Transcript 电磁感应
第十二章 电 磁 感 应 一、电磁感应现象及其基本定 律 1、实验演示 （1）电磁感应现象 （2）发电机 现象小结： 2、电磁感应现象 穿过一个闭合导体回路所包 围面积的磁通量发生变化时， 回路中就有电流的现象。 （感应电流、感应电动势） 关键：磁通量发生变化是引起电磁感应 的必要条件。 3、电磁感应定律 d d d 或 i N i dt dt dt N（磁链） 回路中感应电动势正比于磁 通量对时间的变化率的负值。 式中“-”号表示了感应电动 势的方向，具体方法如下： （1）任选一绕行方向 e n 为闭合回路的正方向， 由右手法则，定出回路 平面单位法向矢量 en i N S i d （2）确定穿过回路的通量 及其 dt d （3）由 i 确定 i的正负 dt （4）若 i 0，则 i的方向与绕 行方向一致 若 i 0 ，则 i的方向与绕行方向相反 4、楞次定律确定感应电流的方法 闭合回路中感应电流方向总是使它所激 发的磁场抵偿（反抗）引 起感应电流的磁通量的变 en N S 化。 i i 讨论 （1）由楞次定律和右手法则可 判断感应电流的方向 （2）定律中“抵偿”“反抗”“补偿”而不 是抵消 （3）楞次定律是能量守恒定律的一种表现 5、感应电流、感应电量 1 d dq Ii (I ) R dt dt q t2 t1 1 2 1 Idt d 1 2 R 1 R 讨论 磁通量的计算式 B ds Bds cos 磁通量发生变化，引起感应电动势的原因 是多种（ B, S , ） 为便于区分和研究 （1）动生电动势：由于导体或导体回路在 稳定磁场中运动引起的 （2）感生电动势：导体或导体回路不动， 由于磁感应强度变化引起的 二、动生电动势 1、洛仑兹力是产生动生电动 势的非静电力 导线长 op l，在均匀磁场 B 中，以 v 运 动，且 v B（图示），则导线中电子受力 p Fm e v B B Ek v v (方向图示) o Fm 在该非静电力作用下， F 导线两端积累正、负电荷，Ek m v B e 在稳定时的非静电场 ( E Fk ) k (方向图示) q i 由电动势定义得 p i Ek dl v B dl op o l 由已知条件得 i vBdl vBl (方向图示) o 2、动生电动势的计算 （1）动生电动势的表达式 i i v B dl B p i v o 方向：楞次定律；v B 等 （2）电磁感应定律 i d dt 方向：楞次定律 例题1、 均匀磁场中，一面积 为 S的 N 匝线圈绕 oo轴以角速 度 匀速转动。求线圈中感应 电动势 解：设 t 0 时，线圈 平面法线的 en 与 B 相 同，当 t 时刻时 en 与 B 夹角为 t o N NBS cos NBS cos t d i NBS sin t dt o en B 写成 i m sin t m NBS 讨论 （1）交流发电机的原理 （2）本题同样可以用动生电动势表 达式计算，显然较为复杂 例题2、长为 L 的铜棒在均匀 磁场 B 中，以角速度 绕一 端转动，求感应电动势 p B L o 解：在棒上取一段线元 dl ， 离 o 端距离为 l ，则其速度为 v l 所以线元的电动势 p d i v B dl vBdl B L L 1 2 dl i vBdl Bldl BL 0 0 2 l 电动势方向由 o 指向 p ， o 即 V p Vo 讨论：本题同样可以用电磁感应 定律 i d 求得 dt 例题3、图示，金属杆长 l ，与 长直载流（电流为 I ）导线位 于同一平面，金属杆以匀速率v 运动，求杆中的感应电动势 v 解：取图示坐标ox，在杆上 dx I c D 取元线段dx ，其离导线距 a 为 x ，则 dx上的动生电动 o x x 势 d i v B dl vBx dx a l I 0vI a l 0 i d i v dx ln a 2x 2 a 电动势方向：沿着 x轴方向，即 VD VC 例题4、图示导线框平面与 B 垂 直，质量为 m ，长为 l的导线 棒MN 。在 t 0 时，以 v0 运动， 求棒的速率与时间的函数关系 解：当棒以速度 v 运动时， 棒上的动生电动势为 i lvB N B F 方向由 M 指向 N ，线框电流 R v i Blv I 。由安培定律得 M R R 2 2 棒上作用的安培力。F IBl B l v R 方向图示 由牛顿第二定律得 2 2 Blv dv m R dt 2 2 v dv t B l dt v0 v 0 mR 2 2 v Bl ln t v0 mR v v0e B 2l 2 mR t N R B F v M 三、感生电动势 1、麦克斯韦假设 变化磁场在其周围激发非静 电场 E（感生电场或涡旋电场） 变化磁场 k 注： 感生电场 Ek （1）感生电场提供 感生电动势的非静 非静电力 电力的原因—变化 磁场 感生电动势 i （2）静电场与感生电场比较 静电荷 变化磁场 静电场 感生电场 （非静电场） 电场线不闭合 电场线闭合 保守场 非保守场（涡旋场） 2、感生电动势的计算 （1）感生电动势的表达式 d i Ek dl B ds dt s B 或写成 i B ds ds t s t s d （2）电磁感应定律 i dt 例题1、长直载流导线与矩形线 框置于同一平面（图示）当载 流导线通以电流 I I 0 cos t 时， l1 求矩形框中感应电动势的大小 解：取图示坐标轴 ox dx I 由感生电动势表达式得 a B B i ds ds o x t t s s 0 I 在图示 ds l2 dx 处的 B 2x l2 x I 0 i l2 dx a t 2x I 0l2 a l1 ln a t 2 0 I 0l2 a l1 ln sin t 2 a d 讨论：本题同样可用电磁感应定律 i dt 求得，即当导线中电流为 I 时 a l1 0 I 0 Il2 a l1 B ds l2 dx ln a 2x 2 a a l1 d d 0 Il2 a l1 i ln dt dt 2 a 0 I 0l2 a l1 ln sin t 2 a 例题2、半径为 r ，高为 的铝圆盘，其电导 h 率为 。置于磁场 B中，磁场方向垂直盘面， 若 dB k 为一常数， B dt 求盘内的感应电流 R r dr h 解：在圆盘中取一半径为 r ，宽 为dr，高为 h 的细圆环，则圆环 中感生电动势 dB i Ek dl ds dt s B dr 电动势 dB r 2 h ds k r 大小为 i dt s 圆环的 dR 1 2r 1 l R 电阻为 hdr s kh 圆环中电流 dI rdr 2 R 所以，圆盘中电流为 kh R 1 2 I dI rdr k R h 2 0 4 电流沿逆时针流动 四、自感与互感 磁场 B变化的原因是多方面的，最常见 的产生磁场 B 的电流 I 的变化所引起 1、自感电动势、自感 自感现象：当一个回路中电流发生变化 时，在自身回路中，磁通量发生变化，从 而引起感应电动势的现象（自感电动势） （1）自感电动势的计算 设回路中通有电流 I，则穿过 自身回路面积的磁通量 I 写成 LI L -自感：与回路形状、大小、匝数和周 围介质的磁导率有关（与电流无关） d dI 所以自感电动势 L L dt dt L （2）自感的计算 L ，L dI I dt 具体方法 设回路通以电流 I 计算B 由式得 L I 设回路通以电流 I 当电流变化时计算 L 由式得 L L dI dt 例题1、一长密绕直螺线管，长 为 l ，横截面为 s ，线圈总匝 数 N ，管中介质磁导率 ，求 其自感 解：设螺线管通以电流 I ，则管内 N B nI I l 其穿过螺线管的磁通量为 N N NBs N Is l 2 N N 2 L s n V I l 例题2、图示两同轴圆筒形导体， 长为 l ，其半径分别为 R1 和 R2 ， 通过它们的电流均为 I ，但相反 流动，若两筒间充满磁导率为 的磁介质， 求其自感 R2 R1 I 解：两圆筒间 B 2r 通过两筒间一长为 l ， I I 宽为dr 的面积元的磁通量 d B ds Bldr 通过两圆筒之间的磁通量 dr r R2 R2 R1 R1 d Bldr Il R2 ln 2 R1 I ldr 2r l R2 自感为 L ln I 2 R1 2、互感电动势，互感 互感现象：两个邻近的载流线圈1和2， 当其中一个线圈中电流发生变化时，在另 一个线圈中引起感应电动势的现象（互感 电动势） （1）互感电动势的计算 设线圈1和2通以电流 I1 和 I 2 ， 在线圈2中的磁通量 I1 1 21 I1 21 M 21I1 I1 I2 同样，I 2在1线圈中的磁通量 12 I 2 12 M12 I 2 式中 M 21 和 M12 称为互感，与两个线圈的 2 形状、大小、匝数、相对位置和周围磁介 质有关，且 M 21 M12 M 。当线圈中电流 变化时 d 21 dI1 d12 dI 2 21 M 12 M dt dt dt dt （2）互感的计算 例题1、两同轴长直密绕螺 线管，长均为 l ，半径分别为r1 和 r2 ，匝数分别为N1和 N 2，计算它们的互感 （设中间为真空） N2 解：设在小螺线管中 通以电流 I1 ，则其在管 N1 内磁场 N1 B1 0 I1 0 n1 I1 l 通过大螺线管的磁通量为 21 N 2 B1s1 N 2 0 n1I1r 0 n1n2 I1l r 2 1 2 1 21 N 2 B1s1 N 2 0 n1I1r 0 n1n2 I1l r 21 M 21 0 n1n2l r12 I1 2 1 2 1 同样可以设在 N 2 螺线管中 通以电流 I 2，其在管内磁场 B2 0 n2 I 2 通过 N1 螺线管的磁通量为 12 N1 B2 s1 N1 0 n2 I 2 r 12 N 2 M 12 0 n1n2l r1 I2 M12 M 21 2 1 2 N1 例题2、磁导率为 的无限大 磁介质中，有一无限长直导线， 与一宽长分别为 b 和 l 的矩形线 圈在同一平面内（图示）求它们的互感 b 解：设在长直导线上通以 电流 I ，则其磁场（取图示 l d I 坐标 ox ） B 2x o x 其穿过线圈的磁通量 x dx d b I Il d b B ds ldx ln d 2x 2 d l d b M ln I 2 d 讨论 （1）图示情况下的互感 为多少？ M 0 因为由无限长载流直 导线所激发磁场的对称性，以及闭合回路 以直导线为对称，则通过闭合回路磁通量 为零，所以 M 0 （2）由于M12 M 21 M ，因此计算它们的 互感时，要选择最简便的途径 五、磁场的能量 磁场与电场一样，都具有能量 场建立过程中，外界作功转 化为场的能量 静电场：外力克服静电场力作功转化为 静电场的能量 磁场：电源克服感应电动势所作的功转 化为磁场的能量 1、磁场的能量 考察具有一个线圈的电路（如图）；自 感 L电阻 R 和电源 ,接通电源： 电流 I：0 I ，线圈中磁场逐 渐建立 dI 由 L RI dt 两边乘以 Idt Idt LIdI RI dt 2 R L t 1 2 2 Idt LI RI dt 0 0 2 1 2 其中电源反抗自感电动势所作的功 A LI 2 1 2 即自感线圈的磁场能量 Wm LI 2 t 若自感线圈是一体积为 V 的长 直螺线管。则有 2 L n V 和 B nI 2 代入上式得 2 1 2 1 2 B 1B wm LI n V V 2 2 2 n 得单位体积磁场的能量-磁场能量密度 2 1B 1 1 2 wm BH H 2 2 2 注：该式从特例中导出，但普遍适用 于各类磁场 2、磁场能量的计算 （1）Wm wm dV （ We we dV -电场能量） 2 1Q 1 2 （2）自感线圈 Wm LI （电容器We ） 2C 2 例题、同轴电缆磁场能的计算。 已知内外半径分别为 R1和 R2，分布在两圆筒 导体表面的电流大小相等、方向相反，筒间 充满磁导率为 的磁介质 解：由安培环路定理可求得两圆筒之间 的磁场 I H B 2r 2r 1 2 ( w H ) Wm wm dV m I V 2 R2 R1 可见圆筒中的磁场不均匀， 在圆筒中取一高为 l ，半径 I I l 为 r ，宽为dr 的薄圆筒形体 积 dV 2r dr l dr 磁场计算式得 r 1 2 Wm wm dV H dV V V 2 I 1 I l R 2rdr 2 2 dV 2 R 2 V 8 r 8 r 2 2 R I l dr I l R2 ln 4 R r 4 R1 2 I R2 单位长度磁场 Wm ln 2 4 R 1 讨论 2 2 2 1 2 1 （1）能量法计算自感 2Wm l R2 1 2 因为 Wm LI L 2 ln I 2 R1 2 （与前计算结果相同！） （2）若两圆筒中的磁介质不均 r 匀，则其磁能为多少？ ( k ) R1 2 I l R2 dr 由上知 Wm 4 R1 r r 将 k 代入 R1 2 2 R I l 2 r dr kI l R2 Wm k dr 4 R1 R1 r 4R1 R1 2 kI l R2 R1 4R1 六、位移电流 对称性问题的提出 既然变化的磁场能产生电场， 那么变化的电场会不会产生磁场呢？ 1、位移电流 已知稳恒电流的磁场中有 H dl I j ds s L 式中 I 是穿过以闭合曲线 L 为边界的任 意曲面 s 的传导电流 对非稳定电流情况下（以电 容器充电为例）又如何？ 在电容器极板附近取一闭合 回路 L ，并以 L为边界作两个曲面 （图示）则有 s2 s1 L 对 s1 H dl I L 对 s2 H d l 0 L I s1和 s2， I 传导电流不连续，在电容器极板间中断， 安培环路定理不再成立！ 请观察电容器极板间的电场变 有D 化情况 电位移通量 D DS d D dD d dq 可见 S S I dt dt dt dt 若设 E D d D Id 位移电流 dt IC IC dD E D jd 位移电流密度 dt ( j I ) S 则电容器中保持了电流的连续 性！ 位移电流方向的讨论：见图！ IC IC dD dt IC IC dD dt 2、麦克斯韦的位移电流假设 （1）电场中某一点位移电流密 度 jD 等于该点电位移矢量对时 间的变化率；通过电场中某一截面位移电 流 I d 等于通过该截面电位移通量 D对时间 变化率，即 D d D jd ，I d t dt （2）变化的电场等效的也是一种“电 流”，也产生磁场 结论：变化电场激发磁场 3、全电流定律 一般来说，电路中同时存在 I C 和 Id I S I C I d —全电流 所以安培环路定理推广为 d D L H dl I S I C dt D 或 H dl jC dS S t 全电路安培环路定理：沿任意闭合回路H 的环流等于此闭合回路所包围的全电流 关于位移电流的几点说明 （1）位移电流指电位移通量的 变化率，与传导电流有本质的 区别 （2）位移电流不仅在电介质中，导体中， 甚至在真空中都可产生 （3）传导电流和位移电流在激发磁场方 面是等效的，因此都称为电流 （4）位移电流与微波炉的工作原理 D E p D 0 E p jd 0 t t t 例题、半径R 3.0cm的圆形平 板空气电容器，对电容器充电， 使极板上电荷随时间变化率， 即充电传导电流 I C dq 2.5 A dt 求（1）两极板间 I d （2）两极板间距 轴 r 2.0cm 的点 p 处磁感强度 解：（1）两极板间位移电流 I C d D d dq Id S I C 2.5 A dt dt dt （2）电容器中无传导电流，则 p R r L IC H dl I d 由磁场的对称性，作半径为 r 的圆形回路，则 H dl H 22r p Id r IC R 2 I r C 而 Id r I 2 2 d R R L 由安培环路定理得 H 2 0 r 0 r B 0 H I I 2 d 2 d 2r R 2R 5 1.1110 T 七、麦克斯韦电磁场方程的积 分形式 1、目标 把电磁场的规律综合起来，从而系统完 整地描述电磁场的普遍规律 2、静电场 稳恒磁场的规律 D ds dV q E dl 0 V S B ds 0 S L H dl j ds IC S L 3、麦克斯韦电磁场方程组积 分形式 综合变化电磁场的规律得到 S D ds V dV q (S D ds V dV q) B ( E dl 0) LE dl S t ds L B d s 0 ( B ds 0) S S D L H dl S j t ds (L H dl S j ds IC ) 4、说明 （1）形式上相同的表达式，其意 义上截然不同（适用一般电磁场） （2）反映了电磁场是一个整体 （3）方程组简洁、全面、完整的反映了电 磁场的基本规律和性质 “只有上帝才能创造出这样完美的诗句！” [电磁感应现象的应用]