显然较为复杂
例题2、长为 L 的铜棒在均匀
磁场 B 中,以角速度 绕一
端转动,求感应电动势
p
B
L
o
解:在棒上取一段线元 dl ,
离 o 端距离为 l ,则其速度为
v l 所以线元的电动势
p
d i v B dl vBdl
B
L
L
1
2
dl
i vBdl Bldl BL
0
0
2
l
电动势方向由 o 指向 p ,
o
即 V p Vo
讨论:本题同样可以用电磁感应
定律 i d 求得
dt
例题3、图示,金属杆长 l ,与
长直载流(电流为 I )导线位
于同一平面,金属杆以匀速率v
运动,求杆中的感应电动势
v
解:取图示坐标ox,在杆上
dx
I c
D
取元线段dx ,其离导线距
a
为 x ,则 dx上的动生电动
o
x
x
势 d i v B dl vBx dx
a l I
0vI a l
0
i d i v
dx
ln
a
2x
2
a
电动势方向:沿着 x轴方向,即 VD VC
例题4、图示导线框平面与 B 垂
直,质量为 m ,长为 l的导线
棒MN 。在 t 0 时,以 v0 运动,
求棒的速率与时间的函数关系
解:当棒以速度 v 运动时,
棒上的动生电动势为 i lvB
N
B
F
方向由 M 指向 N ,线框电流 R
v
i Blv
I
。由安培定律得
M
R
R
2 2
棒上作用的安培力。F IBl B l v
R 方向图示
由牛顿第二定律得
2 2
Blv
dv
m
R
dt
2 2
v dv
t B l
dt
v0 v 0 mR
2 2
v
Bl
ln
t
v0
mR
v v0e
B 2l 2
mR
t
N
R
B
F
v
M
三、感生电动势
1、麦克斯韦假设
变化磁场在其周围激发非静
电场 E(感生电场或涡旋电场)
变化磁场
k
注:
感生电场 Ek
(1)感生电场提供
感生电动势的非静
非静电力
电力的原因—变化
磁场
感生电动势 i
(2)静电场与感生电场比较
静电荷
变化磁场
静电场
感生电场 (非静电场)
电场线不闭合
电场线闭合
保守场
非保守场(涡旋场)
2、感生电动势的计算
(1)感生电动势的表达式
d
i Ek dl B ds
dt s
B
或写成 i B ds ds
t s
t
s
d
(2)电磁感应定律 i
dt
例题1、长直载流导线与矩形线
框置于同一平面(图示)当载
流导线通以电流 I I 0 cos t 时,
l1
求矩形框中感应电动势的大小
解:取图示坐标轴 ox
dx
I
由感生电动势表达式得
a
B
B
i ds ds o x
t
t
s
s
0 I
在图示 ds l2 dx 处的 B
2x
l2
x
I 0
i
l2 dx
a
t 2x
I 0l2 a l1
ln
a
t 2
0 I 0l2 a l1
ln
sin t
2
a
d
讨论:本题同样可用电磁感应定律 i
dt
求得,即当导线中电流为 I 时
a l1 0 I
0 Il2 a l1
B ds
l2 dx
ln
a
2x
2
a
a l1
d
d 0 Il2 a l1
i
ln
dt
dt 2
a
0 I 0l2 a l1
ln
sin t
2
a
例题2、半径为 r ,高为
的铝圆盘,其电导
h
率为 。置于磁场 B中,磁场方向垂直盘面,
若 dB k 为一常数,
B
dt
求盘内的感应电流
R r dr
h
解:在圆盘中取一半径为 r ,宽
为dr,高为 h 的细圆环,则圆环
中感生电动势
dB
i Ek dl ds
dt
s
B
dr
电动势
dB
r
2
h
ds
k
r
大小为 i dt
s
圆环的 dR 1 2r 1 l
R
电阻为
hdr s
kh
圆环中电流 dI
rdr
2
R
所以,圆盘中电流为
kh R
1
2
I dI
rdr
k
R
h
2 0
4
电流沿逆时针流动
四、自感与互感
磁场 B变化的原因是多方面的,最常见
的产生磁场 B 的电流 I 的变化所引起
1、自感电动势、自感
自感现象:当一个回路中电流发生变化
时,在自身回路中,磁通量发生变化,从
而引起感应电动势的现象(自感电动势)
(1)自感电动势的计算
设回路中通有电流 I,则穿过
自身回路面积的磁通量 I
写成 LI
L -自感:与回路形状、大小、匝数和周
围介质的磁导率有关(与电流无关)
d
dI
所以自感电动势 L
L
dt
dt
L
(2)自感的计算 L ,L
dI
I
dt
具体方法
设回路通以电流 I
计算B
由式得 L
I
设回路通以电流 I
当电流变化时计算 L
由式得 L
L
dI
dt
例题1、一长密绕直螺线管,长
为 l ,横截面为 s ,线圈总匝
数 N ,管中介质磁导率 ,求
其自感
解:设螺线管通以电流 I ,则管内
N
B nI I
l
其穿过螺线管的磁通量为
N
N NBs N Is
l
2
N
N
2
L
s n V
I
l
例题2、图示两同轴圆筒形导体,
长为 l ,其半径分别为 R1 和 R2 ,
通过它们的电流均为 I ,但相反
流动,若两筒间充满磁导率为 的磁介质,
求其自感
R2 R1
I
解:两圆筒间 B
2r
通过两筒间一长为 l , I
I
宽为dr 的面积元的磁通量
d B ds Bldr
通过两圆筒之间的磁通量
dr
r
R2
R2
R1
R1
d Bldr
Il R2
ln
2
R1
I
ldr
2r
l R2
自感为 L
ln
I 2 R1
2、互感电动势,互感
互感现象:两个邻近的载流线圈1和2,
当其中一个线圈中电流发生变化时,在另
一个线圈中引起感应电动势的现象(互感
电动势)
(1)互感电动势的计算
设线圈1和2通以电流 I1 和 I 2 ,
在线圈2中的磁通量
I1
1
21 I1
21 M 21I1
I1
I2
同样,I 2在1线圈中的磁通量
12 I 2
12 M12 I 2
式中 M 21 和 M12 称为互感,与两个线圈的
2
形状、大小、匝数、相对位置和周围磁介
质有关,且 M 21 M12 M 。当线圈中电流
变化时
d 21
dI1
d12
dI 2
21
M
12
M
dt
dt
dt
dt
(2)互感的计算
例题1、两同轴长直密绕螺
线管,长均为 l ,半径分别为r1
和 r2 ,匝数分别为N1和 N 2,计算它们的互感
(设中间为真空)
N2
解:设在小螺线管中
通以电流 I1 ,则其在管
N1
内磁场
N1
B1 0
I1 0 n1 I1
l
通过大螺线管的磁通量为
21 N 2 B1s1 N 2 0 n1I1r 0 n1n2 I1l r
2
1
2
1
21 N 2 B1s1 N 2 0 n1I1r 0 n1n2 I1l r
21
M 21
0 n1n2l r12
I1
2
1
2
1
同样可以设在 N 2 螺线管中
通以电流 I 2,其在管内磁场 B2 0 n2 I 2
通过 N1 螺线管的磁通量为
12 N1 B2 s1 N1 0 n2 I 2 r
12
N
2
M 12
0 n1n2l r1
I2
M12 M 21
2
1
2
N1
例题2、磁导率为 的无限大
磁介质中,有一无限长直导线,
与一宽长分别为 b 和 l 的矩形线
圈在同一平面内(图示)求它们的互感
b
解:设在长直导线上通以
电流 I ,则其磁场(取图示
l
d
I
坐标 ox )
B
2x
o
x
其穿过线圈的磁通量
x dx
d b I
Il d b
B ds
ldx
ln
d
2x
2
d
l d b
M
ln
I 2
d
讨论
(1)图示情况下的互感
为多少? M 0
因为由无限长载流直
导线所激发磁场的对称性,以及闭合回路
以直导线为对称,则通过闭合回路磁通量
为零,所以 M 0
(2)由于M12 M 21 M ,因此计算它们的
互感时,要选择最简便的途径
五、磁场的能量
磁场与电场一样,都具有能量
场建立过程中,外界作功转
化为场的能量
静电场:外力克服静电场力作功转化为
静电场的能量
磁场:电源克服感应电动势所作的功转
化为磁场的能量
1、磁场的能量
考察具有一个线圈的电路(如图);自
感 L电阻 R 和电源 ,接通电源:
电流 I:0 I ,线圈中磁场逐
渐建立
dI
由 L
RI
dt
两边乘以 Idt
Idt LIdI RI dt
2
R
L
t
1 2
2
Idt LI RI dt
0
0
2
1 2
其中电源反抗自感电动势所作的功 A LI
2
1 2
即自感线圈的磁场能量 Wm LI
2
t
若自感线圈是一体积为 V 的长
直螺线管。则有
2
L n V 和 B nI
2
代入上式得
2
1 2 1 2 B 1B
wm LI n V
V
2
2
2
n
得单位体积磁场的能量-磁场能量密度
2
1B
1
1
2
wm
BH H
2
2
2
注:该式从特例中导出,但普遍适用
于各类磁场
2、磁场能量的计算
(1)Wm wm dV
( We we dV -电场能量)
2
1Q
1 2
(2)自感线圈 Wm LI (电容器We
)
2C
2
例题、同轴电缆磁场能的计算。
已知内外半径分别为 R1和 R2,分布在两圆筒
导体表面的电流大小相等、方向相反,筒间
充满磁导率为 的磁介质
解:由安培环路定理可求得两圆筒之间
的磁场
I
H
B
2r
2r
1
2
(
w
H
)
Wm wm dV m
I
V
2
R2 R1
可见圆筒中的磁场不均匀,
在圆筒中取一高为 l ,半径
I
I
l
为 r ,宽为dr 的薄圆筒形体
积 dV 2r dr l
dr
磁场计算式得
r
1
2
Wm wm dV H dV
V
V 2
I
1
I l R 2rdr
2 2 dV
2 R
2
V
8
r
8
r
2
2
R
I l
dr I l R2
ln
4 R r
4
R1
2
I
R2
单位长度磁场 Wm
ln
2
4
R
1
讨论
2
2
2
1
2
1
(1)能量法计算自感
2Wm l R2
1 2
因为 Wm LI L 2
ln
I
2 R1
2
(与前计算结果相同!)
(2)若两圆筒中的磁介质不均
r
匀,则其磁能为多少? ( k )
R1
2
I l R2 dr
由上知 Wm
4 R1 r
r
将 k 代入
R1
2
2
R
I l 2 r dr kI l R2
Wm
k
dr
4 R1 R1 r 4R1 R1
2
kI l
R2 R1
4R1
六、位移电流
对称性问题的提出
既然变化的磁场能产生电场,
那么变化的电场会不会产生磁场呢?
1、位移电流
已知稳恒电流的磁场中有
H dl I j ds
s
L
式中 I 是穿过以闭合曲线 L 为边界的任
意曲面 s 的传导电流
对非稳定电流情况下(以电
容器充电为例)又如何?
在电容器极板附近取一闭合
回路 L ,并以 L为边界作两个曲面
(图示)则有
s2
s1 L
对 s1 H dl I
L
对 s2
H
d
l
0
L
I
s1和 s2,
I
传导电流不连续,在电容器极板间中断,
安培环路定理不再成立!
请观察电容器极板间的电场变
有D
化情况
电位移通量 D DS
d D dD
d
dq
可见
S
S
I
dt
dt
dt
dt
若设
E D
d D
Id
位移电流
dt
IC
IC
dD
E D
jd
位移电流密度
dt
( j I )
S
则电容器中保持了电流的连续
性!
位移电流方向的讨论:见图!
IC
IC
dD
dt
IC
IC
dD
dt
2、麦克斯韦的位移电流假设
(1)电场中某一点位移电流密
度 jD 等于该点电位移矢量对时
间的变化率;通过电场中某一截面位移电
流 I d 等于通过该截面电位移通量 D对时间
变化率,即
D
d D
jd
,I d
t
dt
(2)变化的电场等效的也是一种“电
流”,也产生磁场
结论:变化电场激发磁场
3、全电流定律
一般来说,电路中同时存在 I C
和 Id
I S I C I d —全电流
所以安培环路定理推广为
d D
L H dl I S I C dt
D
或 H dl jC
dS
S
t
全电路安培环路定理:沿任意闭合回路H
的环流等于此闭合回路所包围的全电流
关于位移电流的几点说明
(1)位移电流指电位移通量的
变化率,与传导电流有本质的
区别
(2)位移电流不仅在电介质中,导体中,
甚至在真空中都可产生
(3)传导电流和位移电流在激发磁场方
面是等效的,因此都称为电流
(4)位移电流与微波炉的工作原理
D
E
p
D 0 E p jd
0
t
t t
例题、半径R 3.0cm的圆形平
板空气电容器,对电容器充电,
使极板上电荷随时间变化率,
即充电传导电流 I C dq 2.5 A
dt
求(1)两极板间 I d (2)两极板间距
轴 r 2.0cm 的点 p 处磁感强度
解:(1)两极板间位移电流 I C
d D d
dq
Id
S I C 2.5 A
dt
dt
dt
(2)电容器中无传导电流,则
p
R
r
L
IC
H dl I d
由磁场的对称性,作半径为 r
的圆形回路,则
H dl H 22r
p
Id
r
IC R
2
I
r
C
而 Id
r
I
2
2 d
R
R
L
由安培环路定理得 H
2
0 r
0 r
B 0 H
I
I
2 d
2 d
2r R
2R
5
1.1110 T
七、麦克斯韦电磁场方程的积
分形式
1、目标
把电磁场的规律综合起来,从而系统完
整地描述电磁场的普遍规律
2、静电场 稳恒磁场的规律
D ds dV q E dl 0
V
S
B ds 0
S
L
H dl j ds IC
S
L
3、麦克斯韦电磁场方程组积
分形式
综合变化电磁场的规律得到
S D ds V dV q (S D ds V dV q)
B
( E dl 0)
LE dl S t ds
L
B
d
s
0
( B ds 0)
S
S
D
L H dl S j t ds (L H dl S j ds IC )
4、说明
(1)形式上相同的表达式,其意
义上截然不同(适用一般电磁场)
(2)反映了电磁场是一个整体
(3)方程组简洁、全面、完整的反映了电
磁场的基本规律和性质
“只有上帝才能创造出这样完美的诗句!”
[电磁感应现象的应用]